高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试课堂检测

专题强化练4　变换作图及其应用

一、选择题

1.(2020河北石家庄一中高一上期中,)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是              (　　)

A.a>1,b<0     B.a>1,b>0    C.0<a<1,b>0  D.0<a<1,b<0

2.(2020山东青岛二中高一上期末,)函数f(x)=2-|x|-1的图象大致为 (　　)

3.(2020安徽安庆高一上期末,)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x-1|的图象与性质进行了探究,得到下列四个结论:①函数f(x)的值域为(0,+∞);②函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;③函数f(x)的图象关于直线x=1对称;④函数f(x)的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点.

则其中正确结论的个数为 (　　)

A.1     B.2 C.3    D.4

4.()设函数f(x)=若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是(　　)

A.(16,32)  B.(18,34)    C.(17,35) D.(6,7)

5.(多选)(2021山东师大附中高一上期中,)已知函数f(x)=x2+2x+2|x+1|+a,则下列结论正确的是              (　　)

A.对于任意实数a, f(x)>0

B.对于任意实数a,函数f(x)的图象为轴对称图形

C.存在实数a,使得f(x)在(-∞,-1)上单调递减

D.存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(-∞,-2]∪[0,+∞)

二、填空题

6.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)函数y=|3x-2|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是　　　　　(用区间表示). 

7.(2020河北唐山一中高一上期中,)若函数f(x)=+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是　　　　　. 

8.(2020湖北荆州中学高一上月考,)若关于x的方程|x2-4|x|+3|= k有4个不相等的实数根,则实数k应满足的条件是　　　　　　　. 

9.(2020山东烟台高一上期末,)已知函数f(x)=3|x+a|(a∈R)满足f(x)=f(2-x),则实数a的值为　　　　;若f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值为　　　　. 

三、解答题

10.(2020福建厦外高一上期中,)已知函数f(x)=-a.

(1)若a=0,画出函数f(x)的图象,并指出其单调区间;

(2)讨论方程f(x)=0的实数解的个数.

答案全解全析

一、选择题

1.D　由函数f(x)的图象知f(x)单调递减,则0<a<1,又知f(x)的图象是将指数函数y=ax(0<a<1)的图象向左平移得到的,故b<0,故选D.

2.B　易得x∈R,且f(x)=f(-x),所以函数f(x)=2-|x|-1是偶函数,排除C;

f(x)=2-|x|-1=-1,当x>0时, f(x)=-1∈(-1,0),且是减函数,故选B.

3.B　作出函数f(x)=2|x-1|的图象,如图,

由图象可知,函数f(x)的值域为[1,+∞),①错误;函数f(x)在区间[0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,②错误;函数f(x)的图象关于直线x=1对称,③正确;因为y=-a2≤0,所以函数f(x)的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点,④正确.正确结论的个数为2,故选B.

解题模板　研究指数型函数的性质,借助图象是常见的手段,画出简图后很多问题可迎刃而解.

4.B　作出函数f(x)的图象如图所示.

不妨设a<b<c,则1-2a=2b-1=-c+5∈(0,1),

∴2a+2b=2,c∈(4,5),

从而2c∈(24,25)=(16,32),

因此16+2<2a+2b+2c<32+2,

即2a+2b+2c的取值范围是(18,34).

故选B.

解题模板　本题的实质是确定方程解的范围,借助图象是解题的要点,利用图象可以得到各个解的范围,进而解决问题.

5.BCD　函数f(x)=x2+2x+2|x+1|+a=(x+1)2+2|x+1|-1+a,

设g(x)=(x+1)2,h(x)=2|x+1|,其图象分别是由y=x2,y=2|x|的图象向左平移1个单位长度而得到,因此都关于直线x=-1对称,故f(x)的图象关于直线x=-1对称,故B正确;

易得g(x)min=g(-1)=0,h(x)min=h(-1)=1,

所以f(x)min=0+1-1+a=a,当a<0时,选项A错误;

由于函数g(x)和函数h(x)在(-∞,-1)上均为减函数,

所以f(x)在(-∞,-1]上单调递减,故C正确;

由于函数f(x)的图象关于直线x=-1对称, f(x)在(-∞,-1]上单调递减,在[-1,+∞)上单调递增,

所以若关于x的不等式f(x)≥5的解集为(-∞,-2]∪[0,+∞),则f(-2)=2+a=5,解得a=3,故D

正确.

故选BCD.

二、填空题

6.答案　(-∞,-2]

解析　作出函数y=|3x-2|的图象如图所示.

由图可知,若函数y=|3x-2|+m的图象不经过第二象限,则需将函数y=|3x-2|的图象至少向下平移2个单位长度,则m≤-2,故答案为(-∞,-2].

7.答案　 [-1,0)

解析　作出函数g(x)==的图象如图所示.

由图象可知0<g(x)≤1,则m<g(x)+m≤1+m,即m<f(x)≤1+m,

要使函数f(x)=+m的图象与x轴有公共点,则解得-1≤m<0.

故答案为[-1,0).

8.答案　k=0或1<k<3

解析　设f(x)=|x2-4|x|+3|,当x≥0时, f(x)=|x2-4x+3|,其图象是由y=x2-4x+3(x≥0)的图象在x轴及其上方的部分不变,在x轴下方的部分对称到x轴上方而得到的,易知f(x)是偶函数,故f(x)的大致图象如图所示.

由图象知,当k=0或1<k<3时,方程|x2-4|x|+3|=k有4个不相等的实数根.

9.答案　-1;1

解析　由f(x)=f(2-x),

可得f(0)=f(2),

∴3|a|=3|2+a|,即|a|=|2+a|,

解得a=-1.

∴f(x)=3|x-1|=

易知f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.

若f(x)在[m,+∞)上单调递增,则m≥1,

∴m的最小值为1.故答案为-1;1.

三、解答题

10.解析　(1)当a=0时,f(x)=,其图象如图所示.

由图象可知, f(x)的单调递增区间为(0,+∞), f(x)的单调递减区间为(-∞,0).

(2)方程f(x)=0可化为=a.由(1)中图知,当a<0时,方程f(x)=0无实数解;当a=0时,方程f(x)=0有唯一实数解;当0<a<1时,方程f(x)=0有两个不相等的实数解;当a≥1时,方程f(x)=0有唯一实数解.

综上,当a<0时,方程f(x)=0没有实数解,当a=0或a≥1时,方程f(x)=0有且仅有一个实数解,当0<a<1时,方程f(x)=0有两个不相等的实数解.