2021年北京海淀区首都师范大学附属玉泉学校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区首都师范大学附属玉泉学校八年级上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，在 △ABC 中，∠C=40∘，将 △ABC 沿直线 l 折叠，点 C 落在点 D 的位置，则 ∠1−∠2 的度数是
A. 40∘B. 80∘C. 90∘D. 140∘

2. 下列图形中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 已知 1 纳米 =0.000000001 米，则 26 纳米用科学记数法表示为
A. 2.6×10−9 米B. 2.6×10−8 米C. 2.6×10−10 米D. 2.6×108 米

4. 已知点 P3,a 关于 x 轴的对称点是点 Qb,−2，那么点 a,b 为
A. 2,−3B. 2,3C. 3,2D. 3,−2

5. 如图，已知 ∠ACD 是 △ABC 的外角，若 ∠ACD=135∘，∠A=75∘，则 ∠B 的大小为
A. 60∘B. 140∘C. 120∘D. 90∘

6. 下列各式从左到右，不是因式分解的是
A. x2+xy+1=xx+y+1B. a2−b2=a+ba−b
C. x2−4xy+4y2=x−2y2D. ma+mb+mc=ma+b+c

7. 三角形的三边长分别为 3，8，2a，则 a 的取值范围为
A. 1.5
8. 如图，如果点 M 在 ∠ANB 的角平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么和 AM 相等的线段是 ．
A. BMB. BNC. MND. AN

9. 下列计算正确的是
A. a3⋅a2=a6B. 3a3+a=3aC. a2−a=aD. −a32=a6

10. 如图，在 Rt△ADB 中，∠D=90∘，点 C 在边 DB 上，且 AC=BC=10，∠B=15∘，则 AD 的长为
A. 3B. 4C. 5D. 6

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．
这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了 a+bn（n 为正整数）的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应 a+b2=a2+2ab+b2 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着 a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，a+b4 的展开式中各项系数最大的数为 ；式子 75+5×74×−5+10×73×−52+10×72×−53+5×7×−54+−55 的值为 ．

13. 若代数式 1x−7 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

14. 化简：−3ab⋅ab2−a3b2÷−6ba2= ．

15. 全等三角形判定方法 2：在两个三角形中，如果有两个角及 对应相等，那么这两个三角形全等．（简记为 ）

16. 分解因式：a2b+4ab+4b= ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 计算：∣−3∣−3−π0+14−1．

18. 若一个多边形的内角和等于外角和的 3 倍，求这个多边形的边数．

19. 在 △DEF 中，DE=DF，点 B 在 EF 边上，且 ∠EBD=60∘，C 是射线 BD 上的一个动点（不与点 B 重合，且 BC≠BE），在射线 BE 上截取 BA=BC，连接 AC．
（1）当点 C 在线段 BD 上时，
①若点 C 与点 D 重合，请根据题意补全图 1，并直接写出线段 AE 与 BF 的数量关系为 ；
②如图 2，若点 C 不与点 D 重合，请证明 AE=BF+CD；
（2）当点 C 在线段 BD 的延长线上时，用等式表示线段 AE，BF，CD 之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．

20. 如图 1 所示，点 D 在 △ABC 的 AB 边上，且 ∠ACD=∠A．
（1）作 ∠BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系（不要求证明）．

21. 化简：4xx2−4−2x−2−1．
圆圆的解答如下：4xx2−4−2x−2−1=4x−2x+2−x2−4=−x2+2x
圆圆的解答正确吗?如果不正确，写出正确的答案．

22. 如图，点 D，A，C 在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：BC=DE．

23. 解方程：x−2−x2=1−x−33．

24. 为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校 7.5 千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快 15 千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多 14 小时，求自行车的平均速度?

25. 已知 2x−y=0，求代数式 x2+y2−x−y2+2yx−y÷4y 的值．

26. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE⊥BD，垂足为点 E，若 ∠EAC=2∠CAD，求 ∠BAE 的度数．

