高中4.1.1 条件概率学案设计

这是一份高中4.1.1 条件概率学案设计，共7页。


知识点一 两个事件A与B的交(或积)
把由事件A和B________所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记做________(或________)．
知识点二 条件概率
知识点三 计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即 P(B|A)＝eq \f(nA∩B,nA).
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)计算求得P(B|A)．
[基础自测]
1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,3)，则P(B|A)＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,9)
C.eq \f(1,9) D.eq \f(4,9)
2．已知P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,5)，则P(A∩B)等于( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(9,10)
C.eq \f(2,15) D.eq \f(1,15)
3．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D．1
4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．

题型一 利用定义求条件概率
例1 一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；
(2)求P(B|A)．
eq \x(状元随笔) 首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．
方法归纳
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(A∩B)；
(3)代入公式求P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA).
2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
跟踪训练1 甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
题型二 利用基本事件个数比(缩小样本空间的方法)求条件概率
例2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
eq \x(状元随笔) 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．
方法归纳
1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，方法一为定义法，方法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
2．计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即 P(B|A)＝eq \f(nA∩B,nA).
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)计算求得P(B|A)．
(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件A∩B发生的概率，即
P(B|A)＝eq \f(nA∩B,nA)＝eq \f(\f(nA∩B,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq \f(PA∩B,PA).
跟踪训练2 本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．
题型三 条件概率的综合应用
eq \x(状元随笔) 1.掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？
[提示] 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．
2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？
[提示] “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．
3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？并求出此概率．
[提示] 设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＝eq \f(1,3).
例3 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
先求基本事件的概率，再依据条件概率的计算公式计算．(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________；
(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________．
方法归纳
条件概率的解题策略
分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．跟踪训练3 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．
教材反思
4．1 条件概率与事件的独立性
4．1.1 条件概率
新知初探·自主学习
知识点一
同时发生 D＝A∩B D＝AB
知识点二
发生 P(B|A) eq \f(PA∩B,PA)，P(A)>0
[基础自测]
1．解析：由P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq \f(1,2)，故选A.
答案：A
2．解析：由P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)，得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15).
答案：C
3．解析：因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是eq \f(1,3).
答案：B
4．解析：根据条件概率公式知P＝eq \f(0.4,0.8)＝0.5.
答案：0.5
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由古典概型的概率公式可知
P(A)＝eq \f(2,5)，
P(B)＝eq \f(2×1＋3×2,5×4)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)，
P(A∩B)＝eq \f(2×1,5×4)＝eq \f(1,10).
(2)根据条件概率的计算公式可知
P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq \f(1,4).
跟踪训练1 解析：由公式可得P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB)＝eq \f(2,3)，P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(3,5).
答案：eq \f(2,3) eq \f(3,5)
例2 【解析】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝Aeq \\al(2,6)＝30，
根据分步计数原理n(A)＝Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3).
(2)因为n(A∩B)＝Aeq \\al(2,4)＝12，于是P(A∩B)＝eq \f(nA∩B,nΩ)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5).
(3)方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5).
方法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝eq \f(nA∩B,nA)＝eq \f(12,20)＝eq \f(3,5).
跟踪训练2 解析：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C.
n(A)＝Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(1,5)＝20，n(A∩C)＝Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(1,2)＝8，
∴P(C|A)＝eq \f(nA∩C,nA)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5).
例3 【解析】 (1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是eq \f(81,1 200)＝eq \f(27,400).
(2)方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是eq \f(25,500)＝eq \f(1,20).
方法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P(A)＝eq \f(500,1 200)，P(A∩B)＝eq \f(25,1 200)，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(1,20).
【答案】 (1)eq \f(27,400) (2)eq \f(1,20)
跟踪训练3 解析：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15).
答案：eq \f(4,15)
最新课程标准
1.了解条件概率的概念．
2．掌握求条件概率的两种方法．(难点)
3．能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)
名称
定义
符号表示
计算公式
条件
概率
对于任何两个事件A和B，在已知事件A________的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率．
________
P(B|A)＝________，
________
等级厂别数量
甲厂
乙厂
合计
合格品
475
644
1 119
次品
25
56
81
合计
500
700
1 200