人教B版 (2019)4.1.3 独立性与条件概率的关系.课后练习题

这是一份人教B版 (2019)4.1.3 独立性与条件概率的关系.课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2白、2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
A [把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A.]
2．若0＜P(A)＜1，且P(B|A)＝P(B)．若P(eq \(A,\s\up6(－)))＝0.6，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝0.2，则P(AB)等于( )
A．0.12 B．0.8
C．0.32D．0.08
D [由P(B|A)＝P(B)可知事件A，B相互独立，
∴P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝P(B)＝0.2，
又P(eq \(A,\s\up6(－)))＝0.6，∴P(A)＝0.4，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.2＝0.08.故选D.]
3．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,2)，从两袋各摸出一个球，则eq \f(2,3)表示( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
C [分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,2)，由于A，B相互独立，所以1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3).根据互斥事件可知C正确．]
4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,2)
A [问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq \f(1,2)；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq \f(3,4).]
5．如图所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.eq \f(4,9) B.eq \f(2,9) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,3)
A [“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝eq \f(2,3)，事件A，B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)，故选A.]
二、填空题
6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
eq \f(3,5) [“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)＝eq \f(C\\al(1,160),C\\al(1,200))，P(C)＝eq \f(C\\al(1,180),C\\al(1,240)).
∴P(B∩C)＝P(B)·P(C)＝eq \f(C\\al(1,160),C\\al(1,200))·eq \f(C\\al(1,180),C\\al(1,240))＝eq \f(3,5).]
7．甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为________．
eq \f(1,9) [由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立，且从甲袋中取出红球的概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，从乙袋中取出红球的概率为eq \f(1,6)，所以所求事件的概率为eq \f(2,3)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,9).]
8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．
0.902 [设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为eq \x\t(A)，eq \x\t(B)，eq \x\t(C)，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(eq \x\t(A))＝0.2，
P(eq \x\t(B))＝0.3，P(eq \x\t(C))＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有ABeq \x\t(C)，Aeq \x\t(B)C，eq \x\t(A)BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(A∩B∩eq \x\t(C))＋P(A∩eq \x\t(B)∩C)＋P(eq \x\t(A)∩B∩C)＋P(A∩B∩C)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.]
三、解答题
9.三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(3,4)，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图所示的电路中，求电路不发生故障的概率．
[解] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A2)＝eq \f(3,4)，P(A3)＝eq \f(3,4).
不发生故障的事件为(A2∪A3)∩A1，
∴不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)∩A1]
＝[1－P(eq \x\t(A)2)·P(eq \x\t(A)3)]·P(A1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq \f(1,2)＝eq \f(15,32).
10．从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率．
[解] 设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B为“取出的数是3的倍数”．
则P(C)＝eq \f(1,2)，且所求概率为
P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)
＝eq \f(PAC,PC)＋eq \f(PBC,PC)－eq \f(PABC,PC)
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,100)＋\f(16,100)－\f(8,100)))＝eq \f(33,50).
11．(多选题)设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则下列说法正确的是( )
A．事件A与B发生的概率相同
B．P(A)＝eq \f(1,3)
C．P(B)＝eq \f(2,3)
D．P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝eq \f(2,9)
ACD [因为事件A，B相互独立，由P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))可得[1－P(A)]P(B)＝P(A)[1－P(B)]，即P(A)＝P(B)．
又P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,9)，
∴P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)，即1－P(A)＝eq \f(1,3)，∴P(A)＝eq \f(2,3).
∴P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9).
结合选项可知ACD正确，故选ACD.]
12．甲、乙两人独立解某道数学竞赛题，已知该题被甲单独解出的概率为0.6，被甲、乙至少一人解出的概率为0.92，则该题被乙单独解出的概率是( )
A．0.32B．0.2
C．0.68D．0.8
D [设该题被乙单独解出的概率为P，由题意可知甲、乙都没有解出该题的概率为1－0.92＝(1－0.6)(1－P)，解得P＝0.8，故选D.]
13．(一题两空)已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,4)，P(B)＝eq \f(2,3)，则P(eq \(A,\s\up6(－))|eq \(B,\s\up6(－)))＝________，P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝________.
eq \f(3,4) eq \f(1,12) [∵A，B是相互独立事件，∴eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也是相互独立事件，
∴P(eq \(A,\s\up6(－))|eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)[1－P(B)]＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(1,12).]
14．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，两人租车时间都不会超过四小时．则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________．
eq \f(5,16) [由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,4)，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,16).
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为eq \f(5,16).]
15．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；
(2)求红队至少两名队员获胜的概率．
[解] 设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则eq \x\t(D)，eq \x\t(E)，eq \x\t(F)分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P(eq \x\t(D))＝0.4，P(eq \x\t(E))＝0.5，P(eq \x\t(F))＝0.5.
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D∩eq \(\x\t(E))∩eq \(\x\t(F))，eq \x\t(D)∩E∩eq \x\t(F)，eq \(\x\t(D))∩eq \(\x\t(E))∩F，以上3个事件彼此互斥且独立．
∴红队有且只有一名队员获胜的概率
P1＝P[(D∩eq \(\x\t(E))∩eq \(\x\t(F)))∪(eq \x\t(D)∩E∩eq \x\t(F))∪(eq \(\x\t(D))∩eq \(\x\t(E) )∩F)]＝P(D∩ eq \(\x\t(E)) ∩eq \(\x\t(F)))＋P(eq \x\t(D)∩E∩eq \x\t(F))＋P(eq \(\x\t(D))∩eq \(\x\t(E))∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：D∩E∩eq \x\t(F)，D∩eq \x\t(E)∩F，eq \x\t(D)∩E∩F，D∩E∩F.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(D∩E∩eq \x\t(F))＋P(D∩ eq \x\t(E)∩F)＋P(eq \x\t(D)∩E∩F)＋P(D∩E∩F)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件eq \(\x\t(D))∩eq \(\x\t(E))∩eq \(\x\t(F))，且P(eq \(\x\t(D))∩eq \(\x\t(E))∩eq \(\x\t(F)))＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴红队至少两人获胜的概率为
P2＝1－P1－P(eq \(\x\t(D))∩eq \(\x\t(E))∩eq \(\x\t(F)))＝1－0.35－0.1＝0.55.