27. 对于 0，1 以及真分数 p，q，r，若 p两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：表中第③行中的 3 个分数 13，12，23，有 13<12<23，所以 12 为 13 和 23 的一个中间分数，在表中还可以找到 13 和 23 的中间分数 25，37，47，35．把这个表一直写下去，可以找到 13 和 23 更多的中间分数．
（1）按表的排列规律，完成下面的填空：
①表中括号内应填的数为 ；
②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的 35 和 23 的中间分数是 ；
（2）写出分数 ab 和 cd（a，b，c，d 均为正整数，ab（3）若 sm 与 tn（m，n，s，t 均为正整数）都是 917 和 815 的中间分数，则 mn 的最小值为 ．
答案
第一部分
1. B【解析】由折叠的性质得：∠D=∠C=40∘，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，
则 ∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80∘，
则 ∠1−∠2=80∘．
2. C
3. B
4. B【解析】∵ 点 P3,a 关于 x 轴的对称点为 Qb,−2，
∴a=2，b=3，
∴ 点 a,b 为 2,3，
故选B．
5. A
【解析】因为 ∠ACD 是 △ABC 的外角，∠ACD=135∘，∠A=75∘，
所以 ∠B=∠ACD−∠A=135∘−75∘=60∘．
6. A【解析】A、结果不是乘积的形式，不是分解因式，选项正确；
B、是分解因式，选项错误；
C、是分解因式，选项错误；
D、是分解因式，选项错误．
7. B
8. A
9. D【解析】选项A：a3⋅a2=a5，故此选项错误；
选项B：3a3+a，无法计算，故此选项错误；
选项C：a2−a，无法计算，故此选项错误；
选项D：−a32=a6，正确．
10. C
【解析】因为 AC=BC，
所以 ∠BAC=∠B=15∘，
所以 ∠ACD=∠BAC+∠B=30∘，
所以在 Rt△ADC 中，
AD=AC⋅sin30∘=10×12=5．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 6，32
【解析】根据题意得：a+b4 的展开式中各项系数分别为 1，4，6，4，1，
即最大的数为 6；
75+5×74×−5+10×73×−52+10×72×−53+5×7×−54+−55=7−55=32．
13. x≠7
14. −a2b2
15. 它们的夹边，ASA
16. ba+22
第三部分
17. 原式=3−1+4=3+3.
18. 设这个多边形是 n 边形，由题意得：n−2×180∘=360∘×3，
解得：n=8．
答：这个多边形的边数是 8．
19. （1） ①
如图 1，
AE=BF
②在 BE 上截取 BG=BD，连接 DG，
∵∠EBD=60∘，BG=BD，
∴△GBD 是等边三角形．
同理，△ABC 也是等边三角形．
∴AG=CD，
∵DE=DF，
∴∠E=∠F，
又 ∵∠DGB=∠DBG=60∘，
∴∠DGE=∠DBF=120∘，
在 △DGE 和 △DBF 中，
∠E=∠F,∠EGD=∠FBD,DG=DB,
∴△DGE≌△DBF，
∴GE=BF，
∴AE=BF+CD．
【解析】① ∵BA=BC，∠EBD=60∘，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=60∘，
∴∠EAD=∠FBD=120∘，
∵DE=DF，
∴∠E=∠F，
在 △ADE 和 △BDF 中，
∠E=∠F,∠EAD=∠FBD,AD=BD,
∴△ADE≌△BDF，
∴AE=BF．
（2） AE=CD−BF 或 AE=BF−CD．
【解析】如图 3，在 BE 上截取 BG=BD，连接 DG，
由（1）知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=EG−AG；
∴AE=BF−CD，
如图 4，在 BE 上截取 BG=BD，连接 DG，
由（1）知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=AG−EG；
∴AE=CD−BF．
20. （1） 如图 2 所示．
（2） DE∥AC
21. 圆圆的解答错误，正确解法：
4xx2−4−2x−2−1=4xx−2x+2−2x+2x−2x+2−x−2x+2x−2x+2=4x−2x−4−x2+4x−2x+2=2x−x2x−2x+2=−xx+2.
22. ∵AB∥EC，
∴∠BAC=∠DCE，
在 △ABC 和 △CDE 中，
∠BAC=∠DCE,AB=CD,∠B=∠D,
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
∴BC=DE．
23. x=1811．
24. 设自行车的平均速度是 x 千米/时．
根据题意，列方程得
7.5x−7.5x+15=14.
解得：
x1=15,x2=−30.
经检验，x1=15 是原方程的根，且符合题意，x2=−30 不符合题意舍去．
答：自行车的平均速度是 15 千米/时．
25. 化简得 x−12y，当 2x−y=0 时，原式=0．
26. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90∘，
∴∠AOE=45∘，
∴∠OAB=∠OBA=12180∘−45∘=67.5∘，
∴∠BAE=∠OAB−∠OAE=22.5∘．
27. （1） 27；58
（2） 本题结论不唯一，证法不唯一，如：
结论：a+cb+d．
证明：∵a，b，c，d 均为正整数，ab ∴a+cb+d−ab=ba+c−ab+dbb+d=bc−adb2+bd=cd−abbd+1>0，
a+cb+d−cd=da+c−cb+ddb+d=ad−bcbd+d2=ab−cd1+db<0．
∴ ab （3） 1504