初中数学22.2二次函数与一元二次方程复习练习题

22.2 二次函数与一元二次方程

1. 若二次函数 y=2x2+mx+8 的图象如图所示,则 m 的值是( )

A.-8 B.8

C.±8 D.6

2. 对于二次函数 y=x2-2mx-3,下列结论错误的是 ( ) A.它的图象与 x 轴有两个交点

B. 方程 x2-2mx=3 的两根之积为-3 C.它的图象的对称轴在 y 轴的右侧D.x<m 时,y 随 x 的增大而减小

3. 已知二次函数 y=x2+x+m,当 x 取任意实数时,都有 y>0,则 m 的取值范围是( )

A.m≥1 B.m>1

4 4

C. m≤1 D.m<1

4. 在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下列说法正确的是( )

1. abc<0,b2-4ac>0 B.abc>0,b2-4ac>0 C.abc<0,b2-4ac<0 D.abc>0,b2-4ac<0

5. 若二次函数 y=x2-4x+c 的图象与 x 轴没有交点,其中 c 为整数,则 c=        (写一个即可).

6. 已知二次函数的图象如图,则:

(1)这个二次函数的解析式为            ; (2)当 x=      时,y=3;

(3)根据图象回答:当 x           时,y>0;当 x           时,y<0.

7. 利用二次函数的图象求方程-1x2+x+2=0 的近似解(精确到 0.1).

8. 已知抛物线 y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与 x 轴有两个不同的交点.

(1) 求 m 的取值范围;

(2) 判断点 P(1,1)是否在抛物线上;

(3) 当 m=1 时,求抛物线的顶点 Q 及点 P 关于抛物线的对称轴对称的点 P'的坐标.

9. 下表是一组二次函数 y=x2+3x-5 的自变量 x 与函数值 y 的对应值:

则方程 x2+3x-5=0 的一个近似根是( )

A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3

10. 若二次函数 y=ax2-2ax+c 的图象经过点(-1,0),则方程 ax2-2ax+c=0 的解为( ) A.x1=-3,x2=-1              B.x1=1,x2=3

C.x1=-1,x2=3 D.x1=-3,x2=1

11. 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=-1,部分图象如图所示,下列判断:

①abc>0;

②b2-4ac>0;

③9a-3b+c=0;

④若点(-0.5,y1),(-2,y2)均在抛物线上,则 y1>y2;

⑤5a-2b+c<0.

其中正确的个数为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

★12.已知 m,n 是方程 x2-6x+5=0 的两个实数根,且 m<n,抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(m,0),B(0,n),如图.

(1) 求这个抛物线的解析式;

(2) 设(1)中抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C,D 的坐标和△BCD 的面积; (3)P 是线段 OC 上的一点,过点 P 作 PH⊥x 轴,与抛物线交于点 H,若直线 BC 把△PCH 分成面积之比为 2∶3 的两部分,请求出点 P 的坐标.

★13.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点 A(2,0),且与函数 y=-3x+3 的图象相交于 B,C 两点,点 B

在 x 轴上,点 C 在 y 轴上.

(1) 求该二次函数的解析式.

(2) 若 P(x,y)是线段 BC 上的动点,O 为坐标原点,试求△AOP 的面积 S△AOP 与 x 之间的函数解析式,并求自变量 x 的取值范围.

(3) 是否存在这样的点 P,使 PO=AO?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

参考答案

夯基达标

1.B ∵抛物线 y=2x2+mx+8 与 x 轴只有一个交点,

∴Δ=m2-4×2×8=0.

∴m=±8.

又对称轴位于 y 轴左侧,∴m=8.

2.C A.由 b2-4ac=(-2m)2+12=4m2+12>0,可知二次函数的图象与 x 轴有两个交点,此选项正确,不符合题意;

2. 方程 x2-2mx=3 的两根之积为� =-3,此选项正确,不符合题意;

�

3. m 的值不能确定,故它的图象的对称轴位置无法确定,此选项错误,符合题意; D.∵

a=1>0,对称轴为 x=m,

∴x<m 时,y 随 x 的增大而减小,此选项正确,不符合题意.故选 C.

3.B 由题意得,函数 y=x2+x+m 的图象位于 x 轴上方,且与 x 轴无交点,故Δ=12-4m<0,解得 m>1.

4.B 根据二次函数的图象知:抛物线开口向上,则 a>0;

抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 x=- � >0,即 b<0;

2

抛物线交 y 轴于负半轴,则 c<0;

因为 abc>0,

所以抛物线与 x 轴有两个不同的交点,

所以Δ=b2-4ac>0,故选 B.

5.答案不唯一,只要满足 c>4 即可,如 5 等 二次函数 y=x2-4x+c 的图象与 x 轴没有交点,则一元二次方程 x2-4x+c=0 的判别式Δ=16-4c<0,即 c>4,因此,只要满足 c>4 的任何一个整数值均可.

6.(1)y=(x-1)2-1 (2)-1 或 3 (3)小于 0 或大于 2 大于 0 且小于 2

7.

解 函数 y=-1x2+x+2 的图象如图.

