《合情推理与演绎证明》文字素材2（人教A版选修1-2）

剖析演绎推理证明的几种常见错误1.偷换论题例1求证四边形的内角和等于。证明：设四边形是矩形，则它的四个角都是直角，有，所以，四边形的内角和等于。剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。正证：对于任意四边形，连结对角线，则得。因为三角形内角和等于，，，，又，，，四边形的内角和等于。2.虚假论据例2已知和是无理数，试证也是无理数。错证：依题设和是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以也是无理数。剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。正证：假设不是无理数，那么它就是有理数，于是，存在互质的正整数，使得，从而有，因此，，即，，即，，。因为为互质的正整数，为有理数，而为无理数，矛盾，故假设不成立，也是无理数。3.循环论证例3在中，求证：。错证：因为，=。剖析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误。正证：分别以的三边为边向外作正方形。连结，作。显然，以为旋转中心，将逆时针旋转，则与重合，于是≌。因为正方形同底等高，且矩形同底等高，，即。同理，，即。，即。4.不能推出例4设。求证：。错证：因为=，。剖析：上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为只能推出。至于关系式是否唯一地成立，却无法断定。因此，只有进一步推出，即，原题才能得证。正证：因为函数在区间上是增函数，又，且， ，。又因为=，。