数学人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积优质学案设计

8.3　简单几何体的表面积与体积

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

知识点1　棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．

1．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．

9　[因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9．]

2．正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为________，表面积为________．

6　6＋　[正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为3×1×2＝6；S表面积＝2××1×＋6＝6＋．]

知识点2　棱柱、棱锥、棱台的体积

1．一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh．

2．一般地，如果棱锥的底面面积是S，高是h，那么该棱锥的体积V棱锥＝Sh．

3．如果棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝h(S′＋＋S)．

简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？

[提示]　表面积变大了，而体积不变．

3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为(　　)

A．6,22　　　B．3,22　　　C．6,11　　　D．3,11

A　[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22．]

4．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　)

A．   B．

C．   D．

D　[由题意知，三棱锥B1­ABC的高h＝3，则V三棱锥B1­ABC＝S△ABCh＝××3＝．]

类型1　棱柱、棱锥、棱台的表面积

【例1】　如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1．当PO1＝2 m，PA1＝4 m时，求帐篷的表面积．

[解]　连接O1A1，因为PO1＝2 m，PA1＝4 m，

所以A1B1＝A1O1＝

＝2(m)，

取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1．

所以A1Q＝O1A1＝，PQ＝＝(m)，

设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，

所以S1＝6×A1B1·PQ＝6(m2)，

S2＝6A1B1·OO1＝48(m2)，

所以该帐篷的表面积为S1＋S2＝(6＋48)(m2)．

若把题目条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”，表面积为多少？

[解]　若为封闭容器，则表面积应在原来基础上加上底面面积．底面是边长为2的正六边形，它可以分成6个全等的正三角形，所以底面积为6××(2)2＝18(m2)．故容器的表面积为6＋48＋18＝(6＋66)(m2)．

求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.

1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)

A．a2　　　　 B．a2

C．a2   D．a2

A　[∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，

∴S表＝a2＋3××＝a2．]

2．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，则该直四棱柱的侧面积为________．

160　[如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，

∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，

∴a2＝200，b2＝56．

∵该直四棱柱的底面是菱形，

∴AB2＝＋＝＝＝64，

∴AB＝8．∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160．]

类型2　棱柱、棱锥、棱台的体积

【例2】　(对接教材P115例2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a．截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1．

(1)求V1，V2以及V1∶V2；

(2)求点A到平面A1BD的距离d．

[解]　(1)截面将正方体化为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1­ABD，

其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝×AB×AD＝a2．

底面ABD上的高为h＝AA1＝a．

所以其体积V1＝Sh＝×a2×a＝a3．

正方体的体积V＝a3，

所以V2＝V－V1＝a3－a3＝a3，

所以V1∶V2＝1∶5．

(2)三棱锥A1­ABD与三棱锥A­A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝a，

取BD的中点H，连接A1H，

则A1H⊥BD，BH＝HD＝BD＝a，

所以A1H＝＝＝a．

其面积S2＝BD·A1H＝×a×a＝a2．

因为V＝V，即a3＝S2·d，

所以a3＝×a2×d，

解得d＝a，即点A到平面A1BD的距离为a．

求几何体体积的常用方法

3．在三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．

[解]　设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则S＝4S．

∴VA1­ABC＝S△ABC·h＝Sh，

VC­A1B1C1＝S·h＝Sh．

又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，

∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1

＝Sh－－＝Sh，

∴三棱锥A1­ABC，B­A1B1C与C­A1B1C1的体积比为1∶2∶4．

类型3　与正棱柱、正棱锥、正棱台有关的体积和表面积问题

【例3】　一个正四棱锥的底面边长为3 cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为________ cm3，表面积为________ cm2．

24　18＋6　[如图，∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为3 cm，

∴S正方形ABCD＝18 cm2．

连接AC，BD，交于点O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝AC＝×3×＝3(cm)，

又棱长PC＝5 cm，∴OP＝＝4(cm)，

∴VP­ABCD＝×18×4＝24(cm3)．

取BC边的中点E，连接PE，则PE为等腰三角形PBC的高，在Rt△PBE中，PE＝＝

＝(cm)．

S侧＝4××3×＝6(cm2)，

S表＝(18＋6)(cm2)．]

正棱锥的性质

(1)正棱锥的各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形，侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高；

(2)从顶点向底面作垂线，垂足为底面(正多边形)的中心；

(3)棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形．

4．正四棱台(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台)的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，两底面之间的距离为2 cm，则该四棱台的侧面积为________．

32 cm2　[如图，取上、下底面中心O1，O，B1C1和BC的中点E1，E．在直角梯形OEE1O1中，EE1为侧面等腰梯形的高，过E1作E1H垂直于OE，垂足为H，OO1＝2 cm，O1E1＝1 cm，OE＝3 cm，∴HE＝2 cm．

在Rt△EHE1中，E1E＝＝2(cm)．

∴S侧＝4××(2＋6)×2＝32(cm2)．]

1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)

A．48　　　　B．64　　　　C．16　　　　D．96

B　[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．]

2．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为(　　)

A．    B．2    C．    D．

B　[所求凸多面体的表面积是两个底面

边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝＝1，

所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8××1×1×sin 60°＝2．故选B．]

3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________．

　[利用三棱锥的体积公式直接求解．

V＝V＝S·AB＝××1×1×1＝．]

4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．

18a2　[原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝a2×6＝a2，所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2．]

5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，则三棱锥P­ABC的体积V＝________．

4　[三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．

故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积？

(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的表面积和体积有什么特点？