人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试课后复习题

专题强化练9　三角函数式的恒等变形

一、选择题

1.(2020安徽黄山高一下期末,)已知cos α=,0<α<π,则tan= (　　)

A.- B.-7 C.-4-9 D.4-9

2.(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一下期中,)已知sin α+cos α=,且α∈(0,π),

则cos 2α的值为 (　　)

A.- B.- C. D.

3.(2020河北张家口高一上期末教学质量监测,)函数f(x)=sin2x+sin xcos x在区间上的最大值是              (　　)

A. B.1 C. D.1+

4.(2020辽宁辽阳高一下期末,)已知直线x=是函数f(x)=sin2+sin ωx-(0<ω≤8)的图象的一条对称轴,则ω=              (　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

5.(2020安徽合肥一六八中学高一上期末,)若θ∈,sin 2θ=,则sin θ= (　　)

A. B. C. D.

二、填空题

6.(2020天津六校期末联考,)已知=,则tan α+=　　　　. 

7.(2020浙江衢州高一下期末,)已知α∈,β∈,若cos β=-,sin(α+β)=,则sin β=　　　　,sin α=　　　　. 

8.(2020辽宁营口二中高一下期末,)函数f(x)=的值域为　　　　. 

9.(2020广西桂林高一上期末,)若角A为不等边三角形ABC的最小内角,则函数f(A)=的值域为　　　　. 

三、解答题

10.(2020辽宁沈阳东北育才学校高一下期中,)已知sin+sin α=,cos β=,α,β∈(0,π).

(1)求α的值;

(2)求cos(α+2β)的值.

11.()已知函数f(x)=4sincos x+.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.

答案全解全析

一、选择题

1.D　∵cos α=,0<α<π,

∴sin α==,

∴tan α==,

∴tan==4-9.故选D.

2. A　由已知得,(sin α+cos α)2=,即1+sin 2α=,则sin 2α=-.因为α∈(0,π),

所以sin α>0,cos α<0.因为(cos α-sin α)2=1-sin 2α=,所以cos α-sin α=-,

所以cos 2α=(cos α-sin α)·(cos α+sin α)=-,故选A.

思路探究　在解决正、余弦的和、差、积知一求二的问题时,要熟练掌握它们之间的互化,

即sin α+cos α与sin αcos α与sin α-cos α之间的转化,以正、余弦的平方和等于1为工具,sin αcos α为桥梁实现三者的互化,解决此类问题还应注意开方时符号的选择.

3.A　f(x)=sin2x+sin xcos x=+sin 2x=+sin,

∵≤x≤,∴≤2x-≤,

∴f(x)max=+1=.故选A.

4.B　函数f(x)=sin2+sin ωx-=(1-cos ωx)+sin ωx-=sin,

令ω-=+kπ(k∈Z),解得ω=4+(k∈Z),

因为0<ω≤8,所以ω=4.故选B.

5.B　 ∵θ∈,

∴2θ∈,

故cos 2θ===,

又cos 2θ=1-2sin2θ,即=1-2sin2θ,

所以sin2θ=,

由θ∈,得sin θ=.故选B.

二、填空题

6.答案　

解析　由==,可得cos α-sin α=,两边分别平方,得

1-2sin αcos α=,

∴2sin αcos α=,∴sin αcos α=,

∴tan α+==.

故答案为.

7.答案　;

解析　因为β∈,cos β=-,

所以sin β===.

又α∈,所以α+β∈,

由sin(α+β)=,可得cos(α+β)

=-=-,

所以sin α=sin [(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β

=×-×=.

8.答案　

解析　易得f(x)====2sin x(1+sin x)

=2-,

由题意可得-1≤sin x<1,所以-≤f(x)<2×-=4,

因此,函数f(x)=的值域为.故答案为.

9.答案　(0,-1]

解析　由已知得A∈,

设t=sin A+cos A,

则t=sin A+cos A=sin∈(1,],2sin Acos A=t2-1,

于是f(A)===t-1∈(0,-1].

易错警示　解决同时含sin x±cos x与sin xcos x形式的函数的最大(小)值问题时,常用换元法,即令t=sin x±cos x,若t=sin x+cos x,则t=sin,且sin xcos x=.解题时要注意t的范围,不能默认t∈R,导致解题错误.

三、解答题

10.解析　 (1)易得sin+sin α=cos α+sin α=sin=.

因为α∈(0,π),所以α+∈,所以α+=,所以α=.

(2)因为cos β=>0,β∈(0,π),所以β∈,所以sin β=,

cos(α+2β)=cos=-sin 2β

=-2sin βcos β=-.

11.解析　(1)f(x)=4sincos x+

=4cos x+

=2sin xcos x-2cos2x+

=sin 2x-cos 2x=2sin.

∴函数f(x)的最小正周期为=π.

由2kπ-≤2x-≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)易知方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,画出函数y=f(x)=2sin2x-在上的图象,如图所示,

由图象可知,当且仅当m∈[,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,且x1+x2=2×=,

故tan(x1+x2)=tan =-tan =-.