2

设方程-1x2+x+2=0 的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知-2<x1<-1,3<x2<4.

因为当 x=-1 时,y=-1×(-1)2-1+2=0.5>0,

当 x=-1.5 时,y=-1×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0, 所以-1.5<x1<-1.

因为当 x=3 时,y=-1×32+3+2=0.5>0,当 x=3.5 时,y=-1×3.52+3.5+2=-0.625<0,

2 2

所以 3<x2<3.5.

列表如下:

所以方程-1x2+x+2=0 的根 x1 的近似值为-1.2,x2 的近似值为 3.2.

8.解 (1)由题意可知抛物线对应的一元二次方程的判别式Δ>0,且 m≠0,即 b2-4ac=(3-2m)2-4m(m-2)>0,

且 m≠0,解得 m<9,且 m≠0.

4

(2) 当 x=1 时,由题意得 m+(3-2m)+m-2=1,符合函数解析式,所以点 P(1,1)在抛物线上.

(3)因为 m=1,所以 y=x2+x-1= �  + 1    − 5 .

2 4

所以 Q - 1 ,- 5 .

2 4

根据对称性可得 P'(-2,1).

培优促能

9.C 观察表格可知 0.04 更接近于 0,所以 1.2 是所求方程的一个近似根.故选 C.

10.C 由题意知函数 y=ax2-2ax+c 的图象的对称轴是直线 x=--2� =1.因为图象经过点(-1,0),设另一个

2�

交点为(x2,0),则-1+� 2=1,解得 x2=3.因此图象与 x 轴的两个交点坐标分别为(-1,0),(3,0),所以方程 ax2-

2ax+c=0 的解为-1 和 3.故选 C.

11.B ∵抛物线的对称轴为 x=-1,经过点(1,0),

∴- � =-1,a+b+c=0.

∴b=2a,c=-3a.

∵a>0,∴b>0,c<0,∴abc<0,故①错误;

∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,

∴b2-4ac>0,故②正确;

∵抛物线与 x 轴交于(-3,0),

∴9a-3b+c=0,故③正确;

∵点(-0.5,y1),(-2,y2)均在抛物线上,

又-1.5>-2,则 y1<y2,

∴④错误;

∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a<0,∴⑤正确.

故选 B.

12.解 (1)解方程 x2-6x+5=0,得 x1=5,x2=1.由 m<n,可知 m=1,n=5,所以点 A,B 的坐标分别为(1,0),(0,5). 将(1,0),(0,5)分别代入 y=-x2+bx+c,得 -1 + � + � = 0,解这个方程组得 � = -4,

�  = 5, � = 5,

所以抛物线的解析式为 y=-x2-4x+5.

(2)由 y=-x2-4x+5,令 y=0,得-x2-4x+5=0,解这个方程,得 x1=-5,x2=1,

所以点 C 的坐标为(-5,0).

由顶点坐标公式计算得点 D(-2,9).

如图,过点 D 作 x 轴的垂线,交 x 轴于点 M,则 S△DMC=1×9×(5-2)=27,

2 2

S MDBO=1×2×(9+5)=14,S△BOC=1×5×5=25,所以 S△BCD=S MDBO+S△DMC-S△BOC=14+27 − 25=15.

梯形 2 2 2 梯形 2 2

(3) 设点 P 的坐标为(a,0), 因为线段 BC 过 B,C 两点,

所以 BC 所在的直线方程为 y=x+5.

那么,PH 与直线 BC 的交点 E 的坐标为(a,a+5),

PH 与抛物线 y=-x2-4x+5 的交点 H 的坐标为(a,-a2-4a+5). 由题意,得①EH=3EP,

即(-a2-4a+5)-(a+5)=3(a+5),

解这个方程,得 a=-3或 a=-5(舍去).

②EH=2EP,即(-a2-4a+5)-(a+5)=2(a+5),

3 3

解这个方程,得 a=-2或 a=-5(舍去).

3

因此点 P 的坐标为 - 3 ,0 或 - 2 ,0 .

2 3

创新应用

13.解 (1)由题意可知,函数 y=-3x+3 的图象与 x 轴交于点 B(4,0),与 y 轴交于点 C(0,3).所以 c=3.

把 A(2,0),B(4,0)代入 y=ax2+bx+3,得

4� + 2� + 3 = 0, 解 得

16� + 4� + 3 =0,

�  = 3 ,

8 9

� = - .

4

所以所求函数的解析式为 y=3x2-9x+3.

8 4

(2)如图所示,S△AOP=1OA·y=1×2·y=y=-3x+3(0≤x<4).

2 2 4

(3)不存在这样的点 P,使 PO=AO.理由:设存在这样的点 P(x0,y0),满足 PO=AO,则 PO=2.如图,PO= � 2 + � 2,所以� 2 + � 2=4.

0 0 0 0

又因为 y0=-3x0+3,

所以 25�0 2-72x0+80=0.

因为 b2-4ac=(-72)2-4×25×80=-2 816<0,所以此一元二次方程无解.

故不存在这样的点 P,使 PO=AO.