高中数学人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法课后练习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法课后练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第3章   3.1.3(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c解析：　对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．故选B.答案：　B2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，向量与的夹角是(　　)A．30°　　　　　　　　　　 B．45°C．60°   D．90°解析：　BC′∥AD′，△AD′B′为正三角形，∴∠D′AB′＝60°，∴〈，〉＝60°.答案：　C3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足A·A＝0，A·A＝0，A·A＝0，则△BCD是(　　)A．钝角三角形   B．锐角三角形C．直角三角形   D．不确定解析：　如右图所示，设A＝a，A＝b，A＝c，∵C·C＝(a－b)·(c－b)＝a·c－b·c－a·b＋b2＝b2>0.同理B·B>0，D·D>0.故选B.答案：　B4.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为(　　)A.   B.C.  D.解析：　∵＝A＋A＋，∴||＝＝∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°.∴|A|＝＝.故选D.答案：　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在空间四边形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝________.解析：　设A＝b，A＝c，A＝d，则C＝d－c，B＝d－b，＝c－b.原式＝0.答案：　06．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，则m⊥n，则λ＝________.解析：　m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×3×4×cos 135°＋3×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m⊥n，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－.答案：　－三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知正三棱锥A－BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，求下列向量的数量积：(1)A·D；(2)A·B；(3)G·A；(4)E·B.解析：　(1)|A|＝a，||＝a，〈A，D〉＝120°，所以A·D＝|||D|cos 120°＝－a2.(2)因为B＝A－A，所以A·B＝A·(A－A)＝A·A－A·A，又因为|A|＝a，||＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°，所以A·B＝a2－a2＝0.(3)因为点F，G是AD，DC上的点，所以G＝＝－A，所以G·A＝－，因为＝a2，所以G·A＝－a2.(4)因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以E＝B，所以E·B＝B·B，结合图形可知〈B，B〉＝60°，所以E·B＝B·B＝×a×a×cos 60°＝a2.8．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.解析：　∵M＝M＋B＋C＝A＋(A－A)＋(A－A)＝－A＋A＋A.∴M·M＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A)＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.故|M|＝＝a.即|MN|＝a. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a.(1)用向量法求A1B和B1C的夹角；(2)用向量法证明A1B⊥AC1；(3)用向量法求AC1的长度．解析：　(1)因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，所以||＝||＝a.因为＝A－，＝＝A－，所以·＝(A－)·(A－)＝a2，所以cos〈，〉＝＝，即A1B和B1C的夹角为60°；(2)证明：因为＝A＋＋A，＝A－，所以·＝0，A1B⊥AC1；(3)由(2)知，＝A＋＋A，所以2＝(A＋＋A)2＝3a2，所以||＝AC1＝a.