2021学年2.2椭圆第2课时同步达标检测题

这是一份2021学年2.2椭圆第2课时同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第2章   2.2.2   第2课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)A．－<a<　　　　　　　 B．a<－或a>C．－2<a<2   D．－1<a<1解析：　由点A在椭圆内部得＋<1∴－<a<.故选A.答案：　A2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)A．相切   B．相交C．相离   D．不确定解析：　直线y＝kx－k＋1恒过定点(1,1)．又∵＋<1，∴点(1,1)在椭圆＋＝1内部．∴直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．故选B.答案：　B3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)A．3   B．2C．2   D．4解析：　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．由得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，由题意得Δ＝(8b2)2－4(a2＋3b2)(16b2－a2b2)＝0且a2－b2＝4，可得a2＝7，∴2a＝2.答案：　C4．过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为(　　)A．5   B．6C.   D．7解析：　椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k＝1，∴直线AB的方程为y＝x－4，由得9x2＋25(x－4)2＝225，由弦长公式易求|AB|＝.答案：　C二、填空题(每小题5分，共10分)5．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：　椭圆的右焦点为F(1,0)，∴lAB：y＝2x－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x2－5x＝0，∴x＝0或x＝，∴A(0，－2)，B，∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝×1×＝.答案：　6．若倾斜角为的直线交椭圆＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________．解析：　设中点坐标为(x，y)，直线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，则得x＋4y＝0.由Δ>0得－<b<，故－<x<.答案：　x＋4y＝0三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值．解析：　(1)＋y2＝1.(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋(1－)－3＝x2－2，∵x∈[－2,2]，∴当x＝0时，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.8．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果＝2，求椭圆C的方程．解析：　(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝(x－2)．联立，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.解得y1＝，y2＝.因为＝2，所以－y1＝2y2.即＝2·，得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝.故椭圆C的方程为＋＝1. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．(1)求C1，C2的方程．(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.证明：MD⊥ME.解析：　由题意知e＝＝，从而a＝2b.又2＝a，所以a＝2，b＝1.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，y＝x2－1.(2)证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.由得x2－kx－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又点M的坐标为(0，－1)，所以kMA·kMB＝·＝＝＝＝－1.故MA⊥MB，即MD⊥ME.