人教版新课标A必修24.2 直线、圆的位置关系课后复习题

这是一份人教版新课标A必修24.2 直线、圆的位置关系课后复习题，共9页。
                           14.1直线与圆的位置关系【考纲要求】1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。　　2、 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。　　3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。【基础知识】1.设直线圆，圆心到直线的距离2、判断直线与圆的位置关系的方法方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系①②③方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，从而确定直线和圆的位置关系。①方程组有两个不同的实数解直线与圆相交；②方程组有两个相等的实数解直线与圆相切；③方程组没有实数解直线与圆相离。3．两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断，两圆相离    外切  相交  内切   内含   4.求直线和圆相交的弦长方法一：解半半弦等腰三角形（注意解直角三角形算出的是弦长的一半）。方法二：利用弦长公式。说明：弦长公式对有斜率的直线才能使用，斜率不存在的直线;公式中表示直线的斜率，是方程组消去化简后中的系数，是的判别式；不一定是一元二次方程；如果是先消去，则弦长公式变为，其中是直线的斜率，是中的系数，是的判别式。【例题精讲】例1   已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为多少？解：设P点坐标为(x，y)，则|PC|＝.由勾股定理及|AC|＝1，得|PA|＝＝，从而S四边形PACB＝2S△PAC＝2·|PA|·|AC|＝|PA|＝.故欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)的距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方．即这个最小值d2＝2＝9，∴S四边形PACB最小值＝＝2. 例2  求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．(1)过原点；(2)有最小面积．分析：可考虑利用过直线与圆的交点的圆系方程来解决问题．解：(1)设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.   ①∵此圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0.(2)解法一：当半径最小时，圆面积也最小，对方程①左边配方，得2＋2＝2＋≥.∴当λ＝时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为2＋2＝.解法二：当圆心在直线2x＋y＋4＝0上时，圆面积最小，易求得圆心坐标为，代入直线方程得－2(1＋λ)－＋4＝0，解得λ＝.∴当λ＝时，此圆面积最小．故满足条件的圆的方程为x2＋y2＋x－y＋＝0.评析：联立直线与圆的方程，通过解方程组求出交点坐标．进而求出圆的方程计算繁琐．过直线与圆交点的圆系方程设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的交点的圆系方程．                      14.1直线与圆的位置关系强化训练【基础精练】1．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的                      (　　)A．充分而不必要条件　　　B．必要而不充分条件C．充分必要条件          D．即不充分也不必要条件2．直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相交于A，B两点，则线段AB的长度为(　　)A．1         B．2             C.              D．23．直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0相切，则直线l的一个方向向量v＝                                             (　　)A．(2，－2)        B．(1,1)         C．(－3,2)          D．(1，)4．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)A．P在圆外         B．P在圆上       C．P在圆内        D ．不能确定5．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为                                                     (　　)A．x－y＋5＝0               B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0               D．x＋y－3＝06．已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)A．4x－4y＋1＝0               B．x－y＝0C．x＋y＝0                    D．x－y－2＝07.若射线y=x+b(x≥0)与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围为　　　　.8．过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l的方程为________________．9．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为________．10．已知：过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)求证：·为定值．    