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2021年北京海淀区北京外国语大学附属中学九年级上期末数学试卷
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这是一份2021年北京海淀区北京外国语大学附属中学九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 ∠BAC=45∘，一动点 O 在射线 AB 上运动（点 O 与点 A 不重合），设 OA=x，如果半径为 1 的 ⊙O 与射线 AC 有公共点，那么 x 的取值范围是
A. 02
2. 如图，已知 △ABC∽△DEF，AB∶DE=1:2，则下列等式一定成立的是
A. BCDF=12B. ∠A的度数∠D的度数=12
C. △ABC的面积△DEF的面积=12D. △ABC的周长△DEF的周长=12
3. 在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，摸出一个球不放回， 再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是
A. 12B. 13C. 16D. 18
4. 如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点 AC>BC，则下列结论中正确的是
A. AB2=AC2+BC2B. BC2=AC⋅BA
C. AC2=AB⋅BCD. AC=2BC
5. 将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线的表达式为
A. y=2x−32+5B. y=2x+32+5
C. y=2x−32−5D. y=2x+32−5
6. 如图，⊙O 中，CD⊥AB 于点 E，若 ∠B=60∘，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
7. 抛物线 y=x2−3x+2 与 x 轴的交点个数是
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个
8. 已知点 P 为抛物线 y=x2+2x−3 在第一象限内的一个动点，且 P 关于原点的对称点 Pʹ 恰好也落在该抛物线上，则点 Pʹ 的坐标为
A. −1,−1B. −2,−3
C. −2,−22−1D. −3,−23
9. 菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘
10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=x2−2x+2 上运动，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，以 AC 为对角线作正方形 ABCD（点 D 在 AC 的左侧）．若点 D 恰好也落在抛物线上，则点 A 的坐标为
A. 2,2，3,5B. 2,2，4,10
C. 3,5，4,10D. 2,2，4,10，6,26
二、填空题（共6小题；共30分）
11. △ABC 中，∠A 、 ∠B 都是锐角，若 sinA=32，csB=12，则 ∠C= ．
12. 二氧化碳 ρkg/m3 关于体积 vm3 的函数关系式如图所示，其函数关系式是 ．
13. 如图，为了测量某风景区内一座古塔 AB 的高度，小明分别在塔的对面一楼层 CD 的楼底 C，楼顶 D 处，测得塔顶 A 的仰角为 45∘ 和 30∘，已知楼高 CD 为 10 m，则塔 AB 的高度为 m．
14. 如图，反比例函数 y=4x1≤x≤4 的图象记为曲线 C1，将 C1 向左平移 2 个单位长度，得到曲线 C2，则 C1 平移至 C2 处所扫过的面积是 ．
15. 如图，△OAC 的顶点 O 在坐标原点，OA 边在 x 轴上，OA=2，AC=1，把 △OAC 绕点 A 按顺时针方向旋转到 △OʹACʹ，使得点 Oʹ 的坐标是 1,3，则在旋转过程中线段 OC 扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
16. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AC=7，点 O 在 AC 上，且 AO=2，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 90∘，得到线段 OD，要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长等于 ．
三、解答题（共13小题；共169分）
17. 用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：12 可表示为 12=sin30∘=cs60∘=tan45∘⋅sin30∘=⋯．
仿照上述材料，完成下列问题
（1）用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的三角比或其组合表示 32，即：
填空：32= = = =⋯；
（2）用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式．要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比、上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于 1．即：
填空：1= ．
18. 已知抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A3,0，B−1,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
19. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点．求证：AC=BD．
20. 某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从 4 名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．
