2021年北京海淀区海淀区寄读学校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区海淀区寄读学校八年级上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 画 △ABC 的高 BE，以下画图正确的是
A. B.
C. D.

2. 下列各式中，是最简二次根式的是
A. 0.2B. 18C. x2+1D. x2

3. 下列计算正确的是
A. a2⋅a3=a5B. a32=a5C. 3a2=6a2D. a2÷a8=1a4

4. 七巧板是一种传统智力游戏，是中国古代劳动人民的发明，用七块板可拼出许多有趣的图形．在如图所示的用七巧板拼成的图形中，可以看作轴对称图形的（不考虑拼接线）有
A. 5 个B. 4 个C. 3 个D. 2 个

5. 如图所示为一个 4×4 的正方形网格，记 ∠ABD=α，∠DEF=β，∠CGH=γ，则
A. β<α<γB. β<γ<αC. α<γ<βD. α<β<γ

6. 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是
A. aa+b−1=a2+ab−a
B. a2−a−2=aa−1−2
C. −4a2+9b2=−2a+3b2a−3b
D. 2x+1=x2+1x

7. 如图，等腰 △ABC 中，AB=AC，MN 是边 BC 上一条运动的线段（点 M 不与点 B 重合，点 N 不与点 C 重合），且 MN=12BC，MD⊥BC 交 AB 于点 D，NE⊥BC 交 AC 于点 E，在 MN 从左至右的运动过程中，△BMD 和 △CNE 的面积之和
A. 保持不变B. 先变小后变大C. 先变大后变小D. 一直变大

8. 如果分式 2−xx 的值为 0，那么 x 为
A. −2B. 0C. 1D. 2

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

10. 如图，在长方形 ABCD 中，AF⊥BD，垂足为 E，AF 交 BC 于点 F，连接 DF．图中有全等三角形 对，有面积相等但不全等的三角形 对．

11. 在你所学过的几何知识中，可以证明两个角相等的定理有 ．（写出三个定理即可）

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，A0,2，B4,0，点 P 与 A，B 不重合．若以 P，O，B 三点为顶点的三角形与 △ABO 全等，则点 P 的坐标为 ．

13. 如图，在 △ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，AD，CE 交于点 F．请你添加一个适当的条件，使 △AEF≌△CEB．添加的条件是： ．（写出一个即可）

14. 如图，点 D 是线段 AB 上一点，∠CAB=∠ADE=∠ABF=90∘，AC=BD，AD=BF，AB=DE．若 ∠AEB=α，则 ∠CEF= ．（用含 α 的式子表示）

15. 分解因式 2x2−18= ．

16. 一个多边形的每一个外角为 30∘，那么这个多边形的边数是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算：xx−2−xx+2÷4xx−2．

18. 已知 a+b=0，求代数式 aa+4b−a+2ba−2b 的值．

19. 已知：如图，点 A，D，C 在同一直线上，AB∥CE，AC=CE，∠B=∠CDE．求证：BC=DE．

20. 八年级学生去距学校 10 km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生的速度．

21. 能被 2 整除的整数叫做偶数，不能被 2 整除的整数叫做奇数．引入负数后，如 1，−3 等是奇数，0，−2 等是偶数．任意两个连续整数的平方差能确定是奇数还是偶数吗?写出你的判断并证明．

22. 已知：如图，点 D，E 在 △ABC 的边 BC 上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．

23. 请按要求完成下面三道小题．
（1）如图 1，AB=AC．这两条线段一定关于某条直线对称吗?如果是，请画出对称轴 a（尺规作图，保留作图痕迹）；如果不是，请说明理由．
（2）如图 2，已知线段 AB 和点 C．求作线段 CD（不要求尺规作图），使它与 AB 成轴对称，且 A 与 C 是对称点，标明对称轴 b，并简述画图过程．
（3）如图 3，任意位置的两条线段 AB，CD，AB=CD．你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗?如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由．

24. 在等边 △ABC 外作射线 AD，使得 AD 和 AC 在直线 AB 的两侧，∠BAD=α0∘<α<180∘，点 B 关于直线 AD 的对称点为 P，连接 PB，PC．
（1）依题意补全图 1；
（2）在图 1 中，求 ∠BPC 的度数；
（3）直接写出使得 △PBC 是等腰三角形的 α 的值．

