2021年北京海淀区中国地大附中八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区中国地大附中八年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图案中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约 0.0000005 克．将 0.0000005 用科学记数法表示为
A. 5×107B. 5×10−7C. 0.5×10−6D. 5×10−6

3. 下列各数中，能使二次根式 2x−3 有意义的是
A. −1B. 0C. 2D. 1

4. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=20∘，若将 △ABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 E 处，则 ∠ADE 的度数是
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 55∘

5. 若三角形的三边长分别是 a，b，c，且 a−252+a−b−1+∣c−4∣=0，则这个三角形的周长是
A. 25+5B. 45−3C. 45+5D. 45+3

6. 下列各式从左到右的变形正确的是
A. yx=y+1x+1B. yx=ayaxC. yx=a2ya2xD. yx=a2+1ya2+1x

7. 已知一次函数 y=kx−k ，若 y 随着 x 的增大而减小，则该函数图象经过
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限

8. 如图，点 E 是 BC 的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE 平分 ∠BAD，下列结论：
① ∠AED=90∘；
② ∠ADE=∠CDE；
③ DE=BE；
④ AD=AB+CD．
四个结论中成立的是
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③

9. 某个体户用 700 元购进单价相同的毛巾一批，留下 10 条自已用，而将其余的毛巾每条加价 1 元出售，售完后盈利 155 元，求他购进这批毛巾共几条?若设这批毛巾共有 x 条，下面所列方程正确的有
A. 700x+1x−10=155B. 700x+1x−10=700+155
C. 1×x−10+700x×10=155D. 1×x−10=155

10. 如图，△ABC 的边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平分线将 △ABC 分为三个三角形，则 S△ABO:S△BCO:S△CAO 等于
A. 1:1:1B. 1:2:3C. 2:3:4D. 3:4:5

二、填空题（共9小题；共45分）
11. 已知 x:y=1:2 ，则 x+y:y= ．

12. 分解因式 2x2−18= ．

13. 如图，直线 y=−43x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，把 △AOB 绕点 A 按逆时针旋转 90∘ 后得到 △AO1B1，则点 B1 的坐标是 ．

14. 化简：a2−1a2+2a+1÷a2−aa+1= ．

15. 如图，点 A 、 B 的坐标分别为 1,2 、 4,0，将 △AOB 沿 x 轴向右平移，得到 △CDE，已知 DB=1，则点 C 的坐标为 ．

16. 如图，△ABC 中，AB+AC=6 cm，BC 的垂直平分线 l 与 AC 相交于点 D，则 △ABD 的周长为 cm．

17. 如图，在 △ABC 中，∠B=90∘，∠BAC=60∘，AB=5，D 是 BC 边延长线上的一点，并且 ∠D=15∘，则 CD 的长为 ．

18. 李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地，如果油箱剩余油量 y（升）与行驶里程 x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是 升．

19. 如果 a+a=0，则 a−12+a2= ．

三、解答题（共10小题；共130分）
20. 解分式方程：1x=x2−x．

21. 计算：12−418−3−8．

22. 如图，若 E 在 BC 的延长线上，其他条件不变，试探究 AE 与 EF 的数量关系．

23. 先化简： a2−b2a2−ab÷a+2ab+b2a ，当 b=−1 时，再从 −2
24. 如图，一次函数的图象经过点 P1,3，Q0,4．
（1）求该函数的表达式；
（2）该图象怎样平移后经过原点?

25. 如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC．请你用尺规作图将 △ABC 分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）

26. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与 x 轴交于点 A−4,0，与 y 轴的正半轴交于点 B．点 C 在直线 y=−x+1 上，且 CA⊥x 轴于点 A．
（1）求点 C 的坐标；
（2）若点 D 是 OA 的中点，点 E 是 y 轴上一个动点，当 EC+ED 最小时，求此时点 E 的坐标；
（3）若点 A 恰好在 BC 的垂直平分线上，点 F 在 x 轴上，且 △ABF 是以 AB 为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 F 的坐标．

