高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率课后作业题

独立性与条件概率的关系

(15分钟　30分)

1．已知事件A，B相互独立，且P＝0.5，P＝0.3，则P＝(　　)

A．0.7     B．0.5     C．0.3     D．0.2

【解析】选A.因为P＝0.3，所以P＝0.7，因为事件A，B相互独立，所以P＝P＝0.7.

2．国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)

A．     B．     C．     D．

【解析】选B. 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件A，B，C，

则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P()＝，P()＝，P()＝，由于A，B，C相互独立，故，，也相互独立，

故P( )＝××＝，因此甲、乙、丙三人至少有1人去北京旅游的概率P＝1－P( )＝1－＝.

3.如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为(　　)

A．0.054　　　 B．0.994

C．0.496      D．0.06

【解析】选B.记三个开关都正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7.三个开关同时出现故障的事件为∩∩，则此系统正常工作的概率为P＝1－P(∩∩)＝1－P()P()P()＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.

【补偿训练】

 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

　A．　　　B．　　　C．　　　D．

【解析】选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，C，D闭合的事件分别为G，H，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P()P()＝.

4．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________．

【解析】因为P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，

所以P()＝，即P(C)＝.又P(C)＝P()·

P(C)＝，所以P()＝，P(B)＝.又P(AB)＝，则P(A)＝，所以P(B)＝P()·P(B)＝×＝.

答案：　

5．甲、乙两人独立破译密码的概率分别为，.求：

(1)两个人都译出密码的概率；

(2)两个人都译不出密码的概率；

(3)恰有一人译出密码的概率；

(4)至多一人译出密码的概率；

(5)至少一人译出密码的概率．

【解析】记事件A为“甲独立译出密码”，事件B为“乙独立译出密码”．

(1)两个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

(2)两个人都译不出密码的概率为P( )＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－)(1－)＝.

(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出；乙译出甲译不出，即A＋B，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×(1－)＋(1－)×＝.

(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，所以1－P(AB)＝1－＝.

(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，所以1－P( )＝1－＝.

 (30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，

P(AB＋B＋A)＝0.44，则P(B)等于(　　)

A．0.3　　　B．0.4　　　C．0.5　　　D．0.6

【解析】选A.因为A，B是相互独立事件，

所以，B和A，均相互独立．

因为P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44，

所以P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()＝0.44，

所以0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，解得P(B)＝0.3.

2．甲盒中有200个螺杆，其中有160个M型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个M型的．从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成M型螺栓的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.设“从甲盒中取一螺杆为M型螺杆”为事件A，“从乙盒中取一螺母为M型螺母”为事件B，则A与B相互独立，P(A)＝＝，P(B)＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成M型螺栓的概率为P＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)

A．     B．     C．     D．

【解析】选D.设Ai(i＝1，2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军．

方法一：B＝A1＋1A2，故P(B)＝P(A1)＋P(1)P(A2)＝＋×＝.

方法二：P(B)＝1－P(1 2)＝1－P(1)P(2)＝1－×＝.

4．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于(　　)

A．2个球都不是红球的概率

 B．2个球都是红球的概率

C．至少有1个红球的概率

D．2个球中恰有1个红球的概率

【解析】选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A，B相互独立，

所以1－P()P()＝1－×＝，可知C正确．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是(　　)

A．A与B     B．A与C

C．B与C     D．都不具有独立性

【解析】选ABC.利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．

6．甲、乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是(　　)

A．P(A)＝P(B)＝P(C)

B．P(BC)＝P(AC)＝P(AB)

C．P(ABC)＝

D．P(A)·P(B)·P(C)＝

【解析】选ABD.由已知P(A)＝×＋×＝，

P(B)＝P(C)＝＝，

由已知有P(AB)＝P(A)P(B)＝，P(AC)＝，P(BC)＝，所以P(A)＝P(B)＝P(C)，则A正确；

P(BC)＝P(AC)＝P(AB)，则B正确；

事件A，B，C不相互独立，故P(ABC)＝错误，即C错误；P(A)·P(B)·P(C)＝，则D正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．

【解析】设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”．因为事件A与B相互独立，所以事件与相互独立．所以从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P((A∩B)∪(∩))＝P(A∩B)＋P(∩)

＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.

答案：

8．荷花池中，有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．

【解析】青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径．第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.

答案：

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.

(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；

(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？

【解析】(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为

A1·A2·A3·A4·A5．

因为事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，所以敌机未被击中的概率为P(A1·A2·A3·A4·A5)＝P(A1)·

P(A2)·P(A3)·P(A4)·P(A5)＝(1－0.2)5＝.

所以敌机未被击中的概率为.

(2)需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，可得敌机被击中的概率为1－，

所以令1－＞0.9，所以＜，

两边取常用对数，得n＞≈10.3.

因为n∈N*，所以n＝11.所以至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．

10．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.

(1)求一个试验组为甲类组的概率；

(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．

【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2.据题意有：P(A0)＝×＝，P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，

P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.

所求概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.

(2)所求概率P′＝1－＝.

1．某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为，则p＝(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1－，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－＝(1－p)4，解得p＝或p＝(舍去).

【补偿训练】

 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

【解析】选A.记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，

所以不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]

＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)＝(1－×)×＝.

2．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，每个人是否需使用设备相互独立．

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．

【解析】设Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.

B表示事件：甲需使用设备，

C表示事件：丁需使用设备，

D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，

E表示事件：同一工作日4人需使用设备，

F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.

(1)D＝A1·B·C＋A2·B＋A2·C，

P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0，1，2，

所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·C)

＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·C)

＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(C)＝0.37.

(2)由(1)知，若k＝2，则P(F)＝0.37>0.1.

又E＝B·C·A2，P(E)＝P(B·C·A2)

＝P(B)P(C)P(A2)＝0.06.若k＝3，则P(F)＝0.06<0.1.

所以k的最小值为3.