21. 如图，在 △ABC 中，∠B=45∘，∠C=75∘，夹边 BC 的长为 6，求 △ABC 的面积．
22. 如图，Rt△ABC 的斜边 AC 的两个顶点在反比例函数 y=k1x 的图象上，点 B 在反比例函数 y=k2x 的图象上，AB 与 x 轴平行，BC=2，点 A 的坐标为 1,3．
（1）求 C 点的坐标．
（2）求点 B 所在函数图象的解析式．
23. 如图，某建筑物 DE 的顶部有一避雷针 CD，甲、乙两人分别在相距 11 m 的 A 、 B 两处测得点 D 和点 C 的仰角分别为 45∘ 和 62∘，B 处到建筑物的距离 BE=15 m，且 A 、 B 、 E 三点在一条直线上．
（1）A 处到建筑物的距离 AE 等于 m．
（2）求避雷针 CD 的高度．
（结果保留整数，sin62∘≈0.88，cs62∘≈0.47，tan62∘≈1.88，供选用）
24. 某大型超市将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装每提高 1 元，销售量就减少 5 套，如果超市将售价定为 x 元．请你求出每天销售利润 y 元与售价 x 元的函数表达式．
25. 已知在 △ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，c−b=4−23．解这个三角形．
26. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，在 ⊙O 的切线 CM 上取一点 P，使得 ∠CPB=∠COA．
（1）求证：PB 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=43，CD=6，求 PB 的长．
27. 已知二次函数 y1=x2+bx+c 的图象 C1 经过 −1,0，0,−3 两点．
（1）求 C1 对应的函数解析式．
（2）将 C1 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到抛物线 C2，将 C2 对应的函数表达式记为 y2=x2+mx+n，求 C2 对应的函数解析式．
（3）设 y3=2x+3．在（2）的条件下，如果在 −2≤x≤a 内存在某一个 x 的值，使得 y2≤y3 成立，结合函数图象直接写出 a 的取值范围．
28. （1）如图 1，在正方形 ABCD 的边 CD 上任取一点 E，作 EF⊥CD，交 CH 于点 F，取 AF 的中点 H，连接 EH，BH．判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?并加以证明；
（2）若将图 1 中的 △CEF 绕点 C 顺时针旋转 90 度，如图 2，判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?不写证明，直接写出结论；
（3）若将图 1 中的 △CEF 绕点 C 顺时针旋转 180 度，如图 3，判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?并加以证明；
29. 如图，一次函数 y=−23x+2 的图象分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B，以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90∘．
（1）求点 A，B 的坐标；
（2）求过 B，C 两点的直线的解析式．
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，BC 与 DF 不是对应边，排除A选项；对应角相等，排除B选项；面积比等于相似比的平方，排除C选项；周长比等于相似比，则D选项正确．
3. C
4. C
5. C
6. A【解析】∵CD⊥AB，
∴∠AED=90∘，
∵∠D=∠B=60∘，
∴∠A=90∘−∠D=30∘．
7. C
8. D【解析】设 P 点坐标为 m,n，则 P 点关于原点对称的点 Pʹ 的坐标为 −m,−n，
∵ 两点都在抛物线上，代入可得 n=m2+2m−3，−n=m2−2m−3，
联立两式解得 m=±3，
∵P 为第一象限内动点，m>0，
∴m=3，n=23．
∴Pʹ 的坐标为 −3,−23．
9. C
10. B
第二部分
11. 60∘
12. ρ=9.9v
13. 15+53
14. 6
【解析】如图所示，C1 平移至 C2 处所扫过的面积是 2×3=6．
15. π2
16. 3
【解析】过点 D 作 DE⊥AC 于 E，
则 ∠DOE+∠AOP=90∘，∠DOE+∠ODE=90∘，
∴∠ODE=∠AOP．
∵OD=OP，∠DEO=∠OAP=90∘，
∴△DEO≌△OAP，
∴DE=OA=CE=2，
∴AP=OE=7−4=3．
第三部分
17. （1） sin60∘；cs30∘；tan45∘⋅sin60∘ 等
（2） tan45∘+sin30∘⋅ct45∘−cs60∘÷tan45∘=1 等
18. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A3,0，B−1,0，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x−3x+1，
即 y=−x2+2x+3．
（2） ∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,4．
19. 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E．
∵O 为圆心，且 OE⊥AB．
∴AE=BE，
同理 CE=DE．
∴AC=BD．
20. 列表如下：
男男女女男−−−男,男女,男女,男男男,男−−−女,男女,男女男,女男,女−−−女,女女男,女男,女女,女−−−
所有等可能的情况有 12 种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有 8 种，则 P （ 选出的两名主持人
“恰好为一男一女”） =812=23 .