27. 已知一次函数的图象经过 A3,8 和 B−3,−4 两点．
（1）求这个一次函数的关系式．
（2）若点 Pa,−2a+1 在这个函数的图象上，求 a 的值．

28. 如图所示，△ABC 与 △DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且 ∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当 ∠AEB=50∘ 时，求 ∠EBC 的度数．

29. 在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C 是线段 AB 所在平面内任意一点，分别以 AC 、 BC 为边，在 AB 同侧作等边三角形 ACE 和 BCD，连接 AD 、 BE 交于点 P．
（1）如图1，当点 C 在线段 AB 上移动时，线段 AD 与 BE 的数量关系是： ．
（2）如图2，当点 C 在直线 AB 外，且 ∠ACB<120∘，上面的结论是否还成立?若成立请证明，不成立说明理由．此时 ∠APE 是否随着 ∠ACB 的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出 ∠APE 的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，以 AB 为边在 AB 另一侧作等边三角形 ABF，连接 AD 、 BE 和 CF 交于点 P，求证：PB+PC+PA=BE．
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】将 0.0000005 用科学记数法表示为 5×10−7 ．
3. C【解析】由题意得，2x−3≥0，
解得，x≥32，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
4. C
5. D
6. D
7. B
8. A【解析】过 E 作 EF⊥AD 于 F，如图．
∵AB⊥BC，AE 平分 ∠BAD，
∴∠AFE=∠B=90∘，∠FAE=∠BAE，
在 △AEF 和 △AEB 中，
∠AFE=∠B,∠FAE=∠BAE,AE=AE,
∴Rt△AEF≌Rt△AEBAAS，
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
又 ∵ 点 E 是 BC 的中点
∴EC=EF=BE，
又 ∵DE>CE，
∴DE>BE，
∴ ③不正确．
在 Rt△EFD 和 Rt△ECD 中，
EC=EF,DE=DE,
∴Rt△EFD≌Rt△ECDHL，
∴DC=DF，∠FED=∠CED，∠FDE=∠CDE，
∴ ②正确．
∴∠AED=∠AEF+∠FED=12∠BEC=90∘，
∴ ①正确．
AD=AF+FD=AB+DC，
∴ ④正确．
9. B
10. C
【解析】∵ 三角形内角平分线的交点到三边的距离相等，
∴△ABO，△BCO，△CAO 三个三角形中，AB，BC，CA 边上的高相等，
故面积之比等于三条边的比，故 S△ABO:S△BCO:S△CAO=20:30:40=2:3:4．
第二部分
11. 3:2
12. 2x−3x+3
13. −1,−3
【解析】直线 y=−43x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，
∴ 点 B 的坐标为 0,4，点 A 的坐标为 3,0，
∴OA=3，OB=4．
根据旋转的性质，可知：AO1=AO=3，O1B1=OB=4，
∴ 点 O1 的坐标为 3,−3，点 B1 的坐标为 −1,−3．
14. 1a
15. 4,2
【解析】∵ 点 A 、 B 的坐标分别为 1,2 、 4,0，DB=1，
∴ OD=3，∴ △AOB 沿 x 轴向右平移了 3 个单位，
∴ 点 C 的坐标为 4,2．
16. 6
17. 10
【解析】∵∠B=90∘，∠BAC=60∘，AB=5，
∴∠ACB=30∘，AC=10．
∵∠D=15∘，
∴∠CAD=15∘，
∴CD=AC=10．
18. 20
【解析】设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b．
由函数图象，得 35＝b,25＝160k+b.
解得：k＝−116,b＝35.
则 y=−116x+35．
当 x=240 时，
y=−116×240+35=20（升）．
19. 1−2a
【解析】∵a+a=0，
∴a=−a．
∴a 为非正数．
∴a−12+a2=1−a−a=1−2a．
第三部分
20. 两边乘以 x2−x，得 2−x=x2．
整理，得 x2+x−2=0．
解得 x1=1，x2=−2．
