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人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.2 集合的基本关系教学课件ppt
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这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.2 集合的基本关系教学课件ppt，共49页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识点拨，答案A⫋B，答案B等内容，欢迎下载使用。
1.理解集合之间包含与相等的含义,会求一些给定集合的子集.(数学抽象)2.能使用维恩图表达集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义.(逻辑推理)3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集.(逻辑推理)
【激趣诱思】银河系是地球和太阳所属的星系.因其主体部分投影在天空上的亮带被我国称为银河而得名.银河系约有2 000多亿个恒星.银河系侧看像一个中心略鼓的大圆盘,整个圆盘的直径约为10万光年,鼓起处为银心,是恒星密集区,故望去白茫茫的一片.银河系俯视像一个巨大的旋涡,这个旋涡由四个旋臂组成.而我们的地球所属的太阳系位于其中一个旋臂(猎户座臂),距离银河系中心约2.3万光年.如果我们把银河系所包含的所有行星和恒星所构成的集合叫集合A,把太阳系包含的行星和恒星所构成的集合叫集合B,那么集合A与集合B有怎样的关系?
知识点一、维恩图如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.要点笔记 对维恩图的理解(1)维恩图为利用数形结合法求解集合问题创造了条件.(2)用维恩图表示集合的优点是能够直观地表示集合与集合间的关系,缺点是集合中元素的特征性质不明显.
微思考 集合能用直观图形来表示吗?提示 能,可以用封闭的曲线表示集合,解决问题更加直观.
知识点二、子集、真子集、集合相等的概念
名师点析 1.对子集的理解(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B.(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么A不包含于B,或B不包含A,分别记作A⊈B或B⊉A.(3)若A⊆B,则A有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合.故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)⌀是任何非空集合的真子集,这里强调的是“非空”两字,解题时不能丢掉空集这一情况.(4)任何集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
微思考 下列写法哪些是正确的?①0={0};②{0}⊆{0};③0∈{0};④0⫋{0}.提示 只有②③写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而反映两个集合间的关系一般用子集、真子集或相等.
微练习用适当的符号填空(⫋,=,⊈).(1){0,1} N; (2){2} {x|x2=x}; (3){2,1} {x|x2-3x+2=0}. 答案 (1)⫋ (2)⊈ (3)=
微拓展对集合相等的理解(1)A=B的图形表示:(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B且B⊆A,则A=B”.(4)若A=B,则有A⊆B且B⊆A.
知识点三、子集、真子集的性质由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集,⌀⊆A;(2)任何一个集合是它自身的子集,即A⊆A ;(3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得 A⊆C ;(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得 A⫋C .
名师点析 1.∈与⊆、a与{a}、{0}与⌀的区别(1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有 ∈Q, ∉Q等;⊆表示集合与集合之间的关系,因此,有Q⊆R,⌀⊆R等.(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有2∈{2},不能写成2={2}.(3){0}与⌀的区别:{0}是含有一个元素的集合,⌀是不含任何元素的集合.因此,有⌀⊆{0},不能写成⌀={0},⌀∈{0}.
2.有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则有:①集合A的子集的个数为2n;②集合A的真子集的个数为2n-1;③集合A的非空子集的个数为2n-1;④集合A的非空真子集的个数为2n-2.如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.
微思考 ⌀与{⌀}的关系如何?提示 ⌀⫋{⌀}与⌀∈{⌀}的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把⌀看成集合{⌀}中的元素来考虑.
微练习若{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},则集合A的个数是( )A.8 B.7 C.4 D.3答案 A解析 (方法一)列举法:满足条件{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个.(方法二)计数法:因为集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},所以,集合A一定含有元素1,2(可不考虑),可能含有元素3,4,5,故集合A的个数即集合{3,4,5}的子集个数,即23=8(个).
例1已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是( )A.A⫋BB.A=BC.B⫋AD.A⊈B答案 A解析 由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A⫋B.
要点笔记 判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.
延伸探究例1中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系?答案 A⊈B,且B⊈A.
要点笔记 将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.
A.A=B⊆CB.A⊆B=CC.A⊆B⊆CD.B⊆C⊆A
当a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数,所以A⊆B=C.