21. 如图，作 CD⊥AB 于点 D，
在 Rt△BCD 中，CD=BC⋅sinB=6×22=32，
BD=BC⋅csB=6×22=32，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B=45∘，
在 Rt△ACD 中，∠ACD=75∘−45∘=30∘，
∴tan30∘=ADCD，
∴AD=32×33=6，
∴S△ABC=12×32+6×32=9+33．
22. （1） 把点 A1,3 代入反比例函数 y=k1x 得 k1=1×3=3，
∴ 过 A 点与 C 点的反比例函数解析式为 y=3x，
∵AB 与 x 轴平行，
∴B 点的纵坐标为 3，
∵BC 平行 y 轴，BC=2，
∴C 点的纵坐标为 1，
把 y=1 代入 y=3x 得 x=3，
∴C 点坐标为 3,1．
（2） 把 B3,3 代入反比例函数 y=k2x 得 k2=3×3=9，
∴ 点 B 所在函数图象的解析式为 y=9x．
23. （1） 26．
（2） 在 Rt△ADE 中，∠DAE=45∘，AE=26，
∴DE=AE⋅tan45∘=26×1=26．
在 Rt△BCE 中，∠CBE=62∘，BE=15．
∴CE=BE⋅tan62∘≈15×1.88=28.2．
∴CD=CE−DE=28.2−26=2.2≈2m．
24. y=x−40300−x−50×5=−5x2+750x−22000.
25. ∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴∠A=180∘×11+2+3=30∘，∠B=60∘，∠C=90∘．
∴sinB=sin60∘=bc=32．
∴b=32c．
∵c−b=4−23，
∴c−32c=4−23，
解得 c=4．
则 b=23，a=42−232=2．
26. （1） ∵PC 与 ⊙O 相切于点 C，
∴OC⊥PC．
∴∠OCP=90∘．
∵∠AOC=∠CPB，∠AOC+∠BOC=180∘，
∴∠BOC+∠CPB=180∘．
在四边形 PBOC 中，∠PBO=360∘−∠CPB−∠BOC−∠PCO=90∘．
∴ 半径 OB⊥PB．
∴PB 是 ⊙O 的切线．
（2） 解法 1：
连接 OP，如图．
∵AB 是 ⊙O 的直径，AB=43，
∴OC=OB=12AB=23．
∵ 弦 CD⊥AB 于点 E，CD=6，
∴CE=12CD=3．
在 Rt△CEO 中，sin∠COE=CECO=32．
∴∠COE=60∘．
∵PB，PC 都是 ⊙O 的切线，
∴∠CPO=∠BPO，∠OCP=∠OBP．
∴∠COP=∠BOP=60∘．
∴PB=OB⋅tan60∘=6．
【解析】解法 2：
连接 BC，如图．
∵AB 是 ⊙O 的直径，AB=43，
∴OC=12AB=23，
∵ 弦 CD⊥AB 于点 E，CD=6，
∴CE=12CD=3．
在 Rt△CEO 中，sin∠COE=CECO=32，
∴∠COE=60∘，
∴∠CPB=∠COE=60∘，∠ABC=12∠COE=30∘．
∴BC=2CE=6．
∵PB，PC 都是 ⊙O 的切线，
∴PB=PC．
∴△PBC 为等边三角形．
∴PB=BC=6．
27. （1） ∵ 二次函数 y1=x2+bx+c 的图象 C1 经过 −1,0，0,−3 两点，
∴1−b+c=0,c=−3.
