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高中第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试随堂练习题
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这是一份高中第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试随堂练习题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=ln(x+1)x-2的定义域是 ( )
A.(-1,+∞) B.(-1,2)∪(2,+∞)
C.(-1,2) D.[-1,2)∪(2,+∞)
2.已知a=20.2,b=20.3,c=0.20.3,则 ( )
A.b>a>c B.a>b>c
C.b>c>a D.a>c>b
3.由表格中的数据,可以判断方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是 ( )
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
3x+2
2
5
8
11
14
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
4.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2 000 mg该药物,那么x小时后病人血液中这种药物的含量为 ( )
A.2 000(1-0.2x) mg B.2 000·0.8x mg
C.2 000(1-0.2x) mg D.2 000·0.2x mg
5.已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实数根x1,x2满足x1<32
7.已知函数f(x)=lnx,x>0,-ln(-x),x<0,若f(m)+2f(-m)>0,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-∞,-e)∪(0,e) D.(-∞,-1)∪(0,1)
8.若函数f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,x<1,且满足对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若014n
10.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列式子成立的是 ( )
A. f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B. f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.f(x1)-f(x2)x1-x2>0
D. fx1+x22
A.函数的定义域为R
B.函数是增函数
C.函数的值域为R
D.函数的图象关于直线x=12对称
12.已知函数f(x)的定义域为D,若对任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“M函数”.下列所给出的函数中是“M函数”的有 ( )
A.y=x2 B.y=1x C.y=2x-1 D.y=ln(x+1)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.log233×log32= .
14.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于 .(保留两位小数,参考数据:ln 3≈1.099)
15.已知x,y∈R,在实数集R中定义一种运算x?y=xy+x+y-1,则2 4= ,函数f(x)=2x42x的最小值为 .(本小题第一空2分,第二空3分)
16.已知函数f(x)=x2-2x+logaax-1在1,32内恒小于零,则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=log2(x2+a+x) (a∈R)满足f(x)+f(-x)=0.
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)=2f(-x)+1-x2+1,证明:g(x2-x)≤54.
18.(本小题满分12分)计算下列各式的值.
(1)(32×3)6+(-2 020)0-4×1649-12+4(3-π)4;
(2)log23×log34×log45×log254.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a12|x|+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式,并判断该函数的奇偶性;
(2)若不等式m·[1-f(x)]>14x+1对任意的x∈[-2,2]恒成立,求m的取值范围.
20.(本小题满分12分)某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q(单位:千克)与ex成反比,每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100 千克.
(1)求该工厂的日销售利润y(单位:元)关于每千克蘑菇的出厂价x(单位:元)的函数关系式;
(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的日销售利润y为100e4元?
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ax+9.
(1)当a≤0时,设g(x)=f(2x),证明:函数g(x)在R上单调递增;
(2)若∀x∈[1,2], f(2x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)在(-3,9)上有两个零点,求实数a的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+(m-2)x-m,g(x)=f(x)x,且函数y=f(x-2)是偶函数.
(1)求g(x)的解析式;
(2)若不等式g(ln x)-nln x≥0在1e2,1上恒成立,求n的取值范围;
(3)若函数y=g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4)-9恰好有三个零点,求k的值及该函数的零点.
答案全解全析
一、单项选择题
1.B 由题意得x+1>0,x-2≠0,所以x>-1且x≠2,即f(x)的定义域为(-1,2)∪(2,+∞),故选B.
2.A c=0.20.3<1a>c.故选A.
3.C 设f(x)=ex-3x-2,由题表知, f(0)、 f(1)、 f(2)均为负值,f(3)、 f(4)均为正值,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,因此方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间为(2,3),故选C.
4.B 由题意知,该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减,给某病人注射了2 000 mg该药物,x个小时后病人血液中这种药物的含量为y=2 000· (1-20%)x=2 000·0.8x (mg),故选B.
5.D 设f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由题意可得, f32<0,即322-(2m-8)×32+m2-16<0,即4m2-12m-7<0,解得-12
7.D 当m>0时,-m<0,所以f(m)+2f(-m)=ln m-2ln m>0,
即-ln m>0,解得0
综上,实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(0,1),故选D.
