2021年北京海淀区北京中法实验学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区北京中法实验学校九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若 ⊙O 的半径为 5 cm，点 A 到圆心 O 的距离为 3 cm，那么点 A 与 ⊙O 的位置关系是
A. 点 A 在圆外B. 点 A 在圆上C. 点 A 在圆内D. 不能确定

2. 在比例尺是 1:8000 的南京市城区地图上，太平南路的长度约为 25 cm ，它的实际长度约为
A. 320 cmB. 320 mC. 2000 cmD. 2000 m

3. 在 Rt△ABC 中，如果 ∠C=90∘，AB=10，BC=8，那么 csB 的值是
A. 54B. 53C. 35D. 45

4. 关于反比例函数 y=−2x，下列说法正确的是
A. 图象过 1,2 点
B. 图象在第一、三象限
C. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小
D. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大

5. 如图，点 A，B，C 都在 ⊙O 上，若 ∠C=34∘，则 ∠AOB 为
A. 34∘B. 56∘C. 60∘D. 68∘

6. 一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒．当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是
A. 112B. 13C. 512D. 12

7. 如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 1 个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能是
A. y=x2−1B. y=x2+6x+5C. y=x2+4x+4D. y=x2+8x+17

8. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点 P 沿 A→B→C→D 的路径移动．设点 P 经过的路径长为 x，PD2=y，则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 如图所示，网格图中每个小正方形的边长为 1，则弧 AB 的弧长 l= ．

10. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，连接 DE．
（1）若 ADDB=AEEC，则 DE BC（填“∥”或“=”）；
（2）若 ACAB= ，则 DE∥BC．

11. 关于 x 的二次函数 y=k2+1x2+k−1x+2 的图象的开口方向是 ．

12. 如图，以 O0,0，A2,0 为顶点作正 △OAP1，以点 P1 和线段 P1A 的中点 B 为顶点作正 △P1BP2，再以点 P2 和线段 P2B 的中点 C 为顶点作 △P2CP3，⋯，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点 P6 的坐标是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 计算：2cs30∘+sin45∘−tan60∘．

14. 如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥DC，△AOB 的面积等于 9 平方厘米，△AOD 的面积等于 6 平方厘米．
（1）求 △BOC 的面积．
（2）求 DOOB 和 COOA 的值．

15. 已知：抛物线的解析式为 y=−2x+4x−1．
（1）求抛物线与 y 轴的交点坐标；
（2）写出这个抛物线的对称轴方程；
（3）求出抛物线在 x 轴上方的部分所对应的自变量 x 的取值范围．

16. 如图，某山顶上建有手机信号中转塔 AB，在地面 D 处测得塔尖的仰角 ∠ADC=60∘，塔底的仰角 ∠BDC=45∘，点 D 距塔 AB 的距离 DC 为 100 米，求手机信号中转塔 AB 的高度（结果保留根号）．

17. 如图，AB 是 ⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为 C，交 ⊙O 于点 D，点 E 在 ⊙O 上．
（1）若 ∠AOD=52∘，求 ∠DEB 的度数；
（2）若 OC=3，OA=5，求 AB 的长．

18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x 与反比例函数 y=kxk≠0 的图象相交于点 A3,a．
（1）求 a，k 的值；
（2）直线 x=bb>0 分别与一次函数 y=x 、反比例函数 y=kx 的图象相交于点 M，N，当 MN=2 时，画出示意图并直接写出 b 的值．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，点 D 在 BC 边上，∠ADC=45∘，BD=2，tanB=34．
（1）求 AC 和 AB 的长．
（2）求 sin∠BAD 的值．

20. 如图，△ABC 中，E 是 AC 上一点，AE=AB，连接 EB，∠EBC=12∠BAC，以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 于点 D，交 EB 于点 F．
（1）求证：BC 与 ⊙O 相切；
（2）若 AB=8，sin∠EBC=14，求 AC 的长．

21. 如图，已知点 O0,0，A−5,0，B2,1，抛物线 l:y=−x−h2+1（h 为常数）与 y 轴的交点为 C．
（1）l 经过点 B，求它的解析式，并写出此时 l 的对称轴及顶点坐标；
（2）设点 C 的纵坐标为 yC，求 yC 的最大值，此时 l 上有两点，其中 x1>x2≥0，比较 y1 与 y2 的大小；
（3）当线段 OA 被 l 只分为两部分，且这两部分的比是 1:4 时，求 h 的值．

22. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，点 D 在射线 BC 上（不与点 B，C 重合），连接 AD，将 AD 绕点 D 顺时针旋转 90∘ 得到 DE，连接 BE．
（1）如图 1，点 D 在 BC 边上．
① 依题意补全图 1；
② 作 DF⊥BC 交 AB 于点 F，若 AC=8，DF=3，求 BE 的长；
（2）如图 2，点 D 在 BC 边的延长线上，用等式表示线段 AB，BD，BE 之间的数量关系（直接写出结论）．

23. 已知抛物线 y=ax2−3a+1x+2a+1a≠0．
（1）求证：无论 a 为任何非零实数，该抛物线与 x 轴都有交点；
（2）若抛物线 y=ax2−3a+1x+2a+1 与 x 轴交于 Am,0，Bn,0 两点，m，n，a 均为整数，一次函数 y=kx+bk≠0 的图象经过点 Pn−1,n+1，Q0,a，求一次函数的表达式．

24. 如图，在 △ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 上，且 ∠ADF+∠DEC=180∘，∠AFE=∠BDE．
（1）如图 1，当 DE=DF 时，图 1 中是否存在与 AB 相等的线段?若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．
（2）如图 2，当 DE=kDF（其中 0
25. 我们规定：函数 y=ax+kx+b（a 、 b 、 k 是常数，k≠ab）叫奇特函数．当 a=b=0 时，奇特函数 y=ax+kx+b 就是反比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）．
（1）如果某一矩形两边长分别是 2 和 3，当它们分别增加 x 和 y 后，得到新矩形的面积为 8．求 y 与 x 之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A 、 C 坐标分别为 6,0 、 0,3，点 D 是 OA 中点，连接 OB 、 CD 交于 E，若奇特函数 y=ax+kx−4 的图象经过点 B 、 E，求该奇特函数的表达式；
（3）把反比例函数 y=2x 的图象向右平移 4 个单位，再向上平移 个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；
（4）在（2）的条件下，过线段 BE 中点 M 的一条直线 l 与这个奇特函数图象交于 P，Q 两点（P 在 Q 右侧），如果以 B 、 E 、 P 、 Q 为顶点组成的四边形面积为 16，请直接写出点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. D
4. D
5. D
6. C
7. B【解析】因为抛物线 y=x2−1 可以向上平移两次得到 y=x2+1，所以 A可能．
因为抛物线 y=x2+4x+4=x+22 可以先向右平移一次再向上平移一次得到 y=x2+1，所以C可能．
因为抛物线 y=x2+8x+17=x+42+1 可以向右平移两次得到 y=x2+1，所以D可能．
因为抛物线 y=x2+6x+5=x+32−4，所以经过任意两次简单变换都不能得到 y=x2+1．
8. D【解析】（1）当 0≤x≤2a 时，
∵PD2=AD2+AP2，AP=x，
∴y=x2+a2．
（2）当 2a CP=2a+a−x=3a−x，
∵PD2=CD2+CP2，
∴y=3a−x2+2a2=x2−6ax+13a2．
（3）当 3a PD=2a+a+2a−x=5a−x，
∵PD2=y，
∴y=5a−x2=x−5a2，
综上，可得 y=x2+a2,0≤x≤2a,x2−6ax+13a2,2a ∴ 能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是选项 D 中的图象．
第二部分
9. 322π
【解析】根据网格图 计算扇形 AOB 的圆心角 n=90∘，半径 r=OA=32+32=32，故弧 AB 的弧长 l=nπr180=90π×32180=322π．
10. ∥，AE，AD
【解析】（1）因为 ADDB=AEEC，
所以 △ADE∽△ABC，
