高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式同步测试题

乘法公式与全概率公式

 (15分钟　30分)

1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为(　　)

A．0.21      B．0.72      C．0.75      D．0.96

【解析】选B.设A：任取的一件是合格品，

B：任取的一件是一等品，因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝0.72.

2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　)

A．0.08     B．0.1     C．0.15     D．0.2

【解析】选A.以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，

P＝，P＝，P＝，

P＝，P＝，P＝；

则由全概率公式，所求概率为

P＝PP＋PP＋PP

＝×＋×＋×＝0.08.

3．如果在上题中已知取得的X光片是次品，则该次品是由甲厂生产的概率为(　　)

A．0.085     B．0.226     C．0.625     D．0.815

【解析】选C.以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，

P＝，P＝，P＝，

P＝，P＝，P＝，

所以P＝0.08，P ＝ ＝＝＝0.625.

【补偿训练】

 设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为(　　)

A．     B．     C．     D．

【解析】选A.设Ai：取到第i号袋子，i＝1，2，3，4，5.

B：取到白球，

由贝叶斯公式得P(A1 |B)＝＝＝.

4．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为________．

【解析】设A：第一次抽出的是黑球，B：第二次抽出的是黑球，则B＝AB＋B，由全概率公式，

P(B)＝P(A)P(B|A)+P()P(B|)， 由题意，

P(A)＝，P(B|A)＝，

P()＝，P(B|)＝，

所以P(B)＝＋＝.

答案：

5．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%、35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率．

【解析】设A1：药材来自甲地， A2：药材来自乙地，

A3：药材来自丙地， B：抽到优等品；

P＝0.4，P＝0.35，P＝0.25，

P＝0.65，P＝0.7，

P＝0.85，

P＝PP＋PP＋PP

＝0.65×0.4＋0.7×0.35＋0.85×0.25＝0.717 5.

 (30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．某学校有甲、乙两家餐厅，学生张小明第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果他第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.6；如果他第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.8，则张小明第2天去甲餐厅的概率为(　　)

A．0.4     B．0.6     C．0.7     D．0.9

【解析】选C.设A1＝“第1天去甲餐厅”，B1＝“第1天去乙餐厅”，A2＝“第2天去甲餐厅”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥．由题意得，P＝P＝0.5，P＝0.6，P＝0.8.由全概率公式得P＝P·P＋P·P＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.

【误区警示】要正确地将事件A2分解为A1A2与B1A2这两个互斥事件的和．

2．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为(　　)

A．     B．     C．     D．

【解析】选C.设事件A＝{从箱中任取2件都是一等品}，事件Bi＝{丢失的为i等品}(i＝1，2，3)，则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋ P(B2)P(A|B2)＋ P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝，故所求的概率为P(B1|A)＝＝.

3．某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：

现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为(　　)

A．0.814　　B．0.809　　C．0.727　　D．0.652

【解析】选A.以Ai表示一批产品中有i件次品，i＝0，1，2，3，4，B表示通过检验，则由题意得，

P(A0)＝0.1，P(B|A0)＝1，P(A1)＝0.2，P(B|A1)＝ ＝0.9，P(A2)＝0.4，P(B|A2)＝  ≈0.809，P(A3)＝0.2，P(B|A3)＝  ≈0.727，P(A4)＝0.1，

P(B|A4)＝ ≈0.652.由全概率公式，得P(B)＝(Ai)P(B)＝0.1×1＋0.2×0.9＋0.4×0.809＋0.2×0.727＋0.1×0.652≈0.814.

4．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如表：

在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.用A表示买到的电脑是甲厂生产的，B表示买到的电脑是合格品，则P(A)＝，P()＝P(B|A)＝，P(B|)＝，由贝叶斯公式可知P(A|B)

＝＝＝.

【补偿训练】

 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由______车间生产的可能性最大(　　)

A．甲　　　  B．乙

C．丙      D．无法确定

【解析】选A.设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙车间，B表示产品为次品的事件，易知A1，A2，A3是样本空间Ω中的事件，且有P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2，P(B|A1)＝0.04，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.05.

由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.45×0.04＋0.35×0.02＋0.2×0.05＝0.035.

由贝叶斯公式得P(A1|B)＝≈0.514，

P(A2|B)＝≈0.200，P(A3|B)＝≈0.286，

所以，该次品由甲车间生产的可能性最大．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为3%；第二批占70%，次品率为6%.将这两批产品混合后，从中任取1件. 则下列说法正确的是(　　)

A．这件产品是合格品的概率为0.949

B．这件产品是次品的概率为0.949

C．已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为

D．已知取到的是合格品，那么它取自第二批产品的概率为

【解析】选AC.设Ai＝“产品取自第i批”，B＝“产品是合格品”，则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥．

由题意得P＝0.3，P＝0.7，

P＝0.97，P＝0.94.