解得 b=−2,c=−3.
∴ 抛物线 C1 的函数解析式为 y=x2−2x−3．
（2） ∵y1=x2−2x−3=x−12−4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,−4．
∵C1 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位长度，得到抛物线 C2，
∴ 平移后 C2 的顶点坐标为 0,0，C2 对应的函数表达式记为 y2=x2．
（3） 如图所示．
由图象，得 a≥−1．
28. （1） EH=BH，EH⊥BH，理由如下：
延长 EF 交 AB 于点 G，并连接 HG．
在正方形 ABCD 中，EF⊥CD，即 EG⊥AB．
易知三角形 △AGF，△CEF 为等腰直角三角形，
四边形 CEGB 为矩形．
∵ 点 H 为 AF 的中点
∴GH=12AF=HF．
在等腰直角三角形 △AGF 中，点 H 为 AF 的中点，∠HGF=∠GFH=45∘，∠GHF=90∘，
∴∠HGB=∠HFE=135∘，
在等腰直角三角形 △CEF 和矩形 CEGB 中，GB=EC=EF，
∴△HGB≌△HFE .
∴BH=EH，∠GHB=∠FHE．
又 ∠GHF=90∘，即 ∠GHB+∠BHF=90∘，
∴∠EHF+∠BHF=90∘，即 BH⊥EH．
（2） EH=BH，EH⊥BH．
【解析】过 F 作 FG⊥AB 垂足为 G 交 CD 于 N，连接 AC，GH，CH .
∵△CEF 绕点 C 顺时针旋转 90 度，
∴B 、 C，E 共线．
∵∠ACD=45∘ ，
∴∠ACF=90∘ .
∵H 为 AF 中点，
∴CH=HF .
∵CE=EF，HE=HE ，
∴△HCE≌△HFE .
∴HE 平分 ∠CEF .
∴HE 与 CD 的交点为 N .
∵FG⊥AB，H 为 AF 中点，
∴GH=HF，GB=EF .
∴∠HGF=∠HFG .
∴∠HGB=∠HFE .
∴△HGB≌△HFE .
∴HB=HE，∠GBH=∠FEH=45∘ .
∵∠HEB=45∘ ，
∴HB⊥HE .
（3） EH=BH，EH⊥BH．理由如下：
延长 FE 交 AB 的延长线于点 G，并连接 HG．
在正方形 ABCD 中，EF⊥CD，即 FG⊥AB．
易知三角形 △AGF，△CEF 为等腰直角三角形，
四边形 CEGB 为矩形．
∵ 点 H 为 AF 的中点，
∴GH=12AF=HF．
在等腰直角三角形 △AGF 中，点 H 为 AF 的中点，
∠HGA=∠F=45∘，∠GHF=90∘．
在等腰直角三角形 △CEF 和矩形 CEGB 中，GB=EC=EF，
∴△HGB≌△HFE，
∴BH=EH，∠GHB=∠FHE．
又 ∠GHF=90∘，即 ∠FHE+∠EHG=90∘，
∴∠EHG+∠GHB=90∘，即 BH⊥EH．
29. （1） ∵ 一次函数 y=−23x+2 中，
令 x=0 得：y=2；
令 y=0，解得 x=3，
∴B 的坐标是 0,2，A 的坐标是 3,0．
（2） 如图，作 CD⊥x 轴于点 D．
∵∠BAC=90∘，
∴∠OAB+∠CAD=90∘．
又 ∵∠CAD+∠ACD=90∘，
∴∠ACD=∠BAO．
在 △ABO 与 △CAD 中，
∠BAO=∠ACD,∠BOA=∠ADC,AB=CA,
∴△ABO≌△CAD（AAS）．
∴OB=AD=2，OA=CD=3，OD=OA+AD=5．
则 C 的坐标是 5,3，
设直线 BC 的解析式是 y=kx+b，
根据题意得：5k+b=3,b=2,
解得：k=15，b=2，
∴ 直线 BC 的解析式是 y=15x+2．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 ∠BAC=45∘，一动点 O 在射线 AB 上运动（点 O 与点 A 不重合），设 OA=x，如果半径为 1 的 ⊙O 与射线 AC 有公共点，那么 x 的取值范围是
A. 0
2. 如图，已知 △ABC∽△DEF，AB∶DE=1:2，则下列等式一定成立的是
A. BCDF=12B. ∠A的度数∠D的度数=12
C. △ABC的面积△DEF的面积=12D. △ABC的周长△DEF的周长=12
3. 在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，摸出一个球不放回， 再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是
A. 12B. 13C. 16D. 18
4. 如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点 AC>BC，则下列结论中正确的是
A. AB2=AC2+BC2B. BC2=AC⋅BA
C. AC2=AB⋅BCD. AC=2BC
5. 将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线的表达式为
A. y=2x−32+5B. y=2x+32+5
C. y=2x−32−5D. y=2x+32−5
6. 如图，⊙O 中，CD⊥AB 于点 E，若 ∠B=60∘，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