所以 ∠ADE=∠B，
所以 DE∥BC．
（2）若 DE∥BC，则可得 △ADE∽△ABC，
所以 AEAC=ADAB，
即 ACAB=AEAD．
11. 向上
12. 6332,21332
【解析】
由题意可得，每个正三角形的边长是上一个正三角形边长的 12，则第六个正三角形的边长为 116，高为 332．
结合图形，P6 的横坐标为 2−12×116=6332，纵坐标为 3−34−38+14×38=21332，即 P6 的坐标是 6332,21332．
第三部分
13. 22
14. （1） 6 平方厘米．
（2） DOOB=23；COOA=23．
15. （1） 令 x=0 得 y=8，
所以抛物线与 y 轴的交点坐标为 0,8．
（2） 令 y=0 得 x=1 或 x=−4，
所以对称轴方程为 x=−32．
（3） 根据图象可知：抛物线在 x 轴上方的部分所对应的自变量 x 的取值范围是 −416. 由题意可知，△ACD 与 △BCD 都是直角三角形．
在 Rt△BCD 中，
∵∠BDC=45∘，
∴BC=CD=100．
在 Rt△ACD 中，
∵∠ADC=60∘，CD=100，
∴tan∠ADC=ACCD，即 AC100=3．
∴AC=1003．
∴AB=AC−BC=1003−1．
答：手机信号中转塔的高度为 1003−1 米．
17. （1） ∵OD⊥AB，
∴AD=DB．
∴∠DEB=12∠AOD=12×52∘=26∘．
（2） ∵OD⊥AB，
∴AC=BC．
∵△AOC 为直角三角形，
OC=3，OA=5，
由勾股定理，可得 AC=OA2−OC2=52−32=4．
∴AB=2AC=8．
18. （1） ∵ 直线 y=x 与双曲线 y=kxk≠0 相交于点 A3,a，
∴a=3，
∴A3,3，
∴3=k3，解得 k=3．
（2） 如图所示，
b=3或1．
19. （1） 在 Rt△ABC 中，tanB=ACBC=34，
∴ 设 AC=3x，则 BC=4x．
∵BD=2，
∴DC=BC−BD=4x−2．
∵∠ADC=45∘，
∴AC=DC．
∴3x=4x−2．
解得 x=2．
∴AC=6，BC=8．
∴AB=AC2+BC2=10．
（2） 如答图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．
∵tanB=DEBE=34．
∴ 设 DE=3a，则 BE=4a．
∵DE2+BE2=BD2，BD=2，
∴3a2+4a2=22．
解得 a=25 或 a=−25（舍）．
∴DE=3a=65．
∵AD=AC2+DC2=62，
∴sin∠BAD=DEAD=210．
20. （1） 连接 AF．
∵AB 为直径，
∴∠AFB=90∘．
∵AE=AB，
∴△ABE 为等腰三角形．
∴∠BAF=12∠BAC．
∵∠EBC=12∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC．
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90∘．
∴∠ABC=90∘ 且 AB 为直径．
∴BC 与 ⊙O 相切．
（2） 过 E 作 EG⊥BC 于点 G．
∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC=14．
在 △AFB 中，∠AFB=90∘，
∵AB=8，
∴BF=AB⋅sin∠BAF=8×14=2．
∴BE=2BF=4．
在 △EGB 中，∠EGB=90∘，
∴EG=BE⋅sin∠EBC=4×14=1．
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB．
∴△CEG∽△CAB．
∴CECA=EGAB．
∴CECE+8=18．
∴CE=87．
∴AC=AE+CE=8+87=647．
21. （1） 把 x=2，y=1 代入 y=−x−h2+1 得 h=2．
∴ 解析式为 y=−x−22+1 或 y=−x2+4x−3．
对称轴 x=2，顶点 B2,1．
（2） 点 C 的横坐标为 0，则 yC=−h2+1，
∴ 当 h=0 时，yC 有最大值为 1．
此时，l 为 y=−x2+1，对称轴为 y 轴，当 x≥0 时，y 随着 x 的增大而减小，