(1)由全概率公式得，

P＝P·P＋P·P＝0.3×0.97＋0.7×0.94＝0.949.

(2)P＝＝＝＝.

6．在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S 在病人中占60%.则(　　)

A．任意一位病人有症状S 的概率为0.02

B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4

C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45

D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25

【解析】选ABC.P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，

P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，

P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，

由全概率公式得P(S)＝(Di)P(S|Di)

＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02.

由贝叶斯公式得：

P(D1|S)＝＝＝0.4，

P(D2|S)＝＝＝0.45，

P(D3|S)＝＝＝0.15.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．5张彩票中仅有1张中奖彩票，5个人依次摸奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为________，第三个人摸到中奖彩票的概率为________．

【解题指南】利用全概率公式求解．

【解析】记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai ，

显然P(A1)＝，而P(A2)＝P[A2∩(A1∪1)]

＝P(A2∩A1)＋P(A2∩1)＝P(A2A1)＋P(A21)

＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1)

＝×0＋×＝，

P(A3)＝P[A3∩(A1A2＋A12＋1A2＋A1 A2)]

＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)＋

P(12A3)＝0＋0＋0＋P(A312)

＝P(1)P(2|1)P(A3|12)＝××＝.

答案：　

8．设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球．若在盒中连取四次，则第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率为________．

【解析】设Ri(i＝1，2，3，4)表示第i次取到红球的事件，Ri(i＝1，2，3，4)表示第i次取到白球的事件．则有P(R1R2R3 R4)

＝P(R1)P(R2)P(R3)P(R1R23)

＝···.

答案：···

【补偿训练】

 甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．则P(B)＝________．

【解析】由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，

且A1∪A2∪A3＝Ω，

所以P(B)＝P[B∩(A1∪A2∪A3)]＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3) ＝P(A1)P(B|A1)＋

P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝×＋×＋×＝.

答案：

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为，第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为，若前两次未打破，第三次落下时打破的概率为，求透镜落下三次未打破的概率．

【解析】以Ai，i＝1，2，3表示事件“透镜落下第i次时打破”，以B表示事件“透镜落下三次未打破”，因为B＝A1 A2 A3，所以P＝P

＝PPP＝＝.

10．假定患有疾病{d1，d2，d3}中的某一个的人可能出现症状S＝中一个或多个，其中：

　　　S1＝食欲不振　　　　 S2＝胸痛

　　　S3＝呼吸急促　　　　 S4＝发热

现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数据：

试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，在没有别的可依据的诊断手段情况下，推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？

【解析】 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”，Di表示事件“患者患有疾病di”(i＝1，2，3)，由于该问题数据很多，用事件的频率近似作为概率，由统计数据可知，

P＝＝0.387 5，P＝＝0.262 5，

P＝＝0.35，P＝≈0.967 7，

P＝＝0.8，P＝＝0.5，

所以P＝PP＋PP

＋PP＝0.387 5×0.967 7

＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.

由贝叶斯公式可得，

P＝＝≈0.493 4，

P＝＝≈0.276 3，

P＝＝≈0.230 3.

从而推测病人患有疾病d1较为合适．

1．盒中放有12个乒乓球，其中9 个是新的．第1次比赛时从中选取3个来用，比赛后仍放回盒中，第2次比赛时再从盒中任取3个．则第2次取出的球都是新球的概率为________；如果第2次取出的球都是新球，则第1次取到的都是新球的概率为________．

【解析】设Ai：第一次比赛时用了i个新球，i＝0，1，2，3，B：第二次取出的球全是新球；

P＝，P＝，

所以P＝P≈0.146，

因为第二次取出的全是新球，

P＝PP＝·，

所以P＝≈0.24.

答案：0.146　0.24

2．袋中有n个球，其中n－1个红球，1个白球．n个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i(i＝1，2，…，n)人取到白球的概率．

【解析】设Ai表示“第i人取到白球”(i＝1，2，…，n)的事件，显然P(A1)＝.由A2⊆ A1，故A2＝1A2，

于是P(A2)＝P(1A2)＝P(1)P(A2|1)＝·＝.类似有P(A3)＝

P(12 A3)＝P(1)P(2|1)P(A3|12)＝··＝，…，

P(An) ＝P(12…n－1An)＝··…·

·1＝，因此第i个人(i＝1，2，…，n)取到白球的概率与i无关，都是.