高中数学2.1.1指数与指数幂的运算导学案及答案

青海省青海师大附属第二中学高一数学

 一、教学要求：

1、了解指数函数模型背景及实用性、必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念．2、使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 3、 n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算.

二、教学重点：

理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景；掌握n次方根的求解. 掌握根式与指数幂的运算；有理数指数幂的运算.

三、教学难点：

准确运用性质进行计算. 有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.

四、教学过程：

（一）、复习准备：  回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.  → 记法：

（二）. 讲授新课:

1. 教学指数函数模型应用背景：

①     探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.

★实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？

★② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？

★ 书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P与死亡时碳14的关系为. 探究该式意义？

③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.

2. 教学根式的概念及运算：

（1） 定义n次方根：一般地，若,那么叫做的次方根.( th  root ),其中,

简记：.    例如：，则

（2）、 讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？, 例如: ,,  记：

当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如: ,的4次方根就是, 记：

强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.

（3）、 练习：,则的4次方根为     ； , 则的3次方根为      .

（4）、定义根式：像的式子就叫做根式（radical）, 这里n叫做根指数（radical exponent）,  a叫做被开方数（radicand）.

（5）、计算、、 → 探究： 、的意义及结果？ （特殊到一般）

结论：. 当是奇数时，；当是偶数时，

（6）、出示例1.求值化简：  ；   ；  ；  （）

  3. 教学分数指数幂概念及运算性质:

① 引例：a>0时，  → ；  → .

② 定义分数指数幂：规定；

③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：；；

 B. 求值   ；  ；  ； .

④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？

⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：

·；  ； ．

4. 教学例题：

① 出示例1. 求值:;    ;     ;     

② 出示例2. 用分数指数幂的形式表示下列各式：; ;;

③ 出示例3. 计算（式中字母均正）：；.

④ 出示例4. 计算：， ;

⑤ 讨论：的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材P58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）

 无理数指数幂是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？

3. 小结：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.

（三）、巩固练习：

①  n为    时，.

② 求下列各式的值： ;    ;   ； ； ； ； .

（四）、教学典型例题：

1. 化简：.
2. 已知，试求的值.
3. 用根式表示， 其中.

4. 已知x+x-1=3,求下列各式的值：

5. 求值：; ;  ;  ;  ;

6. 已知, 求的值.

7. 探究：时, 实数和整数所应满足的条件.

（五）、巩固提高练习：

●★【题1】（2005年上海高考）方程的解是__________

●解答：

★题2、（2003年上海20题12分）已知函数f(x)=,g(x)=；（1）、证明：函数f(x)为奇函数，并求出f(x)的单调区间；（2）、分别计算f(4)-5 f(2)g(2)和f(9)-5 f(3)g(3),并概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明。

●解：单调↗为（-∞，0）和（0，+∞）；（2）、f(4)-5 f(2)g(2)=f(9)-5 f(3)g(3)=0,一般地。有：f(x2)-5 f(x)g(x)=0.