∴x1>x2≥0 时，y1 （3） 把 OA 分 1:4 两部分的点为 −1,0 或 −4,0．
把 x=−1，y=0 代入 y=−x−h2+1，得 h=0 或 h=−2．
但 h=−2 时，OA 被分为三部分，不合题意，舍去．
同样，把 x=−4，y=0 代入 y=−x−h2+1，得 h=−5 或 h=−3（舍去）．
∴h 的值为 0 或 −5．
22. （1） ① 补全图形，如图所示．
② 如图所示：
由题意可知 AD=DE，∠ADE=90∘．
∵DF⊥BC，
∴∠FDB=90∘．
∴∠ADF=∠EDB．
∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠ABC=∠DFB=45∘．
∴DB=DF．
∴△ADF≌△EDB．
∴AF=EB．
在 △ABC 和 △DFB 中，
∵AC=8，DF=3，
∴AB=82，BF=32．
∴AF=AB−BF=52，
即 BE=52．
（2） 2BD=BE+AB．
【解析】
根据题意画图，过点 D 作 DF⊥BC 交 BA 的延长线于点 F．
同（1）可证 △ADF≌△EDB．
所以 FB=FA+AB=BE+AB=2BD．
23. （1） Δ=−3a+12−4a×2a+1=a2−2a+1=a−12≥0.
∴ 无论 a 为任何非零实数，该抛物线与 x 轴都有交点．
（2） ∵ 抛物线 y=ax2−3a+1x+2a+1 与 x 轴交于 Am,0，Bn,0 两点，
∴a≠1．
令 y=ax2−3a+1x+2a+1a≠0 中 y=0，得
ax2−3a+1x+2a+1=0.
解得
x=2,x=1+1a.
∵m，n，a 均为整数，
∴a=−1，m=0，n=2 或 m=2，n=0．
∵ 一次函数 y=kx+bk≠0 的图象经过点 Pn−l,n+l，Q0,a，
∴ 当 a=−1，n=2 时，有 P1,3，Q0,−1，解得 y=4x−1．
当 a=−1，n=0 时，有 P−1,1，Q0,−1，解得 y=−2x−1．
24. （1） 存在．AB=BE．
在 BE 上取点 H．使 BH=BD．则有 ∠1=∠2，∠ADH=∠DHC．
∵∠5+∠DEC=180∘，∠4+∠DEC=180∘，
∴∠4=∠5．
∵∠ADH=∠5+∠FDE+∠3，∠DHC=∠B+∠1=∠B+∠2=∠B+∠3+∠4，
∴∠FDE=∠B，
∴ 在等腰三角形 BDH 和等腰三角形 DFE 中，∠1=∠DFE．
又 ∠BDE=∠AFE，
∴∠3=∠AFD．
又 DE=DF，∠4=∠5，
∴△DEH≌△FDA．
∴HE=AD，
∴BE=BA．
（2）
过 D 作 DG⊥BC 交 BC 于点 G．
由（1）知，∠4=∠5，
∴△DGE∽△FAD．
∴∠3=∠6，DEDF=DGAF，
∴DG=km．
∵∠BDE=∠1+∠3，∠AFE=∠2+∠6，
∴∠1=∠2．
由（1）知 ∠B=∠FDE，
∴△BDG∽△DFE．
∴∠DGB=∠FED=90∘，BDDF=DGEF．
在 Rt△EDF 中，根据勾股定理，得 EF=1−k2EF．
∴BD=km1−k21−k2．
25. （1） 由题意得，2+x3+y=8．
∴3+y=8x+2．
∴y=8x+2−3=−3x+2x+2．
根据定义，y=−3x+2x+2 是奇特函数．
（2） 由题意得，B6,3 、 D3,0，
∴ 点 E2,1．
将点 B6,3 和 E2,1 代入 y=ax+kx−4 得
3=6a+k6−4,1=2a+k2−4.
解得 a=2,k=−6.
∴ 奇特函数的表达式为 y=2x−6x−4．
（3） 2
（4） P125,5+4、P225+8,5
【解析】把奇特函数向左平移 4 个单位，向下平移 2 个单位，可以得到反比例函数 y=2x．
此时 E−2,−1，B2,1．
根据反比例函数的性质，可知以 B，E，P，Q 为顶点组成的四边形为平行四边形．
设点 Px0,2x0．
①
S△POB=14×16=121+2x02−x0=4，
整理得 x02+8x0−4=0，解得 x0=−4±25，所以 P−4+25,5+2．
②
S△POB=14×16=121+2x0x0−2=4，
整理得 x02−8x0−4=0，解得 x0=4±25，所以 P4+25,5−2．
再把 P 点向右平移 4 个单位，向上平移 2 个单位，可得到 P 的坐标为 25,5+4，8+25,5．