2021年北京海淀区尚丽外国语学校(初中部)八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区尚丽外国语学校(初中部)八年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若二次根式 3−aa 有意义，则 a 的取值范围是
A. a≤3 且 a≠0B. a>3
C. a<3 且 a≠0D. a≠0

2. 估计 42−1 的值在
A. 4 和 5 之间B. 5 和 6 之间C. 6 和 7 之间D. 7 和 8 之间

3. 如图，在 △ABC 中，AC 边上的高线是
A. 线段 DAB. 线段 BAC. 线段 BCD. 线段 BD

4. 化简 x2−y2y−x2 的结果是
A. −1B. 1C. x+yy−xD. x+yx−y

5. 用长分别为 3 cm，4 cm，7 cm 的三条线段围成三角形的事件是
A. 随机事件B. 必然事件C. 不可能事件D. 以上都不是

6. 下列图形中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

7. 下列实数：① 227，② 4，③ 2.15，④ 1.01001000100001⋯（小数部分每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），其中是无理数的是
A. ①B. ②C. ③D. ④

8. 下列成语所描述的事件必然发生的是
A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待兔D. 瓮中捉鳖

9. 【测试 3 】下列运算正确的是
A. 4+9=4+9B. 12×6=62C. 32−2=3D. 24÷3=23

10. 如图，在 △ABC 中，CE 平分 ∠ACB，CF 平分 △ABC 的外角 ∠ACD，且 EF∥BC 交 AC 于 M，若 CM=4，则 CE2+CF2 的值为
A. 8B. 16C. 32D. 64

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 求一个数 a 的 的运算，叫做开立方．

12. 命题“如果 a+b=0，那么 a，b 互为相反数”的逆命题为 ．

13. 当 x= 时，分式 x−32x−1 的值为 0．

14. 如图，用直尺和圆规作一个角 ∠AʹOʹBʹ 等于已知角 ∠AOB，能得出 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB 的依据是 ．

15. 已知：x，y 均为正数，且满足 x23=y24，那么 x:y 的值为 ．

16. 如图，EC 与 DA 交于点 B，∠ACB=90∘，∠A=60∘，BD=BE，则 ∠DEB 的度数是 ．

17. 已知 2
18. 如图，AE=AD，AB=AC，∠A=60∘，∠B=24∘，则 ∠BOC= ．

19. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，则 AB 边上的高是 cm．

20. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BC=2，CD 平分 ∠ACB，则 S△ACDS△BCD 值等于 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
21. 已知 19−2 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 3b+42+2a．

22. 计算：
（1）3x+2+12−x−2x4−x2；
（2）1m−1+m+1．

23. 如图，从一个大正方形中裁去面积为 15 cm2 和 24 cm2 的两个小正方形，求留下部分的面积．

24. 化简求值：
1−2a−1÷a−3a2−2a+1，其中，a=−2．

25. 寒假期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成 12 份），并规定：读者每购买 100 元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得 45 元、 30 元、 25 元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书．如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得 10 元的购书券．
（1）写出转动一次转盘获得 45 元购书券的可能性大小；
（2）转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算?请说明理由．

26. 解方程：xx+2+x+2x−2=8x2−4．

27. 如图，BE，CF 是 △ABC 的高，D 是 BC 边的中点，求证：DE=DF．

28. 甲、乙两名同学各在电脑上输入 1500 个汉字，乙的输入速度是甲的 3 倍，因此比甲少用 20 分钟完成任务，那么它们两个平均每分钟各输入多少个汉字?

29. 如图，已知 ∠1=∠2，AD=AB，∠E=∠C，求证：△ADE≌△ABC．

30. （1）请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．
（2）以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以 a，b 为底，以 BC 为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．

31. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为 3，22，5．

32. 如图，AD∥BC，AE 平分 ∠BAD，BE 平分 ∠ABC，求证：AD+BC=AB．
答案
第一部分
1. A【解析】∵3−a≥0,a≠0,
∴a≤3 且 a≠0．
2. B
3. D
4. D
5. C
6. B
7. D【解析】227 是分数，也是有理数；4=2，是有理数；2.15 是循环小数，是有理数；1.01001000100001⋯（小数部分每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）是无限不循环小数．是无理数．
8. D
9. B【解析】A．4+9=13，此选项错误；
B．12×6=23×6=62，此选项正确；
C．32−2=22，此选项错误；
D．24÷3=8=22，此选项错误；
故选：B．
10. D
【解析】∵CE 平分 ∠ACB，CF 平分 ∠ACD，
∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，
即 ∠ECF=12∠ACB+∠ACD=90∘，
又 ∵EF∥BC，CE 平分 ∠ACB，CF 平分 ∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴EM=MF=CM=4，
∴EF=8，
在 Rt△ECF 中，由勾股定理得 CE2+CF2=EF2=64，故选D．
第二部分
11. 立方根
12. 如果 a，b 互为相反数，那么 a+b=0
13. 3
【解析】由题意知 x−3=0，
解得 x=3，
当 x=3 时，2x−1=5≠0，
∴x=3 时，分式 x−32x−1 的值为 0．
14. SSS
15. 3:2
16. 75∘
【解析】∵∠ACB=90∘，∠A=60∘，
∴∠ABC=30∘，
∴∠DBE=∠ABC=30∘．
∵BD=BE，
∴∠DEB=∠EDB=12180∘−∠DBE=75∘．
17. 2−2
【解析】∵2 ∴∣a−π∣+∣a−2∣−2−π2=π−a+a−2−π−2=2−2．
18. 108∘
【解析】在 △ABF 和 △ACE 中，AE=AF,∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABF≌△ACESAS，
∴∠B=∠C，
∵∠B=24∘，∠A=60∘，
∴∠C=24∘，∠AFB=96∘，
∵∠AFB+∠OFC=180∘，
∴∠OFC=84∘，
∵∠BOC=∠C+∠OFC，
∴∠BOC=108∘．
19. 2.4
【解析】∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵ 直角三角形的面积 =12× 两直角边的积 =12× 斜边 × 斜边上的高，
∴ 设 AB 边上的高为 x，则 4×3=5x，解得 x=2.4，
∴AB 边上的高是 2.4cm．
20. 3
【解析】作 DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F，如图，
∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，
∴AC=3BC=23，
∵CD 平分 ∠ACB，
∴DE=DF，
∴S△ACDS△BCD=12⋅DE⋅AC12⋅DF⋅BC=232=3．
第三部分
21. ∵ 19−2 的整数部分是 a，小数部分是 b，
∴a=2，b=19−4．
∴原式=319+4=4319．
22. （1） 原式=3x+2−1x−2+2xx2−4=3x+2−1x−2+2xx−2x+2=3x−2−x+2+2xx−2x+2=4x−2x−2x+2=4x+2.
（2） 原式=1+m−1m+1m−1=1+m2−1m−1=m2m−1.
23. 大正方形的边长为
15+24=15+26，
所以留下部分的面积为
15+262−15−24=1210cm2．
24. 原式=a−1−2a−1⋅a−12a−3=a−1，
将 a=−2 代入得：原式=−2−1=−3．
25. （1） P获得45元购书券=112．
（2） 转转盘更合算．理由如下：45×112+30×212+25×312=15（元）．
∵15 元 >10 元，
∴ 转转盘对读者更合算．
26. 原方程的根是 x=1．
27. 因为 BE，CF 是 △ABC 的高，
所以 △BCE 和 △BCF 都是直角三角形．
因为 D 是 BC 的中点，
所以 DE，DF 分别是 Rt△BCE，Rt△BCF 的斜边 BC 上的中线，
所以 DE=12BC，DF=12BC，
所以 DE=DF．
28. 设甲每分钟输入 x 个汉字，那么乙每分钟输入 3x 个汉字，
根据题意：
15003x=1500x−20,
解得
x=50.
经检验，x=50 是原方程的解，且符合题意．
3x=150．
答：甲每分钟输入 50 个汉字，乙每分钟输入 150 个汉字．
29. ∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即 ∠BAC=∠DAE，
在 △ADE 和 △ABC 中，∠E=∠C,∠DAE=∠BAC,AD=AB,
∴△ADE≌△ABCAAS．
30. （1） 如果直角三角形的两直角边长分别为 a 、 b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2．
（2） ∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC .
又 ∠EDC+∠DEC=90∘，
∴∠AEB+∠DEC=90∘ .
∴∠AED=90∘．
∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，
∴12a+ba+b=12ab+12ab+12c2，
整理，得 a2+b2=c2．
31. 由于 222=8=22+22，因此可以构造一个两直角边长均为 2 的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是 22．要构造一条长度为 5 的线段，可构造一个直角边长分别为 2 和 1 的直角三角形，然后通过平移线段得到三角形．如图所示，△ABC 即为所求作的三角形．
32. 证法一：
如图 1，在 AB 上截取 AF=AD，连接 EF．
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠DAE=∠FAE．
在 △ADE 和 △AFE 中，
AD=AF,∠DAE=∠FAE,AE=AE,
∴△ADE≌△AFESAS．
∴∠DEA=∠FEA．
∵AD∥BC，AE 平分 ∠BAD，BE 平分 ∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=12∠DAB+∠CBA=12×180∘=90∘，∠CBE=∠FBE．
∴∠AEB=90∘．
∴∠DEA+∠BEC=∠FEA+∠BEF=90∘．
又 ∠DEA=∠FEA，
∴∠BEC=∠BEF．
在 △BFE 和 △BCE 中，
∠BEF=∠BEC,BE=BE,∠FBE=∠CBE,
∴△BFE≌△BCEASA．
∴BF=BC．
∴AB=AF+BF=AD+BC．
【解析】证法二：
如图 2，延长 AD，交 BE 的延长线于点 G．
∵AD∥BC，BE 平分 ∠ABC，
∴∠G=∠CBE，∠ABE=∠CBE．
∴∠G=∠ABE．
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠GAE=∠BAE．
在 △AEG 和 △AEB 中，
∠G=∠ABE,∠GAE=∠BAE,AE=AE,
∴△AEG≌△AEBAAS．
∴AG=AB，BE=GE．
在 △DGE 和 △CBE 中，
∠G=∠CBE,GE=BE,∠GED=∠BEC,
∴△DGE≌△CBEASA．
∴GD=BC．
又 AB=AG=AD+GD，
∴AB=AD+BC．