人教版新课标A必修2第三章 直线与方程综合与测试课后作业题

                         12.1直线与方程

【考纲要求】

1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。

　　2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

　　3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。

　　4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。

　　5、 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

　　6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

【基础知识】

   一、直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

①概念轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

②当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。直线的倾斜角，所以直线的倾斜角的范围为

③任意直线都有倾斜角。

2、直线的斜率

  ①两点确定一条直线，给定两点与，则过这两点的直线的斜率（其中）   

  ②直线斜率具有无序性，哪一个点的坐标在前，哪一个点的坐标在后，计算结果不变。

  ③在今后的学习中，注意看到“差之比”要联想到两点之间的斜率。

  ④倾斜角为90°的直线没有斜率。

3、直线的倾斜角与斜率的关系

   直线的倾斜角与斜率满足正切函数，求它们的范围要画图观察函数的图像。

4、两条直线平行的判定

   两条不重合的直线和，斜率都存在。则，即两直线平行是两直线的斜率相等的充要条件。

   两条直线平行是两条直线斜率相等的非充分非必要条件。即

5、两条直线垂直的判定

   两条直线和垂直是两直线的斜率乘积为-1的必要非充分条件，即

二、直线的方程

1、直线的方程有5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。

2、两点确定一条直线，所以写出直线的方程，必须知道两个独立的几何条件。

3、直线方程的点斜式

（1）点斜式方程 (直线过点，且斜率为)．

（2）点斜式方程必须知道直线上的一个点的坐标和直线的斜率。

（3）直线方程的点斜式不能表示没有斜率的直线，所以过定点的直线应设为

或，不能遗漏了没有斜率的那条直线。

4、直线方程的斜截式

（1）斜截式方程 (为直线在y轴上的截距).

（2）斜截式方程必须知道直线的斜率和纵截距。

（3）直线方程的斜截式不能表示没有斜率的直线，要使用它，必须对斜率分两种情况讨论。

5、直线方程的两点式

（1）两点式方程 ()(、 ()).

（2）两点式方程必须知道直线上两个点的坐标。

（3）当两个点的横坐标相等或纵坐标相等时，两点式方程不能表示，直接写出直线的方程即可。

（4）两点式方程的化简形式可以表示过任意两点的直线的方程。

 6、直线方程的截距式

(1)截距式方程  (分别为直线的横、纵截距，)

 （2）截距式方程必须知道直线方程的横截距和纵截距。

 （3）截距式方程不能表示横截距为零或纵截距为零的直线，即不能表示和坐标轴平行或垂直或过坐标原点的直线。

 7、直线方程的一般式 (其中A、B不同时为0).

  （1）直线方程必须知道直线的两个独立条件。

  （2）我们求出的直线方程，一般要化成一般式。

8、涉及到直线的斜率时候，一定要对斜率存在不存在进行讨论，一般先讨论斜率不存在的情况。

9、设直线方程时，一定要考虑到该方程所不能表示的直线是否满足题意，以免漏解。

10、求直线的方程，最后一般要写成直线方程的一般式。

三、直线位置关系的判断

1、两条直线的位置关系的判断

方法一：代数的方法（解方程组）

联立两条直线的方程得,若方程组无解，则；

若方程组有且只有一个解，则相交；若方程组有无数组解，则重合。

方法二：已知,

若且两条直线不重合，则；

若，则相交；

若,则；

若则重合。

2、点到直线的距离

3、两条平行线间的距离公式

若,，则的距离为

注意：两条直线方程的的系数必须化简的要一样，才能用这个公式。

4、直线的定点问题

方法一：参数赋值法

   给直线中的参数赋两个值，得到两个方程，再解方程组得到方程组的解，即是直线过的定点，最后要把点的坐标代入直线的方程证明，发现直线的方程恒成立。

方法二：分离参数法

   把直线的方程分离参数得到，所以，解之得定点的坐标。

【例题精讲】

例1  在△ABC中，已知点A（5，－2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.

（1）求点C的坐标；  （2）求直线MN的方程.

解：（1）设点C（x，y），由题意得=0，=0，得.

故所求点C的坐标是（－5，－3）.