把 x1=1 代入 x2−x=1≠0，
把 x2=−2 代入 x2−x=−8≠0．
所以原方程的解是 x1=1，x2=−2．
21. 原式=23−2−3−22=23−2−3+22=3+2.
22. AE=EF，
在 BA 的延长线上截取 AG=CE，
证 △AGE≌△ECF．
23. 原式= a+ba−baa−b÷a2+2ab+b2a=1a+b
在 −2①若 a=−1, 分式 a2−b2a2−ab 无意义；
②若 a=0, 分式 2ab+b2a 无意义；
③若 a=1, 分式 1a+b 无意义．
所以 a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）．
24. （1） 设 y=kx+bk≠0，
∵ 图象经过点 P1,3，Q0,4，
∴b=4,3=k+b, 解得 k=−1,,b=4
∴ 函数表达式为 y=−x+4．
（2） 向下平移 4 个单位长度；
或向左平移 4 个单位长度；
或先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度；
或先向下平移 3 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度．（答案不唯一）
25.
作出 BC 的垂直平分线，交 BC 于点 D，
∵AB=AC，
∴AD 平分 ∠BAC，即 ∠BAD=∠CAD，
在 △ABD 和 △ACD 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
26. （1） ∵CA⊥x 轴于点 A，且点 A 的坐标为 −4,0，
∴ 点 C 的横坐标为 −4．
∵ 点 C 在直线 y=−x+1 上，
∴ 点 C 的坐标为 −4,5．
（2）
∵ 点 D 是 OA 的中点，
∴ 点 D 的坐标为 −2,0．
作点 D 关于 y 轴的对称点 Dʹ，则 Dʹ 的坐标为 2,0．
连接 CDʹ 交 y 轴于点 E，此时 EC+ED 的值取到最小，如图所示．
设直线 CDʹ 的解析式为 y=kx+b，则 5=−4k+b,0=2k+b.
解得 k=−56,b=53.
∴ 直线 CDʹ 的解析式为 y=−56x+53．
当 x=0 时，y=53．
∴ 点 E 的坐标为 0,53．
（3） 4,0 或 1,0 或 −9,0．
27. （1） 设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，
∵ 一次函数的图象经过 A3,8 和 B−3,−4 两点，
∴ 3k+b=8,−3k+b=−4,
解得 k=2,b=2.
∴ 直线 AB 的表达式为 y=2x+2．
故答案为：y=2x+2．
（2） 由（1）知，直线 AB 的表达式为 y=2x+2，
把 Pa,−2a+1 代入，得 2a+2=−2a+1，
解得 a=−14．
故答案为：a=−14．
28. （1） 在 △ABE 与 △DCE 中，
∠A=∠D∠AEB=∠DECAB=DC
∴△ABE≌△DCEAAS
（2） ∵△ABE≌△DCE,
∴BE=CE,
∴∠ECB=∠EBC.
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50∘,
∴∠EBC=25∘.
29. （1） AD=BE
（2） AD=BE 成立，∠APE 不随着 ∠ACB 的大小发生变化，始终是 60∘．
∵△ACE 和 △BCD 是等边三角形，
∴EC=AC，BC=DC．
∠ACE=∠BCD=60∘．
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即 ∠ECB=∠ACD．
在 △ECB 和 △ACD 中，
EC=AC,∠ECB=∠ACD,BC=DC.
∴△ECB≌△ACD（SAS）．
∴AD=BE．
∠CEB=∠CAD．
设 BE 与 AC 交于 Q，如图．
又 ∠AQP=∠EQC，
∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180∘，
∴∠APQ=∠ECQ=60∘，
即 ∠APE=60∘．
（3） 由（2）同理可得 ∠CPE=∠EAC=60∘．
在 PE 上截取 PH=PC，连接 HC，
∴△PCH 为等边三角形．
∴HC=PC，∠CHP=60∘．
∴∠CHE=120∘．
∵∠APE=∠CPE=60∘，
∴∠CPA=120∘．
∴∠CPA=∠CHE．
在 △CPA 和 △CHE 中，
∠CPA=∠CHE,∠CAP=∠CEH,PC=HC.
∴△CPA≌△CHE（AAS）．
∴AP=EH．
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．