7. 抛物线 y=x2−3x+2 与 x 轴的交点个数是
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个
8. 已知点 P 为抛物线 y=x2+2x−3 在第一象限内的一个动点，且 P 关于原点的对称点 Pʹ 恰好也落在该抛物线上，则点 Pʹ 的坐标为
A. −1,−1B. −2,−3
C. −2,−22−1D. −3,−23
9. 菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘
10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=x2−2x+2 上运动，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，以 AC 为对角线作正方形 ABCD（点 D 在 AC 的左侧）．若点 D 恰好也落在抛物线上，则点 A 的坐标为
A. 2,2，3,5B. 2,2，4,10
C. 3,5，4,10D. 2,2，4,10，6,26
二、填空题（共6小题；共30分）
11. △ABC 中，∠A 、 ∠B 都是锐角，若 sinA=32，csB=12，则 ∠C= ．
12. 二氧化碳 ρkg/m3 关于体积 vm3 的函数关系式如图所示，其函数关系式是 ．
13. 如图，为了测量某风景区内一座古塔 AB 的高度，小明分别在塔的对面一楼层 CD 的楼底 C，楼顶 D 处，测得塔顶 A 的仰角为 45∘ 和 30∘，已知楼高 CD 为 10 m，则塔 AB 的高度为 m．
14. 如图，反比例函数 y=4x1≤x≤4 的图象记为曲线 C1，将 C1 向左平移 2 个单位长度，得到曲线 C2，则 C1 平移至 C2 处所扫过的面积是 ．
15. 如图，△OAC 的顶点 O 在坐标原点，OA 边在 x 轴上，OA=2，AC=1，把 △OAC 绕点 A 按顺时针方向旋转到 △OʹACʹ，使得点 Oʹ 的坐标是 1,3，则在旋转过程中线段 OC 扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
16. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AC=7，点 O 在 AC 上，且 AO=2，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 90∘，得到线段 OD，要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长等于 ．
三、解答题（共13小题；共169分）
17. 用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：12 可表示为 12=sin30∘=cs60∘=tan45∘⋅sin30∘=⋯．
仿照上述材料，完成下列问题
（1）用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的三角比或其组合表示 32，即：
填空：32= = = =⋯；
（2）用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式．要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比、上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于 1．即：
填空：1= ．
18. 已知抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A3,0，B−1,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
19. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点．求证：AC=BD．
20. 某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从 4 名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．
21. 如图，在 △ABC 中，∠B=45∘，∠C=75∘，夹边 BC 的长为 6，求 △ABC 的面积．
22. 如图，Rt△ABC 的斜边 AC 的两个顶点在反比例函数 y=k1x 的图象上，点 B 在反比例函数 y=k2x 的图象上，AB 与 x 轴平行，BC=2，点 A 的坐标为 1,3．
（1）求 C 点的坐标．
（2）求点 B 所在函数图象的解析式．
23. 如图，某建筑物 DE 的顶部有一避雷针 CD，甲、乙两人分别在相距 11 m 的 A 、 B 两处测得点 D 和点 C 的仰角分别为 45∘ 和 62∘，B 处到建筑物的距离 BE=15 m，且 A 、 B 、 E 三点在一条直线上．
（1）A 处到建筑物的距离 AE 等于 m．
（2）求避雷针 CD 的高度．
（结果保留整数，sin62∘≈0.88，cs62∘≈0.47，tan62∘≈1.88，供选用）