25. 解方程：x+1x−1−4x2−1=1．

26. 当 x 为何整数时，
（1）42x+1 的值为正整数；
（2）x+2x−1 的值为整数．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. A
4. B
5. B
6. C【解析】A，B中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解；
C．运用平方差公式进行的因式分解；
D．不是在整式范围内进行的分解，不属于因式分解．
7. B【解析】设 BM=x，BC=1，tanB=tanC=a，
S△BDM=12x×ax=12x2⋅a，
S△ECN=1212−x2⋅a，
∴S=S△BDM+S△ECN=12x2⋅a+1214+x2−x⋅a=x2⋅a−a2x+180对称轴为直线 x=14，
∴ S 随 x 的增大先变小后变大．
8. D
第二部分
9. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
10. 1，4
11. 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；对顶角相等（答案不唯一）
12. 0,−2，4,2，4,−2
13. EF=EB（答案不唯一）
【解析】∵CE⊥AB，
∴∠AEF=∠CEB=90∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BAD+∠ABD=90∘，
∵∠EAF+∠AFE=90∘，
∴∠B=∠AFE．若添加 EF=EB，可根据 ASA 判定 △AEF≌△CEB．
14. 90∘−α
【解析】如图，连接 BC，AF．
∵∠CAB=∠ADE=90∘，
∴∠CAB=∠BDE=90∘，
在 △EDB 和 △BAC 中，
BD=AC,∠BDE=∠CAB,ED=AB,
∴△EDB≌△BAC，
∴EB=BC，∠BED=∠CBA．
∵ 在 Rt△BDE 中，∠BED+∠EBD=90∘，
∴∠CBA+∠EBD=90∘，即 ∠EBC=90∘，
∴△BEC 是等腰直角三角形，
∴∠BEC=45∘，
同理可证：△AEF 是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45∘，
∴∠AEF=∠BEC=45∘，
∴∠AEC=∠BEF，
∵∠AEB=α，
∴∠AEC=∠BEF=α−45∘，
∴∠CEF=∠BEC−∠BEF=45∘−α−45∘=90∘−α．
15. 2x−3x+3
16. 12
第三部分
17. xx−2−xx+2÷4xx−2=xx+2−xx−2x+2x−2⋅x−24x=4xx+2x−2⋅x−24x=1x+2.
18. aa+4b−a+2ba−2b=a2+4ab−a2−4b2=4ab+4b2.
∵ a+b=0，
∴原式=4ba+b=0.
19. ∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE．
在 △ABC 和 △CDE 中，
∠B=∠CDE,∠A=∠DCE,AC=CE,
∴△ABC≌△CDE．
∴BC=DE．
20. 设骑车学生的速度为 x km/h，由题意得，
10x−102x=13.
解得：
x=15.
经检验：x=15 是原方程的解．
答：骑车学生的速度为 15 km/h．
21. 任意两个连续整数的平方差一定是奇数．
证明：设较小的整数为 n，则较大的整数为 n+1，
这两个连续整数的平方差为 n+12−n2=n2+2n+1−n2=2n+1．
∵n 为整数，
∴2n+1 为奇数．
∴ 任意两个连续整数的平方差一定是奇数．
22. 如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H．
∵ AB=AC，AD=AE，
∴ HB=HC，HD=HE，
∴ HB−HD=HC−HE，即 BD=CE．
23. （1） 一定关于直线对称，如图 1，作 ∠BAC 的平分线所在直线为所求．
（2） 如图 2 所示．
①连接 AC；
②作线段 AC 的垂直平分线，即为对称轴 b；
③作点 B 关于直线 b 的对称点 D；
④连接 CD 即为所求．
（3） 能．先类比（2）的步骤画图，通过一次轴对称，把问题转化为（1）的情况，再做一次轴对称即可满足条件．
24. （1） 补全的图形如图 1 所示．
（2） 连接 AP，如图 2．
由点 B 关于直线 AD 的对称点为 P，可得 AD 垂直平分 PB．
∴ AP=AB．
∴ ∠PAD=∠BAD．
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60∘．
∴ AP=AC．
∴ ∠APC=∠ACP．
∴ 在 △APC 中，2∠APC+2∠PAD+∠BAC=180∘．
∴ ∠APC+∠PAD=60∘．
∴ ∠BPC=30∘．
（3） 30∘，75∘，120∘，165∘．
25. 去分母，得
x+12−4=x2−1.
去括号，得
x2+2x+1−4=x2−1.
移项合并，得
2x=2.
解得
x=1.
检验：当 x=1 时，x2−1=0，
∴ x=1 是增根，应舍去．
∴ 原分式方程无解．
26. （1） x=0．
（2） x=2或4或0或−2．