高中数学《合情推理与演绎证明》文字素材1 新人教A版选修1-2

高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。例1、（2006湖北）半径为r的圆的面积，周长，若将r看作上的变量，则， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作看作上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，.答案：①  ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。    点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛an｝中，若a10=0，则有等式a1＋a2＋……＋an=a1＋a2＋……＋a19－n（n＜19，n∈N*）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9=1，则有等式                     成立。分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛an｝前19项中，其中间一项a10=0，则a1＋a19= a2＋a18=……= an＋a20－n= an＋1＋a19－n=2a10=0，所以a1＋a2＋……＋an＋……＋a19=0，即a1＋a2＋……＋an=－a19－a18－…－an＋1，又∵a1=－a19， a2=－a18，…，a19－n=－an＋1，∴ a1＋a2＋……＋an=－a19－a18－…－an＋1= a1＋a2＋…＋a19－n。相似地，在等比数列｛bn｝的前17项中，b9=1为其中间项，则可得b1b2…bn= b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。例3．（2003年全国高考新课程卷文科第15题）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2= BC2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则            ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2= S△BCD2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt△ABC中，过A作AH⊥BC于H，则由AB2=BH·BC，AC2=CH·BC相加即得AB2＋AC2=BC2；在三侧面两两垂直的三棱锥A—BCD中，过A作AH⊥平面BCD于H，类似地由S△ABC2=S△HBC·S△BCD，S△ACD2=S△HCD·S△BCD，S△ADB2=S△HDB·S△BCD相加即得S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2= S△BCD2。 例4、（2006上海）已知函数有如下性质：如果常数a>o，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。（1）       如果函数的值域为，求b的值；（2）       研究函数（常数在定义域内的单调性，并说明理由；（3）       对函数和（常数作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。解：（1）函数在上是减函数，在上是增函数，所以该函数在处取得最小值 令，得（2）设，显然函数在上是减函数，在上是增函数，令得，令得或又因为在上是减函数，在上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，上是增函数。    （3）推广结论：当n是正奇数时，函数（常数是奇函数，故在上是增函数，在是减函数，在上是减函数，在上是增函数。而当n为正偶数时，函数（常数是偶函数，在上是减函数，在是增函数，在上是减函数，在上是增函数。点评：本题设计新颖，层层递进，主要考查函数的单调性、最值，考查分析解决问题的能力。