24. 某大型超市将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装每提高 1 元，销售量就减少 5 套，如果超市将售价定为 x 元．请你求出每天销售利润 y 元与售价 x 元的函数表达式．
25. 已知在 △ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，c−b=4−23．解这个三角形．
26. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，在 ⊙O 的切线 CM 上取一点 P，使得 ∠CPB=∠COA．
（1）求证：PB 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=43，CD=6，求 PB 的长．
27. 已知二次函数 y1=x2+bx+c 的图象 C1 经过 −1,0，0,−3 两点．
（1）求 C1 对应的函数解析式．
（2）将 C1 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到抛物线 C2，将 C2 对应的函数表达式记为 y2=x2+mx+n，求 C2 对应的函数解析式．
（3）设 y3=2x+3．在（2）的条件下，如果在 −2≤x≤a 内存在某一个 x 的值，使得 y2≤y3 成立，结合函数图象直接写出 a 的取值范围．
28. （1）如图 1，在正方形 ABCD 的边 CD 上任取一点 E，作 EF⊥CD，交 CH 于点 F，取 AF 的中点 H，连接 EH，BH．判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?并加以证明；
（2）若将图 1 中的 △CEF 绕点 C 顺时针旋转 90 度，如图 2，判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?不写证明，直接写出结论；
（3）若将图 1 中的 △CEF 绕点 C 顺时针旋转 180 度，如图 3，判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?并加以证明；
29. 如图，一次函数 y=−23x+2 的图象分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B，以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90∘．
（1）求点 A，B 的坐标；
（2）求过 B，C 两点的直线的解析式．
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，BC 与 DF 不是对应边，排除A选项；对应角相等，排除B选项；面积比等于相似比的平方，排除C选项；周长比等于相似比，则D选项正确．
3. C
4. C
5. C
6. A【解析】∵CD⊥AB，
∴∠AED=90∘，
∵∠D=∠B=60∘，
∴∠A=90∘−∠D=30∘．
7. C
8. D【解析】设 P 点坐标为 m,n，则 P 点关于原点对称的点 Pʹ 的坐标为 −m,−n，
∵ 两点都在抛物线上，代入可得 n=m2+2m−3，−n=m2−2m−3，
联立两式解得 m=±3，
∵P 为第一象限内动点，m>0，
∴m=3，n=23．
∴Pʹ 的坐标为 −3,−23．
9. C
10. B
第二部分
11. 60∘
12. ρ=9.9v
13. 15+53
14. 6
【解析】如图所示，C1 平移至 C2 处所扫过的面积是 2×3=6．
15. π2
16. 3
【解析】过点 D 作 DE⊥AC 于 E，
则 ∠DOE+∠AOP=90∘，∠DOE+∠ODE=90∘，
∴∠ODE=∠AOP．
∵OD=OP，∠DEO=∠OAP=90∘，
∴△DEO≌△OAP，
∴DE=OA=CE=2，
∴AP=OE=7−4=3．
第三部分
17. （1） sin60∘；cs30∘；tan45∘⋅sin60∘ 等
（2） tan45∘+sin30∘⋅ct45∘−cs60∘÷tan45∘=1 等
18. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A3,0，B−1,0，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x−3x+1，
即 y=−x2+2x+3．
（2） ∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,4．
19. 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E．
∵O 为圆心，且 OE⊥AB．
∴AE=BE，
同理 CE=DE．
∴AC=BD．
20. 列表如下：
男男女女男−−−男,男女,男女,男男男,男−−−女,男女,男女男,女男,女−−−女,女女男,女男,女女,女−−−
所有等可能的情况有 12 种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有 8 种，则 P （ 选出的两名主持人
“恰好为一男一女”） =812=23 .
