高中2.4抛物线第2课时同步达标检测题

这是一份高中2.4抛物线第2课时同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第2章   2.4.2   第2课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)A．有且仅有一条　　　　　　　 B．有且仅有两条C．有无穷多条   D．不存在 解析：　由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：　B2．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致为(　　)解析：　方法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为＋＝1，y2＝－x.因为a>b>0，所以>>0.所以椭圆的焦点在y轴上；抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D.方法二：方程ax＋by2＝0中，将y换成－y，其结果不变，即ax＋by2＝0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴上，排除A.故选D.答案：　D3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)A.   B.C.   D.解析：　过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由抛物线定义可知，AA1＝AF，BB1＝BF，又∵2|BF|＝|AF|，∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点．从而yA＝2yB，联立方程组⇒消去x得y2－y＋16＝0，∴⇒，消去yB得k＝.故选B.答案：　B4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)A．2   B．3C.   D.解析：　∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x准线，∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离＝2，故选A.答案：　A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.解析：　由，得ax2－x＋1＝0，Δ＝1－4a＝0，得a＝.答案：　6．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，则b的值为________．解析：　由，得x2－2x－2b＝0，Δ＝(－2)2＋8b>0，设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．b＝2适合Δ>0.答案：　2三、解答题(每小题10分，共20分)7．设过抛物线y2＝2px的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若弦AB的中垂线恰好过点Q(5,0)，求抛物线的方程．解析：　弦AB中点为M，MQ为AB的中垂线，AB的斜率为1，则lMQ：y＝－x＋5.设lAB：y＝x－.联立方程组得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p.①联立方程组，得2x＝5＋，则x1＋x2＝5＋②联立①②，解得p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解析：　(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1；(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.另一方面，由直线OA与直线l的距离等于可得＝，∴t＝±1，由于－1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知抛物线C1：y2＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．解析：　(1)＋＝1；(2)①若直线l的斜率不存在，则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，∴|AB|＝4又∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|.∴直线l的斜率必存在．②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0，且k≠0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得x1＋x2＝，x1x2＝1于是|AB|＝|x1－x2|＝＝＝＝，∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，∴由＝6，解得k＝±.故所求直线l的方程y＝±(x－1)．