2021年北京海淀区康福外国语学校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区康福外国语学校八年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是
A. x2−2x−2B. x2+1C. x2−4x+4D. x2+4x+1

2. 化简分式 7a+7ba+b2 的结果是
A. a+b7B. 7a+bC. a−b7D. 7a−b

3. 已知 xy=12，则 3x+yy 的值为
A. 7B. 17C. 52D. 25

4. 如图，在 3×3 的正方形网格中有四个格点 A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是
A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D

5. 如图，已知正比例函数 y1=ax 的图象与一次函数 y2=12x+b 的图象交于点 P．下面有四个结论：
① a<0；② b<0；③当 x>0 时，y1>0；④当 x<−2 时，y1>y2．其中正确的是
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①④

6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

7. 斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约 0.0000005 克．将 0.0000005 用科学记数法表示为
A. 5×107B. 5×10−7C. 0.5×10−6D. 5×10−6

8. 如图，在 △ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE．若 BE=4，AC=5，则 AE 的长为
A. 3B. 4C. 5D. 6

9. 甲志愿者计划用若干个工作曰完成社区的某项工作．从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3 天完成任务．设甲志愿者计划完成此项工作的天数是 x 天，用方程表示问题中的数量关系为
A. x−3x+x−5x=1B. x−2x+x−5x=1
C. x−3x+x−2x=1D. 2x−3x=1

10. 关于 x 的一次函数 y=1kx−2+k1−x（0A. −2k+kB. 1k−2kC. kD. −k

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. P3,4 关于 y 轴的对称点 Pʹ 的坐标是 ．

13. 计算：（1）3b2a2= ；（2）10abc2÷5a4c= ．

14. 如图，点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF．要使 △ABC≌△DEF，则需要再添加的一个条件是 ．（写出一个即可）

15. 如图，△ABC 是等边三角形，AB=6，AD 是 BC 边上的中线．点 E 在 AC 边上，且 ∠EDA=30∘，则直线 ED 与 AB 的位置关系是 ，ED 的长为 ．

16. 写出一个一次函数，使得它同时满足下列两个条件：① y 随 x 的增大而减小；②图象经过点 1,−4．答： ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘．
（1）作出 ∠BAC 的平分线 AM；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 ∠BAC 的平分线 AM 与 BC 交于点 D，且 BD=3，AC=10，则 △DAC 的面积为 ．

18. 小芸家与学校之间是一条笔直的公路，小芸从家步行前往学校的途中发现忘记带阅读分享要用的 U 盘，便停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上 U 盘马上赶往学校，同时小芸沿原路返回．两人相遇后，小芸立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小芸到达学校比妈妈到家多用了 5 分钟．若小芸步行的速度始终是每分钟 100 米，小芸和妈妈之间的距离 y 与小芸打完电话后步行的时间 x 之间的函数关系如图所示，则妈妈从家出发 分钟后与小芸相遇，相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟 米，小芸家离学校的距离为 米．

三、解答题（共11小题；共143分）
19. 分解因式：
（1）5a2+10ab；
（2）mx2−12mx+36m．

20. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：2x+1+x+5x2−1，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学:2x+1+x+5x2−1=2x+1x−1+x+5x+1x−1 第一步=2+x+5x+1x−1 第二步=x+7x+1x−1. 第三步乙同学:2x+1+x+5x2−1=2x−1x+1x−1+x+5x+1x−1 第一步=2x−2+x+5 第二步=3x+3. 第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误．
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．
（1）我选择 同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．
该同学的解答从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程．
2x+1+x+5x2−1．
解：

21. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 AC 边上，AE∥BC，连接 ED 并延长交 BC 于点 F．若 AD=CD，求证：ED=FD．

22. 解分式方程：5x+3+2x2−9=1x−3．

23. 已知一次函数 y=kx+b，当 x=2 时 y 的值为 1，当 x=−1 时 y 的值为 −5．
（1）在所给坐标系中画出一次函数 y=kx+b 的图象；
（2）求 k，b 的值；
（3）将一次函数 y=kx+b 的图象向上平移 4 个单位长度，求所得到新的函数图象与 x 轴，y 轴的交点坐标．

24. 阅读材料：
课堂上，老师设计了一个活动：将一个 4×4 的正方形网格沿着网格线划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．
小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图 1 、图 2 、图 3 所示．
小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图 3）逆时针旋转 90∘ 后得到的划分方法与我的划分方法（图 1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”
老师说：“小方说得对．”
完成下列问题：
（1）图 4 的划分方法是否正确?答： ．
（2）判断图 5 的划分方法与图 2 小易的划分方法是否相同，并说明你的理由；答： ．
（3）请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图 6 中画出来．