21. 如图，作 CD⊥AB 于点 D，
在 Rt△BCD 中，CD=BC⋅sinB=6×22=32，
BD=BC⋅csB=6×22=32，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B=45∘，
在 Rt△ACD 中，∠ACD=75∘−45∘=30∘，
∴tan30∘=ADCD，
∴AD=32×33=6，
∴S△ABC=12×32+6×32=9+33．
22. （1） 把点 A1,3 代入反比例函数 y=k1x 得 k1=1×3=3，
∴ 过 A 点与 C 点的反比例函数解析式为 y=3x，
∵AB 与 x 轴平行，
∴B 点的纵坐标为 3，
∵BC 平行 y 轴，BC=2，
∴C 点的纵坐标为 1，
把 y=1 代入 y=3x 得 x=3，
∴C 点坐标为 3,1．
（2） 把 B3,3 代入反比例函数 y=k2x 得 k2=3×3=9，
∴ 点 B 所在函数图象的解析式为 y=9x．
23. （1） 26．
（2） 在 Rt△ADE 中，∠DAE=45∘，AE=26，
∴DE=AE⋅tan45∘=26×1=26．
在 Rt△BCE 中，∠CBE=62∘，BE=15．
∴CE=BE⋅tan62∘≈15×1.88=28.2．
∴CD=CE−DE=28.2−26=2.2≈2m．
24. y=x−40300−x−50×5=−5x2+750x−22000.
25. ∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴∠A=180∘×11+2+3=30∘，∠B=60∘，∠C=90∘．
∴sinB=sin60∘=bc=32．
∴b=32c．
∵c−b=4−23，
∴c−32c=4−23，
解得 c=4．
则 b=23，a=42−232=2．
26. （1） ∵PC 与 ⊙O 相切于点 C，
∴OC⊥PC．
∴∠OCP=90∘．
∵∠AOC=∠CPB，∠AOC+∠BOC=180∘，
∴∠BOC+∠CPB=180∘．
在四边形 PBOC 中，∠PBO=360∘−∠CPB−∠BOC−∠PCO=90∘．
∴ 半径 OB⊥PB．
∴PB 是 ⊙O 的切线．
（2） 解法 1：
连接 OP，如图．
∵AB 是 ⊙O 的直径，AB=43，
∴OC=OB=12AB=23．
∵ 弦 CD⊥AB 于点 E，CD=6，
∴CE=12CD=3．
在 Rt△CEO 中，sin∠COE=CECO=32．
∴∠COE=60∘．
∵PB，PC 都是 ⊙O 的切线，
∴∠CPO=∠BPO，∠OCP=∠OBP．
∴∠COP=∠BOP=60∘．
∴PB=OB⋅tan60∘=6．
【解析】解法 2：
连接 BC，如图．
∵AB 是 ⊙O 的直径，AB=43，
∴OC=12AB=23，
∵ 弦 CD⊥AB 于点 E，CD=6，
∴CE=12CD=3．
在 Rt△CEO 中，sin∠COE=CECO=32，
∴∠COE=60∘，
∴∠CPB=∠COE=60∘，∠ABC=12∠COE=30∘．
∴BC=2CE=6．
∵PB，PC 都是 ⊙O 的切线，
∴PB=PC．
∴△PBC 为等边三角形．
∴PB=BC=6．
27. （1） ∵ 二次函数 y1=x2+bx+c 的图象 C1 经过 −1,0，0,−3 两点，
∴1−b+c=0,c=−3.
解得 b=−2,c=−3.