11．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？    12．已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点．(1)如果|AB|＝，求直线MQ的方程；(2)求证直线AB恒过一个定点；(3)求动弦AB的中点P的轨迹方程．    【拓展提高】1．一束光线通过点M(25,18)射到x轴上，被反射到圆C：x2＋(y－7)2＝25上．(1)求通过圆心的反射光线方程；(2)求在x轴上入射点A的活动范围．    2．设点C为曲线y＝(x>0)上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B.(1)证明：多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|EM|＝|EN|，求圆C的方程．     【基础精练参考答案】1.A【解析】：当k＝1时，圆心到直线的距离d＝＝＜1，此时直线与圆相交，所以充分性成立．反之，当直线与圆相交时，d＝＜1，|k|＜，不一定k＝1，所以必要性不成立．2.D[解析]：本题解题思路是先利用圆的方程确定其圆心与半径，再由平面几何知识确定相应的弦长．注意到圆x2＋y2－2x－2＝0，即(x－1)2＋y2＝3的圆心坐标是(1,0)，半径是，因此|AB|＝2  ＝2.3.A[解析]：由圆知圆心(1,1)，r＝.∴＝，∴k＝－1，可知A符合题意．4.A【解析】：根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，＜2，即a2＋b2＞4，所以点P(a，b)在圆x2＋y2＝4的外部．5.A【解析】：结合圆的几何性质处理会更简捷．由圆的一般方程可得圆心O(－1,2)，由圆的性质易知O(－1,2)，C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kOC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为：y－3＝x＋2整理得：x－y＋5＝0.6.D【解析】：由于两圆的圆心分别为(0,0)与(2，－2)，则可知两圆圆心所在直线的中垂线方程为y＋1＝x－1⇒y＝x－2，即直线l的方程为x－y－2＝0.7. [-,1]解析：数形结合可以得到．8. x－2y＋3＝0解析：设圆心为N，点N的坐标为(2,0)，由圆的性质得直线l与MN垂直时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l的方程为x－2y＋3＝0.9.2【解析】：记圆心为点C，圆心C为(1,1)，则|PC|2＝5，∴切线长＝＝2. 10【解】：(1)法一：∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，∴直线l的方程为y＝kx＋1.将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7＞0，得＜k＜.法二：同法一得直线方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.又圆心到直线距离d＝＝，∴d＝＜1，解得＜k＜.(2)证明：设过A点的圆的切线为AT，T为切点．则|AT|2＝|AM|·|AN|，|AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，∴·＝7.根据向量的运算：·＝||·||·cos0°＝7为定值．11.【解】：(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，因为|m|≤(m2＋1)，所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以斜率k的取值范围是[－，]．(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝.由|k|≤，得d≥＞1，即d＞.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．   12【解】：(1)由P是AB的中点，|AB|＝，可得|MP|＝ ＝ ＝.由射影定理，得|MB|2＝|MP|·|MQ|，得|MQ|＝3，在Rt△MOQ中，|OQ|＝＝＝.故Q点的坐标为(，0)或(－，0)所以直线MQ的方程是：2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.(2)证明：设Q(a,0)，由题意知M，A，Q，B四点共圆，直径为MQ，设R(x， y)是该圆上任一点，由·＝0得，x(x－a)＋(y－2)y＝0.即x2＋y2－ax－2y＝0.                                                   ①①式与x2＋(y－2)2＝1联立，消去x2＋y2项得两圆公共弦AB的方程为－ax＋2y＝3，∴无论a取何值，直线AB恒过点(0，)．  【拓展提高参考答案】1.解：∵圆心C(0,7)，半径r＝5，(1)M关于x轴的对称点N(25，－18)，由光的性质可知，过圆心的反射光线所在的直线就是过N、C两点的直线，则过N、C的直线方程x＋y－7＝0，即为所求．(2)设过N的直线方程为y＋18＝k(x－25)，即kx－y－25k－18＝0，当它为圆C的切线时，由＝5⇒k＝－或k＝－.∴过N与圆C相切的直线为y＋18＝－(x－25)或y＋18＝－(x－25)，令y＝0，得x＝或x＝1，∵A点活动范围在两切线与x轴的两交点之间，∴A点在x轴上的活动范围是.2.解：(1)证明：设点C(t>0)，因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B.所以，点E是直角坐标系原点，即E(0,0)．于是圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋.则A(2t,0)，B.由|CE|＝|CA|＝|CB|知，圆心C在Rt△AEB的斜边AB上，于是多边形EACB为Rt△AEB，其面积S＝|EA|·|EB|＝×2t×＝4.所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4.