高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率图文课件ppt

www.ks5u.com4.1.3　独立性与条件概率的关系

事件的独立性

(1)事件A与B相互独立的充要条件是

P(AB)＝P(A)P(B)．

(2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．

思考：如果P(A)＞0，A与B独立，则P(B|A)＝P(B)成立吗？

[提示]　成立．P(B|A)＝＝＝P(B)．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于事件A，B，若P(B|A)＝P(A)，则事件A与B相互独立． (　　)

(2)事件A，B相互独立，则事件A与也相互独立． (　　)

(3)若P()＝P()P()，则事件与相互独立． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是(　　)

A．相互独立事件　　 B．互斥事件

C．对立事件 D．不相互独立事件

A　[A1的发生与否对A2不产生影响，故选A.]

3．(教材P58练习AT4改编)已知A与B独立，且P()＝0.7，则P(A|B)＝________.

0.3　[∵P()＝0.7，∴P(A)＝1－0.7＝0.3，

又A与B独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.3.]

4．某人提出问题，甲先答，答对的概率是0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则该问题由乙答对的概率为________．

0.3　[由题意可知，甲答错，乙答对，故所求概率P＝(1－0.4)×0.5＝0.6×0.5＝0.3.]

【例1】　判断下列各对事件是否是相互独立事件．

(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．

[解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

(3)法一：记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，

∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.

∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)，

∴事件A与B相互独立．

法二：由法一可知P(B|A)＝，

又P(B)＝＝，

∴P(B|A)＝P(B)，

∴事件A与B相互独立．

判断事件是否相互独立的方法

1．定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．

2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．

一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：

(1)家庭中有两个小孩；

(2)家庭中有三个小孩．

[解]　法一：(利用定义)(1)有两个小孩的家庭，考虑男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，

共有4个元素，由等可能性知概率均为.

这时A＝{(男，女)，(女，男)}，

B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，

AB＝{(男，女)，(女，男)}，

于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.

由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，

所以事件A，B不相互独立．

(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，

由等可能性知这8个元素的概率均为，这时A中含有6个元素，B中含有4个元素，AB中含有3个元素．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．

从而事件A与B是相互独立的．

法二：(利用条件概率与独立性的关系)

(1)由题意可知P(B|A)＝，

又P(B)＝，

故P(B|A)≠P(B)．

所以A与B不相互独立．

(2)由题意可知P(B|A)＝＝，

又P(B)＝＝，

故P(B|A)＝P(B)，所以A与B相互独立．

【例2】　面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求：

(1)他们都研制出疫苗的概率；

(2)他们都失败的概率；

(3)他们能够研制出疫苗的概率．

[思路点拨]　→

→

[解]　令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故

P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.

(2)他们都失败即事件，，同时发生，

故P(∩∩)＝P()P()P()

＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))

＝

＝××＝.

(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率

P＝1－P(∩∩)＝1－＝.

1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤

(1)首先确定各事件之间是相互独立的；

(2)确定这些事件可以同时发生；

(3)求出每个事件的概率，再求积．

2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．

[探究问题]

如何区别“相互独立事件”与“互斥事件”？

[提示]　

【例3】　在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．

[思路点拨]　由题目可获取以下主要信息：①3个开关并联；②每个开关闭合的概率是0.7，且闭合与否相互独立．解答本题可先作出一个线路图，再分情况讨论．

[解]　如图所示，记这段时间内开关KA，KB，KC能够闭合为事件A，B，C.

由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P()

＝P()P()P()

＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]

＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.

于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是

1－P()＝1－0.027＝0.973.

即这段时间内线路正常工作的概率是0.973.

解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立性及互斥事件、对立事件的有关知识，依据“串联通易求，并联断易求”的原则，给予解答.

1．事件A，B之间独立性的判定方式

(1)定义法：P(AB)＝P(A)P(B)；

(2)借助条件概率：P(B|A)＝P(B)或P(A|B)＝P(A)；

(3)直接法：看事件A发生对事件B有无影响．

2．求复杂事件的概率一般可分三步进行

(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；

(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；

(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．

3．计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．

1．已知P(A|B)＝0.6，P(B|A)＝0.3且A，B相互独立，则P(AB)等于(　　)

A．0.18　　　　 B．0.9

C．0.3 D．无法求解

A　[P(A|B)＝0.6，P(B|A)＝0.3且A，B相互独立，

∴P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，

∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.3＝0.18.]

2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)

A．互斥事件　　　　 B．对立事件

C．相互独立事件 D．不相互独立事件

C　[由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(A∩B)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C.]

3．已知A与B相互独立，且P(AB)＝，P(B)＝，则P(|B)＝________.

　[∵A与B相互独立，

∴P(AB)＝P(A)P(B)＝.

又P(B)＝，所以P(A)＝.

∴P(|B)＝P()＝1－P(A)＝1－＝.]

4．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．

0.98　[设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，

则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)

＝1－0.20×0.10＝0.98.]

5．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：

(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；

(2)至少有一个气象台预报准确的概率．

[解]　记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.

(1)P(A∩B)＝P(A)×P(B)＝×＝.

(2)至少有一个气象台预报准确的概率为

P＝1－P(∩)＝1－P()×P()＝1－×＝.