∴ 抛物线 C1 的函数解析式为 y=x2−2x−3．
（2） ∵y1=x2−2x−3=x−12−4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,−4．
∵C1 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位长度，得到抛物线 C2，
∴ 平移后 C2 的顶点坐标为 0,0，C2 对应的函数表达式记为 y2=x2．
（3） 如图所示．
由图象，得 a≥−1．
28. （1） EH=BH，EH⊥BH，理由如下：
延长 EF 交 AB 于点 G，并连接 HG．
在正方形 ABCD 中，EF⊥CD，即 EG⊥AB．
易知三角形 △AGF，△CEF 为等腰直角三角形，
四边形 CEGB 为矩形．
∵ 点 H 为 AF 的中点
∴GH=12AF=HF．
在等腰直角三角形 △AGF 中，点 H 为 AF 的中点，∠HGF=∠GFH=45∘，∠GHF=90∘，
∴∠HGB=∠HFE=135∘，
在等腰直角三角形 △CEF 和矩形 CEGB 中，GB=EC=EF，
∴△HGB≌△HFE .
∴BH=EH，∠GHB=∠FHE．
又 ∠GHF=90∘，即 ∠GHB+∠BHF=90∘，
∴∠EHF+∠BHF=90∘，即 BH⊥EH．
（2） EH=BH，EH⊥BH．
【解析】过 F 作 FG⊥AB 垂足为 G 交 CD 于 N，连接 AC，GH，CH .
∵△CEF 绕点 C 顺时针旋转 90 度，
∴B 、 C，E 共线．
∵∠ACD=45∘ ，
∴∠ACF=90∘ .
∵H 为 AF 中点，
∴CH=HF .
∵CE=EF，HE=HE ，
∴△HCE≌△HFE .
∴HE 平分 ∠CEF .
∴HE 与 CD 的交点为 N .
∵FG⊥AB，H 为 AF 中点，
∴GH=HF，GB=EF .
∴∠HGF=∠HFG .
∴∠HGB=∠HFE .
∴△HGB≌△HFE .
∴HB=HE，∠GBH=∠FEH=45∘ .
∵∠HEB=45∘ ，
∴HB⊥HE .
（3） EH=BH，EH⊥BH．理由如下：
延长 FE 交 AB 的延长线于点 G，并连接 HG．
在正方形 ABCD 中，EF⊥CD，即 FG⊥AB．
易知三角形 △AGF，△CEF 为等腰直角三角形，
四边形 CEGB 为矩形．
∵ 点 H 为 AF 的中点，
∴GH=12AF=HF．
在等腰直角三角形 △AGF 中，点 H 为 AF 的中点，
∠HGA=∠F=45∘，∠GHF=90∘．
在等腰直角三角形 △CEF 和矩形 CEGB 中，GB=EC=EF，
∴△HGB≌△HFE，
∴BH=EH，∠GHB=∠FHE．
又 ∠GHF=90∘，即 ∠FHE+∠EHG=90∘，
∴∠EHG+∠GHB=90∘，即 BH⊥EH．
29. （1） ∵ 一次函数 y=−23x+2 中，
令 x=0 得：y=2；
令 y=0，解得 x=3，
∴B 的坐标是 0,2，A 的坐标是 3,0．
（2） 如图，作 CD⊥x 轴于点 D．
∵∠BAC=90∘，
∴∠OAB+∠CAD=90∘．
又 ∵∠CAD+∠ACD=90∘，
∴∠ACD=∠BAO．
在 △ABO 与 △CAD 中，
∠BAO=∠ACD,∠BOA=∠ADC,AB=CA,
∴△ABO≌△CAD（AAS）．
∴OB=AD=2，OA=CD=3，OD=OA+AD=5．
则 C 的坐标是 5,3，
设直线 BC 的解析式是 y=kx+b，
根据题意得：5k+b=3,b=2,
解得：k=15，b=2，
∴ 直线 BC 的解析式是 y=15x+2．
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