25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=3x+1 与 y 轴交于点 A．直线 l2:y=kx+b 与直线 y=−x 平行，且与直线 l1 交于 B1,m，与 y 轴交于点 C．
（1）求 m 的值，以及直线 l2 的表达式；．
（2）点 P 在直线 l2:y=kx+b 上，且 PA=PC，求点 P 的坐标；
（3）点 D 在直线 l1 上，且点 D 的横坐标为 a．点 E 在直线 l2 上，且 DE∥y 轴．若 DE=6，求 a 的值．

26. 在 △ABC 中，∠A=60∘，BD，CE 是 △ABC 的两条角平分线，且 BD，CE 交于点 F．
（1）如图 1，用等式表示 BE，BC，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD=BC．他发现先在 BC 上截取 BM，使 BM=BE，连接 FM，再利用三角形全等的判定和性质证明 CM=CD 即可．
①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：
ⅰ）在 BC 上截取 BM，使 BM=BE，连接 FM，则可以证明 △BEF 与 全等，判定它们全等的依据是 ；
ⅱ）由 ∠A=60∘，BD，CE 是 △ABC 的两条角平分线，可以得出 ∠EFB= ∘；
⋯⋯
②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想 BE+CD=BC 的过程．
证明：
（2）如图 2，若 ∠ABC=40∘，求证：BF=CA．
证明：

27. 基础代谢是维持机体生命活动最基本的能量消耗．在身高、年龄、性别相同的前提下（不考虑其他因素的影响），可以利用某基础代谢估算公式，根据体重 x（单位：kg）计算得到人体每日所需基础代谢的能量消耗 y（单位：Kcal），且 y 是 x 的函数．已知六名身高约为 170 cm 的 15 岁男同学的体重，以及计算得到的他们每日所需基础代谢的能量消耗，如表所示：
学生编号ABCDEF体重xkg545660636770每日所需基础代谢的能量消耗
请根据上表中的数据回答下列问题：
（1）随着体重的增加，人体每日所需基础代谢的能量消耗 ；（填“增大”、“减小”或“不变”）
（2）若一个身高约为 170 cm 的 15 岁男同学，通过计算得到他每日所需基础代谢的能量消耗为 1792 Kcal，则估计他的体重最接近于
A．59 kg
B．62 kg
C．65 kg
D．68 kg
（3）当 54≤x≤70 时，下列四个 y 与 x 的函数中，符合表中数据的函数是
A．y=x2
B．y=−10.5x+1071
C．y=10x+1101
D．y=17.5x+651