（2）点M的坐标是（0，－），点N的坐标是（1，0），

直线MN的方程是=，   即

例2   已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：（1）斜率为的直线；（2）过定点的直线。

解：（1）设直线的方程为，则直线与坐标轴的交点为、

       依题设有，得，则直线的方程为

（2）设直线的方程为，则由，解得或

则直线方程为或即或

                           12.1直线与方程强化训练

【基础精练】

1．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是(　　)

A．1　　　　　　　　　B．2         C．－            D．2或－

2．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程

为                                                                   (　　)

A．x＋2y－6＝0        B．2x＋y－6＝0

C．x－2y＋7＝0        D．x－2y－7＝0

3．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是                                                        (　　)

A．x－2y＋4＝0　　　　 　　B．x＋2y－4＝0

C．x－2y－4＝0             D．x＋2y＋4＝0

4．若直线y＝－x－经过第一、二、三象限，则                          (　　)

A．ab＞0，bc＜0             B．ab＞0，bc＞0

C．ab＜0，bc＞0             D．ab＜0，bc＜0

5．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是                    (　　)

A．4x＋2y＝5            B．4x－2y＝5

C．x＋2y＝5             D．x－2y＝5

6．已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2过点(0,5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是                                   (　　)

A．x＋3y－5＝0            B．x＋3y－15＝0

C．x－3y＋5＝0            D．x－3y＋15＝0

7．经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为________．

8．求经过点A(－5,2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程________________．

9．已知A(3,0)，B (0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________________．

10．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：

(1)经过点(，－1)；

 (2)在y轴上的截距是－5.

11．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．

【拓展提高】

1.设直线的方程为

（1）若直线在两轴上的截距相等，求直线的方程；

（2）若直线不过第二象限，求的取值范围。

2、过点作直线，使其被两条直线，所截得的

线段恰好被点所平分，试求直线的方程。

【基础精练参考答案】

1．D【解析】：当2m2＋m－3≠0时，

在x轴上截距为＝1，即2m2－3m－2＝0，

∴m＝2或m＝－

 2.B【解析】：∵直线过点P(1,4)，代入后舍去A、D，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C.

3.D【解析】：直线2x－y－2＝0与y轴交点为A(0，－2)，

所求直线过A且斜率为－，

∴l：y＋2＝－(x－0)，即x＋2y＋4＝0.

4.D【解析】：因为直线经过第一、二、三象限，所以－＞0，

即ab＜0，且直线与坐标轴的交点在原点的上方，

所以－＞0，即bc＜0.

5.B【解析】：A、B中点为(2，)，

kAB＝＝－，∴kl＝2

6.B【解析】：k1＝3，k2＝－k，又l1⊥l2，∴3×(－k)＝－1，∴k＝，

∴l2的斜率为－，

∴l2：x＋3y－15＝0.

7. 2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0

解析：设所求直线方程为＋＝1，

由已知可得

解得或

∴2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0为所求．

8. 2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0

解析：分截距为0或不为0两种情况可求2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

9.3【解析】：AB所在直线方程为＋＝1，

∴·≤(＋)2＝，

∴xy≤3，当且仅当＝取等号．

10.【解析】：∵直线的方程为y＝－x＋1，

∴k＝－，倾斜角α＝120°，

由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为.

(1)∵直线经过点(，－1)，

∴所求直线方程为y＋1＝(x－)，

即x－3y－6＝0.

(2)∵直线在y轴上的截距为－5，

∴由斜截式知所求直线方程为y＝x－5，

即x－3y－15＝0.

11.【解析】：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，截距相等，

∴a＝2，方程即3x＋y＝0.

若a≠2，由于截距存在，∴＝a－2，

即a＋1＝1，∴a＝0，

方程即x＋y＋2＝0.

(2)将l的方程化为

y＝－(a＋1)x＋a－2，

∴欲使l不经过第二象限，当且仅当

∴a≤－1.

综上可知，a的取值范围是a≤－1.

12.【解析】：(1)证明：由已知得k(x＋2)＋(1－y)＝0，

∴无论k取何值，直线过定点(－2,1)．

(2)令y＝0得A点坐标为(－2－，0)，

令x＝0得B点坐标为(0,2k＋1)(k＞0)，

∴S△AOB＝|－2－||2k＋1|

＝(2＋)(2k＋1)＝(4k＋＋4)

≥(4＋4)＝4.

当且仅当4k＝，即k＝时取等号．

即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0.

即x－2y＋4＝0.

【拓展提高参考答案】

1.【解析】：（1）当直线过原点时，

当直线不过原点，即时，令，得直线在轴上的截距为；

令，得直线在轴上的截距为，由得

则所求直线的方程为

（2）直线的方程可化为，则不过第二象限的充要条件是 解得，即实数的取值范围是