高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试课后作业题

专题强化练5　复合函数问题的解法

一、选择题　　　　　

1.(2020河北唐山一中高一上期中,)若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围为              (　　)

A.[1,2) B.[1,2]

C.[1,+∞) D.[2,+∞)

2.(2021河北石家庄正定一中高一上期中,)已知函数f(x)=logax2(a>0且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值的差为1,则实数a的值为              (　　)

A.2      B.4    C.或4    D.或2

3.(2021湖北武汉部分重点高中高一上期中,)已知函数f(x)=x+1,g(x)=2|x+2|+a,若对任意x1∈[3,4],存在x2∈[-3,1],使f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是              (　　)

A.a≤-4 B.a≤2

C.a≤3     D.a≤4

4.()函数f(x)=-a2x-1+5ax-8(a>0,且a≠1)在[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为 (　　)

A.(0,1)∪     B.∪(1,+∞)

C.(0,1)∪         D.

5.(多选)(2020山东泰安一中高一上期中,)下列结论中不正确的有 (　　)

A.函数f(x)=的单调递增区间为

B.函数f(x)=为奇函数

C.函数y=的单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞)

D.>1是x<1的必要不充分条件

二、填空题

6.(2019四川蓉城名校联盟高一上期中联考,)设函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为　　　　. 

7.(2019浙江嘉兴一中高一上期中,)已知函数y=f(x)是定义在R上的单调函数,对于任意的x∈R, f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(2)=　　　　. 

三、解答题

8.(2020河北承德高一上期末,)已知函数f(x)=-4x+k·2x+1-2k,x∈[0,1].

(1)当k=-1时,求f(x)的值域;

(2)若f(x)的最大值为-,求实数k的值.

9.(2020山西长治二中高一上期中,)已知函数f(x)=log3.

(1)若m=4,n=4,求函数f(x)的定义域和值域;

(2)若函数f(x)的定义域为R,值域为[0,2],求实数m,n的值.

答案全解全析

一、选择题

1.A　令u=x2-2ax+1+a=(x-a)2-a2+a+1,其图象的对称轴为直线x=a,如图所示:

由图象可知,当a≥1时,u=x2-2ax+1+a在区间(-∞,1]上单调递减.

又真数x2-2ax+1+a>0,二次函数u=x2-2ax+1+a在(-∞,1]上单调递减,

故只需当x=1时,x2-2ax+1+a>0,即a<2,所以a的取值范围是[1,2),故选A.

2.C　当a>1时, f(x)在[2,4]上单调递增,∴f(4)-f(2)=loga16-loga4=1,∴a=4;

当0<a<1时, f(x)在[2,4]上单调递减,∴f(2)-f(4)=loga4-loga16=1,∴a=.

∴a的值为4或.故选C.

3.C　依题意,只需f(x)min≥g(x)min,

当x∈[3,4]时, f(x)单调递增,则f(x)min=f(3)=4,

当x∈[-3,1]时,易知g(x)=2|x+2|+a在[-3,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,

∴g(x)min=g(-2)=20+a=a+1,∴a+1≤4,解得a≤3,故选C.

4.A　设y=f(x)=-·a2x+5ax-8,令ax=u(u>0),

则y=-u2+5u-8=-+-8(u>0).

∴y=-u2+5u-8在u∈上单调递增,在u∈上单调递减.

①当0<a<1时,u=ax是减函数,由x≥2,得0<u≤a2<,

此时y=-u2+5u-8是增函数,从而f(x)是减函数,符合题意.

②当a>1时,u=ax是增函数,由x≥2,得u≥a2,

∵f(x)在x∈[2,+∞)上单调递减,∴a2≥,

又a>0,∴a≥,即当a≥时, f(x)是减函数.

综上所述,实数a的取值范围是(0,1)∪,

故选A.

易错警示　解决与指数函数有关的复合函数的单调性问题时,一要注意底数的取值对单调性的影响,必要时需进行分类讨论;二要注意中间变量的取值范围.

5.CD　在A中,由y=是减函数,u=x2-x在上单调递减,在上单调递增知, f(x)的单调递增区间为,A中结论正确;在B中, f(x)的定义域为R, f(-x)===-f(x),因此f(x)是奇函数,B中结论正确;在C中,y=在(-∞,-1)和(-1,+∞)上单调递减,C中结论错误;在D中,>1⇔0<x<1,因此>1是x<1的充分不必要条件,D中结论错误.故选CD.

二、填空题

6.答案　(-∞,1]

解析　设u=|x-1|,则y=.

∵y=是减函数,u=|x-1|在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减,∴y=在(-∞,1]上是增函数.因此,y=的单调递增区间是(-∞,1].

7.答案　5

解析　∵y=f(x)在R上是单调函数,且f[f(x)-2x]=3,

∴f(x)-2x是常数,设f(x)-2x=t,

则f(x)=2x+t,且f(t)=3.因此2t+t=3.

设g(t)=2t+t,则g(t)在R上单调递增,

且g(1)=21+1=3,因此g(t)=3有唯一解t=1.

从而f(x)=2x+1,∴f(2)=22+1=5.

三、解答题

8.解析　(1)当k=-1时, f(x)=-4x-2x+1+2,易知f(x)在[0,1]上单调递减,

故f(x)max=f(0)=-1, f(x)min=f(1)=-6,

所以f(x)的值域为[-6,-1].

(2)f(x)=-(2x)2+2k·2x-2k,x∈[0,1],

令2x=t,t∈[1,2],

则原函数可化为g(t)=-t2+2kt-2k,其图象开口向下,对称轴为直线t=k.

①当k≤1时,g(t)在[1,2]上单调递减,

所以g(t)max=g(1)=-1+2k-2k=-,无解;

②当1<k<2时,g(t)在[1,k]上单调递增,在[k,2]上单调递减,所以g(x)max=g(k)=k2-2k=-,

即k2-2k+=0,解得k=;

③当k≥2时,g(t)在[1,2]上单调递增,

所以g(x)max=g(2)=-4+2k=-,解得k=,不合题意,舍去.

综上,k的值为.

9.解析　(1)解法一:若m=4,n=4,则f(x)=log3.

由>0,得x2+2x+1>0,解得x≠-1,

故函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}.

f(x)=log3,

当x=0时,f(x)=log34,

当x≠0且x≠-1时,f(x)=log3,

而x+∈(-∞,-2)∪[2,+∞),

所以4+∈(0,4)∪(4,8],则f(x)=log3∈(-∞,log34)∪(log34,log38],

所以函数f(x)的值域为(-∞,log38].

解法二:定义域的求解同解法一.令p=,则(p-4)x2-8x+p-4=0.

当p=4时,x=0符合.

当p≠4时,上述方程要有解且x≠-1,则解得0<p<4或4<p≤8.

所以0<p≤8,则值域为(-∞,log38].

(2)由于函数f(x)的定义域为R,则>0恒成立,即mx2+8x+n>0恒成立,则即令t=,由于f(x)的定义域为R,值域为[0,2],则t∈[1,9],且(t-m)x2-8x+t-n=0有解,则由Δ=64-4(t-m)(t-n)≥0,可解得t∈[1,9],故t=1和t=9是方程64-4(t-m)(t-n)=0,即t2-(m+n)t+mn-16=0的两个根,则解得符合题意.

所以m=5,n=5.