高中数学2.1.2指数函数及其性质学案

青海省青海师大附属第二中学高一数学

教学要求：

1、  使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 

2、  熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识

二、教学重点：掌握指数函数的图象和性质．

三、教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．理解指数函数的简单应用模型．

四、教学过程：

（一）、复习提问：

①零指数幂：a0=_____(a≠0)；②、负整数指数幂：a-p=_____( a≠0,p∈N*)；④正分数指数幂： =_____(a>0,m、n∈N*,n>1)；⑤负分数指数幂： =_____( a>0,m、n∈N*,n>1)；

（二）、讲授新课：

1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：

①     探究两个实例：

●A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？

◆B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

②     讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

③ 定义：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.

④讨论：为什么规定＞0且≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？

2. 教学指数函数的图象和性质：

①、 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： ， （师生共作→小结作法）

②、 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P56)

③、★ 出示P56：例6. 函数（）的图象经过点（3，），求,, 的值.

④、★出示例7. 比较下列各组中两个值的大小：； ； ；

⑤、比较大小：；

（四）教学指数函数的应用模型：

①★ 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？

★ ② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？

（五）、. 教学指数形式的函数定义域、值域：

◆1、①设y1=40.9,y2=80.48;y3=()-1.5,则三者的大小是_____y1>y3>y2

②设函数F（x）=[1+]·f(x)(且x≠0)是偶函数，又f(x)不恒等于0，则f(x)的奇偶性是_

（答案为：奇函数）；   ③函数y=1-2x,x∈[1,4]的值域为____[-15,-1]；  ④、函数f(x)=()x+2,x∈[-1,2]的值域为____[,5]；⑤函数y=a-x(a>0,a≠1)当a∈______时，它为↘ ，此时，当x∈___时，y<0 .答案：（1，+∞）

⑥、已知函数f(x)=的定义域为（-∞，0）则a的取值范围是____(答案：0<a<1)

▲2.①、 一片树林中现有木材30000m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材ym3，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3

▲②、. 比较下列各组数的大小： ； .

▲3. 求函数的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

【★题4】设a>1为常数,已知当x∈(-1,1)时,不等式x2-ax<恒成立,则a的取值范围为( A  )

 A (1,2]    B [2,+∞)     C  (1,4]    D [4,+∞)

【★题5】已知函数(x)=ax –b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( B  ) 

A a>1  b<0      B 0<a<1  b<0   C a>1   b>0     D 0<a<1,b>0

【★题6】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx  在同一坐标系中的图象如下图所示,则a、b、c、d的大小顺序为( A )

A  b<a<d<c          B  a<b<d<c  C  b<a<c<d          D  b<c<a<d

★【题7】已知实数a, b满足等式下列五个关系式  

 ①0<b<a   ②a<b<0    ③0<a<b   ④b<a<0     ⑤a=b

 其中不可能成立的关系式有（  B  ） A．1个    B．2个 C．3个 D．4个

●【解答】均大于零时，要满足等式，必有；均小于零时，要满足等式，必有；时，显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④，选B

★【题8】设函数，求使的取值范围．答案：

★9.（天津卷）如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（　　）

Ａ． Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

●解析：函数y且可以看作是关于的二次函数，若a>1，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴≤0，矛盾；若0<a<1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当(0<t<1)时，在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴≥1，∴，∴实数的取值范围是，选B.

★10、（04年湖南文科）若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.（0，）

★11、已知f(x)=,求f()+f()+f()+…+f()之值。（答案：500）

★12、已知f(x)= +,求证：f(x)为奇函数