28. 我们把正 n 边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正 n 边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正 n 边形的“扩展图形”，并将它的边数记为 an．如图 1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且 a3=12．图 3 、图 4 分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．
（1）如图 2，在 5×5 的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图 2 中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知 a3=12，a4=20，a5=30，则图 4 中 a6= ，根据以上规律，正 n 边形的“扩展图形”中 an= ；（用含 n 的式子表示）
（3）已知 1a3=13−14，1a4=14−15，1a5=15−16，⋯，且 1a3+1a4+1a5+⋯+1an=97300，则 n= ．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=12x+b 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，且点 C 的坐标为 4,−4．
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；（用含 b 的式子表示）
（2）当 b=4 时，如图 1 所示．连接 AC，BC，判断 △ABC 的形状，并证明你的结论；
（3）过点 C 作平行于 y 轴的直线 l2，点 P 在直线 l2 上．当 −5答案
第一部分
1. C
2. B
3. C
4. D
5. D
【解析】由图象可知，a<0，b>0，当 x>0 时，y1<0，
因为直线 y1=ax 与直线 y2=12x+b 交点横坐标为 −2，
所以当 x<−2 时，y1>y2，
故①④正确．
6. A【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
7. B【解析】将 0.0000005 用科学记数法表示为 5×10−7 ．
8. B
9. A
10. B
【解析】y=1kx−2+k1−x=1kx−2k−kx+k=1k−kx−2k+k，
∵0 ∴1k−k>0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∵2≤x≤3，
∴ 当 x=3 时，y 取得最大值，此时 y=1k×3−2+k×1−3=1k−2k．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. −3,4
13. 9b4a2，8bc
14. ∠A=∠D（答案不唯一）
15. 平行，3
16. （答案不唯一）y=−4x
17. 如图所示：
，15
【解析】（2）如图 2，过点 D 作 DE⊥AC，
因为 AD 平分 ∠BAC，
所以 BD=DE=3，
所以 △DAC 的面积为 3×102=15．
18. 8，60，2100
【解析】由图象可知，妈妈从家出发 8 min 后与小芸相遇，
相遇后，妈妈回家的平均速度是 160018−10−100=60（米/分钟），
小芸家离学校的距离为 1600+100×23−18=2100（米）．
第三部分
19. （1） 5a2+10ab=5aa+2b．
（2） mx2−12mx+36m=mx2−12x+36=mx−62.
20. （1） 甲；一；第一个分式的变形不符合分式的基本性质，分子漏乘 x−1（答案不唯一）
（2） 2x+1+x+5x2−1=2x−1x+1x−1+x+5x+1x−1=2x−2+x+5x+1x−1=3x+3x+1x−1=3x−1.
21. 如图．
因为 AE∥BC，
所以 ∠1=∠C，∠E=∠2．
在 △AED 和 △CFD 中，
∠1=∠C,∠E=∠2,AD=CD.
所以 △AED≌△CFD．
所以 ED=FD．
22. 方程两边同乘 x+3x−3，得
5x−3+2=x+3.
整理，得
5x−15+2=x+3.
解得
x=4.
经检验 x=4 是原分式方程的解．
所以，原分式方程的解为
x=4.
23. （1） 图象如图所示．
（2） 因为当 x=2 时 y 的值为 1，当 x=−1 时 y 的值为 −5，
所以 2k+b=1,−k+b=−5.
解得 k=2,b=−3.
（3） 因为一次函数 y=2x−3 的图象向上平移 4 个单位长度后得到的新函数为 y=2x+1，
所以令 y=0，得 x=−12；令 x=0，得 y=1．
所以新函数的图象与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为 −12,0，0,1．
24. （1） 不正确
（2） 相同，
因为将图 5 通过翻折旋转变换后可以得到与图 2 的划分方法相同的划分方法．
（3）
（答案不唯）．
25. （1） ∵B1,m 在直线 l1 上，
∴m=3×1+1=4．
∵ 直线 l2:y=kx+b 与直线 y=−x 平行，
∴k=−1．
∵B1,4 在直线 l2 上，
∴−1+b=4，解得 b=5．
∴ 直线 l2 的表达式为 y=−x+5．
（2） ∵ 直线 l1:y=3x+1 与 y 轴交于点 A，
∴ 点 A 的坐标为 0,1．
∵ 直线 l2 与 y 轴交于点 C，
∴ 点 C 的坐标为 0,5．
∵PA=PC，
∴ 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上，
∴ 点 P 的纵坐标为 1+5−12=3．
∵ 点 P 在直线 l2 上，
∴−x+5=3，解得 x=2．
∴ 点 P 的坐标为 2,3．
（3） ∵ 点 D 在直线 l1:y=3x+1 上，且点 D 的横坐标为 a，
∴ 点 D 的坐标为 a,3a+1．
∵ 点 E 在直线 l2:y=kx+b 上，且 DE∥y 轴，
∴ 点 E 的坐标为 a,−a+5．
∵DE=6，
∴3a+1−−a+5=6．
∴a=52 或 a=−12．
26. （1） ① △BMF；边角边；60
②如图 1．
∵ 由ⅰ）知 △BEF≌△BMF，
∴∠2=∠1．
∵ 由ⅱ）知 ∠1=60∘，
∴∠2=60∘，∠3=∠1=60∘．
∴∠4=180∘−∠1−∠2=60∘．
∴∠3=∠4．
∵CE 是 △ABC 的角平分线，
∴∠5=∠6．
在 △CDF 和 △CMF 中，
∠3=∠4,CF=CF,∠5=∠6,
∴△CDF≌△CMF．
∴CD=CM．
∴BE+CD=BM+CM=BC．
（2） 作 ∠ACE 的平分线 CN 交 AB 于点 N，如图 2．
∵∠A=60∘，∠ABC=40∘，
∴∠ACB=180∘−∠A−∠ABC=80∘．
∵BD，CE 分别是 △ABC 的角平分线，
∴∠1=∠2=12∠ABC=20∘，∠3=∠ACE=12∠ACB=40∘．
∵CN 平分 ∠ACE，
∴∠4=12∠ACE=20∘．
∴∠1=∠4．
∵∠5=∠2+∠3=60∘，
∴∠5=∠A．
∵∠6=∠1+∠5，∠7=∠4+∠A，
∴∠6=∠7．
∴CE=CN．
∵∠EBC=∠3=40∘，
∴BE=CE．
∴BE=CN．
在 △BEF 和 △CNA 中，
∠5=∠A,∠1=∠4,BE=CN,
∴△BEF≌△CNA．
∴BF=CA．
27. （1） 增大
（2） C
（3） D
28. （1） 如图所示．
（2） 42；nn+1
（3） 99
29. （1） −2b,0；0,b
（2） 等腰直角三角形；
证明：过点 C 作 CD⊥y 轴于点 D，如图，
则 ∠BDC=∠AOB=90∘．
∵ 点 C 的坐标为 4,−4，
∴ 点 D 的坐标为 0,−4，CD=4．
∵ 当 b=4 时，点 A，B 的坐标分别为 −8,0，0,4，
∴AO=8，BO=4，BD=8．
∴AO=BD，BO=CD．
在 △AOB 和 △BDC 中，
AO=BD,∠AOB=∠BDC,BO=CD,
∴△AOB≌△BDC．
∴∠1=∠2，AB=BC．
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠3=90∘，即 ∠ABC=90∘．
∴△ABC 是等腰直角三角形．
（3） −12，−83，8．