例3(1)(2020浙江台州高一检测)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A= .若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B= . (2)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
答案 (1){-1,0} {-1,0}解析 因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.(2)解 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
反思感悟 1.求集合子集、真子集的步骤
2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
变式训练 2(1)(2020河南驻马店高一期末)已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7},则符合条件的集合M有 个. (2)设含有4个元素的集合的全部子集数为S,其中由2个元素组成的子集数为T,则 的值为 .
解析 (1)根据子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7个.(2)含有4个元素的集合的全部子集数S=24=16,其中由2个元素组成的子集
例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y的值.分析A=B→列方程组→解方程组求x,y
反思感悟 1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性.3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.
{1,a,0}={0,a2,a}.所以a2=1,a=±1.当a=1时,不满足互异性,所以a=-1.所以a2 021+b2 020=(-1)2 021+0=-1.
例5已知集合A={x|-5
延伸探究本例(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.解 因为A={x|-5
(2)数形结合是指对集合A≠⌀这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上表示出来,分清实心点与空心点,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)将参数确定出来.(3)解决集合中含参数问题时,最后结果要注意验证.验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足互异性;②所求参数能否取到端点值.
典例 已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.(1)若B⊆A,B={x|m+1≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围;(2)若A⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围;(3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围.分析求出集合A的元素,利用A,B的关系列不等式(组)求m的范围.
解 (1)由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5}.∵B⊆A,∴①若B=⌀,则m+1>2m-1,即m<2,此时满足B⊆A.由①②得m≤3.所以m的取值范围为(-∞,3].
方法点睛 空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠⌀)的含参数的问题时,要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.
1.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y等于( )A.0B.1C.2D.-1答案 C所以2x+y=2.
2.(2021北京期末)已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A与B的关系如图所示,则集合B可能是( )A.{2,4,5}B.{1,2,5}C.{1,6}D.{1,3}答案 D解析 由图可知B⊆A,∵A={1,2,3},由选项可知{1,3}⊆A,故选D.
3.(2020浙江高一检测)已知集合M={x|x2-2x-8=0},N={x|ax+4=0},且N⊆M,则由a的取值组成的集合是 . 答案 {0,-1,2}解析 ∵M={x|x2-2x-8=0},∴M={4,-2},若a=0,则N=⌀,满足N⊆M.解得a=2或a=-1.∴满足条件的a的取值为{0,-1,2}.
4.已知集合M={x|x<2,且x∈N},N={x|-2
1.理解集合之间包含与相等的含义,会求一些给定集合的子集.(数学抽象)2.能使用维恩图表达集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义.(逻辑推理)3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集.(逻辑推理)
【激趣诱思】银河系是地球和太阳所属的星系.因其主体部分投影在天空上的亮带被我国称为银河而得名.银河系约有2 000多亿个恒星.银河系侧看像一个中心略鼓的大圆盘,整个圆盘的直径约为10万光年,鼓起处为银心,是恒星密集区,故望去白茫茫的一片.银河系俯视像一个巨大的旋涡,这个旋涡由四个旋臂组成.而我们的地球所属的太阳系位于其中一个旋臂(猎户座臂),距离银河系中心约2.3万光年.如果我们把银河系所包含的所有行星和恒星所构成的集合叫集合A,把太阳系包含的行星和恒星所构成的集合叫集合B,那么集合A与集合B有怎样的关系?
知识点一、维恩图如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.要点笔记 对维恩图的理解(1)维恩图为利用数形结合法求解集合问题创造了条件.(2)用维恩图表示集合的优点是能够直观地表示集合与集合间的关系,缺点是集合中元素的特征性质不明显.
微思考 集合能用直观图形来表示吗?提示 能,可以用封闭的曲线表示集合,解决问题更加直观.
知识点二、子集、真子集、集合相等的概念
名师点析 1.对子集的理解(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B.(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么A不包含于B,或B不包含A,分别记作A⊈B或B⊉A.(3)若A⊆B,则A有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合.故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)⌀是任何非空集合的真子集,这里强调的是“非空”两字,解题时不能丢掉空集这一情况.(4)任何集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
微思考 下列写法哪些是正确的?①0={0};②{0}⊆{0};③0∈{0};④0⫋{0}.提示 只有②③写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而反映两个集合间的关系一般用子集、真子集或相等.
微练习用适当的符号填空(⫋,=,⊈).(1){0,1} N; (2){2} {x|x2=x}; (3){2,1} {x|x2-3x+2=0}. 答案 (1)⫋ (2)⊈ (3)=
微拓展对集合相等的理解(1)A=B的图形表示:(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B且B⊆A,则A=B”.(4)若A=B,则有A⊆B且B⊆A.
