高中数学2.1合情推理与演绎推理练习

2.2.2反证法

一、选择题

1．下列命题错误的是(　　)

A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数

[答案]　D

2．已知x1>0，x1≠1，且xn＋1＝(n＝1,2，…)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn<xn＋1，或者对任意的正整数n都满足xn>xn＋1.当解决此题用反证法否定结论时，应为(　　)

A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1

B．存在正整数n，使xn＝xn＋1

C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1

D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0

[答案]　D

[解析]　结论是说数列{xn}或严格单调递增或严格单调递减，总之是严格单调数列，其否定应是：或为常数列或为摆动数列，因而其中存在一个项xn，或不比两边的项大，或不比两边的项小，即xn≤xn－1且xn≤xn＋1，或xn≥xn－1且xn≥xn＋1，所以(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0.

3．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　)

①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论

A．①②　　　 B．①②④

C．①②③    D．②③

[答案]　C

4．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．既非充分条件又非必要条件

[答案]　A

5．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．或－1<x<1，则x2<1

C．若x>1或x<－1，则x2>1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

[答案]　D

6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是(　　)

A．没有一个是三角形或四边形或五边形的面

B．没有一个是三角形的面

C．没有一个是四边形的面

D．没有一个是五边形的面

[答案]　A

[解析]　“至少有一个”的反面是“一个也没有”．

7．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是(　　)

A．a＋>b＋ 

B.>

C．a＋>b＋ 

D.>

[答案]　A

[解析]　可通过例举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确．

8．若x，y>0且x＋y>2，则和的值满足(　　)

A.和中至少有一个小于2

B.和都小于2

C.和都大于2

D．不确定

[答案]　A

[解析]　假设≥2和≥2同时成立．

因为x>0，y>0，

∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，

两式相加得1＋x＋1＋y≥2(x＋y)，

即x＋y≤2，这与x＋y>2相矛盾，

因此和中至少有一个小于2.

9．设a，b，c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

[答案]　C

[解析]　若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，两式相加得b<0，这与已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.

10．下面的四个不等式：

①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；

②a(1－a)≤；

③＋≥2；

④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.

其中恒成立的有(　　)

A．1个　　　 B．2个　　　

C．3个　　　 D．4个

[答案]　C

[解析]　∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，

a(1－a)－＝－a2＋a－＝－(a－2)≤0，

(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2

≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2

只有当＞0时才有＋≥2成立

∴应选C.

二、填空题

11．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．

[答案]　存在一个三角形，其外角至多有1个钝角

12．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个不小于________．

[答案]　

[解析]　假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，与已知条件矛盾．a，b，c中至少有一个不小于.

13．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．

[答案]　x≠0或y≠0

[解析]　“p且q”的否定形式为“綈p或綈q”．

14．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________．

[答案]　丙

[解析]　若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．

三、解答题

15．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.

求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．

[证明]　假设a，b，c，d都是非负数．

则1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋cd＋bc＋bd＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，即ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd>1矛盾，

所以假设不成立．故a，b，c，d中至少有一个是负数．

[点评]　该命题中含有“至少”字样，故想到用反证法来证明，又因为已知中有ac＋bd>1这一条件，要想构造出ac＋bd，需用(a＋b)乘以(c＋d)．

16．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．

[解析]　证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，设α、β为其中的两个实根．

因为α≠β，不妨设α>β.

又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(α)>f(β)．

这与假设f(α)＝f(β)＝0矛盾，

所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．

17．已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．

(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；

(2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列．

[解析]　本题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．

(1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a＝a1a3，

即2＝λ⇔λ2－4λ＋9＝λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．

所以{an}不是等比数列．

(2)∵bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1

＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn.

又λ≠－18，∴b1＝－(λ＋18)≠0.

由上式知bn≠0，∴＝－(n∈N*)．

故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．

18．已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不能构成等差数列．

[证明]　假设，，能构成等差数列，则由＝＋，于是得bc＋ab＝2ac.①

而由于a，b，c构成等差数列，即2b＝a＋c.②

所以由①②两式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此，，不能构成等差数列．