知识点三、子集、真子集的性质由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集,⌀⊆A;(2)任何一个集合是它自身的子集,即A⊆A ;(3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得 A⊆C ;(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得 A⫋C .
名师点析 1.∈与⊆、a与{a}、{0}与⌀的区别(1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有 ∈Q, ∉Q等;⊆表示集合与集合之间的关系,因此,有Q⊆R,⌀⊆R等.(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有2∈{2},不能写成2={2}.(3){0}与⌀的区别:{0}是含有一个元素的集合,⌀是不含任何元素的集合.因此,有⌀⊆{0},不能写成⌀={0},⌀∈{0}.
2.有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则有:①集合A的子集的个数为2n;②集合A的真子集的个数为2n-1;③集合A的非空子集的个数为2n-1;④集合A的非空真子集的个数为2n-2.如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.
微思考 ⌀与{⌀}的关系如何?提示 ⌀⫋{⌀}与⌀∈{⌀}的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把⌀看成集合{⌀}中的元素来考虑.
微练习若{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},则集合A的个数是( )A.8 B.7 C.4 D.3答案 A解析 (方法一)列举法:满足条件{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个.(方法二)计数法:因为集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},所以,集合A一定含有元素1,2(可不考虑),可能含有元素3,4,5,故集合A的个数即集合{3,4,5}的子集个数,即23=8(个).
例1已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是( )A.A⫋BB.A=BC.B⫋AD.A⊈B答案 A解析 由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A⫋B.
要点笔记 判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.
延伸探究例1中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系?答案 A⊈B,且B⊈A.
要点笔记 将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.
A.A=B⊆CB.A⊆B=CC.A⊆B⊆CD.B⊆C⊆A
当a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数,所以A⊆B=C.
例3(1)(2020浙江台州高一检测)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A= .若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B= . (2)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
答案 (1){-1,0} {-1,0}解析 因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.(2)解 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
反思感悟 1.求集合子集、真子集的步骤
2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
变式训练 2(1)(2020河南驻马店高一期末)已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7},则符合条件的集合M有 个. (2)设含有4个元素的集合的全部子集数为S,其中由2个元素组成的子集数为T,则 的值为 .
解析 (1)根据子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7个.(2)含有4个元素的集合的全部子集数S=24=16,其中由2个元素组成的子集
例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y的值.分析A=B→列方程组→解方程组求x,y
反思感悟 1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性.3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.
{1,a,0}={0,a2,a}.所以a2=1,a=±1.当a=1时,不满足互异性,所以a=-1.所以a2 021+b2 020=(-1)2 021+0=-1.
例5已知集合A={x|-5
延伸探究本例(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.解 因为A={x|-5
(2)数形结合是指对集合A≠⌀这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上表示出来,分清实心点与空心点,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)将参数确定出来.(3)解决集合中含参数问题时,最后结果要注意验证.验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足互异性;②所求参数能否取到端点值.
典例 已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.(1)若B⊆A,B={x|m+1≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围;(2)若A⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围;(3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围.分析求出集合A的元素,利用A,B的关系列不等式(组)求m的范围.
解 (1)由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5}.∵B⊆A,∴①若B=⌀,则m+1>2m-1,即m<2,此时满足B⊆A.由①②得m≤3.所以m的取值范围为(-∞,3].
方法点睛 空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠⌀)的含参数的问题时,要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.
1.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y等于( )A.0B.1C.2D.-1答案 C所以2x+y=2.
2.(2021北京期末)已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A与B的关系如图所示,则集合B可能是( )A.{2,4,5}B.{1,2,5}C.{1,6}D.{1,3}答案 D解析 由图可知B⊆A,∵A={1,2,3},由选项可知{1,3}⊆A,故选D.
3.(2020浙江高一检测)已知集合M={x|x2-2x-8=0},N={x|ax+4=0},且N⊆M,则由a的取值组成的集合是 . 答案 {0,-1,2}解析 ∵M={x|x2-2x-8=0},∴M={4,-2},若a=0,则N=⌀,满足N⊆M.解得a=2或a=-1.∴满足条件的a的取值为{0,-1,2}.
4.已知集合M={x|x<2,且x∈N},N={x|-2
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