8.D ∵对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,
∴函数f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,x<1在R上单调递增,∴a>1,4-a2>0,a1≥4-a2×1+2,解得a∈[4,8),故选D.
二、多项选择题
9.AD 因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,且03m,故B错;取m=14,n=12,知logm3>logn3,故C错;由指数函数的性质可知D正确.故选AD.
10.ACD f(x1+x2)=2x1+x2, f(x1)·f(x2)=2x1·2x2=2x1+x2=f(x1+x2),所以A成立; f(x1·x2)=2x1·x2, f(x1)+f(x2)=2x1+2x2≠2x1·x2=f(x1·x2),所以B不成立;易知函数f(x)=2x在R上是单调递增函数,则 f(x1)-f(x2)x1-x2>0,所以C成立;fx1+x22
B错误,函数y=ln(x2-x+1)在x>12时是增函数,在x<12时是减函数;
C错误,由x2-x+1=x-122+34≥34可得y=ln(x2-x+1)≥ln34,
∴函数的值域为ln34,+∞;
D正确,函数的图象关于直线x=12对称.故选AD.
12.BD 依题意得,若b是f(x)的值域中的数,则-b也是值域中的数,即f(x)的值域关于原点对称,选项A中函数的值域为[0,+∞),不是“M函数”;选项B中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),是“M函数”;选项C中函数的值域为(0,+∞),不是“M函数”;选项D中函数的值域为R,是“M函数”.故选BD.
解题模板 准确理解题意是解题的关键.“对任意x∈D,都存在y∈D,使得g(y)=f(x)成立”的含义是“f(x)的值域是g(y)的值域的子集”. 本题中“对任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立”,意思是若s在函数f(x)的值域内,则-s也在函数f(x)的值域内,从而解决问题.
三、填空题
13.答案 13
解析 log233×log32=13log23×log32=13.
14.答案 4.58
解析 由题意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化简可得e-0.24t=13,∴-0.24t=ln13=-ln 3,
∴0.24t=ln 3≈1.099,∴t≈4.58.
15.答案 13;7
解析 由已知得24=2×4+2+4-1=13.
函数f(x)=2x42x=4+2x+42x-1=3+2x+42x≥3+22x·42x=7,当且仅当x=1时取等号,
所以函数f(x)=2x42x的最小值为7.
16.答案 116,1
解析 f(x)=x2-2x+loga ax-1在1,32内恒小于零,即(x-1)2
17.解析 (1)因为f(x)+f(-x)=0,
所以log2(x2+a+x)+log2((-x)2+a-x)=0, (2分)
则log2a=0,则a=1. (5分)
(2)证明:由(1)知f(x)=log2(x2+1+x),
所以g(x)=2log2(x2+1-x)+1-x2+1=1-x, (8分)
则g(x2-x)=1-x2+x=-x-122+54≤54.(10分)
18.解析 (1)(32×3)6+(-2 020)0-4×1649-12+4(3-π)4
=108+1-7+π-3 (4分)
=99+π. (6分)
(2)原式=log23×(2log32)×12log25×log52(9分)
=lg3lg2×lg2lg3×lg5lg2×lg2lg5=1. (12分)
19.解析 (1)依题意得b=1, (2分)
由f(0)=0得a+1=0,解得a=-1. (4分)
因此f(x)=-12|x|+1,其定义域为R,
且f(-x)=-12|-x|+1=-12|x|+1= f(x),故函数f(x)是偶函数. (6分)
(2)不等式m·[1-f(x)]>14x+1可化为m>14x+112|x|,
依题意知m>14x+112|x|对任意的x∈[-2,2]恒成立. (8分)
令y=14x+112|x|,x∈[-2,2],则m>ymax, (9分)
令t=12x,当x∈[0,2]时,t∈14,1,y=t2+1t=t+1t,当t=14时,y取得最大值,最大值为174; (10分)
当x∈[-2,0)时,t∈(1,4],y=t2+1t-1=t3+t,
当t=4时,y取得最大值,最大值为68. (11分)
综上,m的取值范围为m>68. (12分)
20.解析 (1)设日销售量q=kex(25≤x≤40,k为常数),则ke30=100,∴k=100e30, (2分)
∴日销售量q=100e30ex(25≤x≤40), (4分)
∴y=100e30(x-20-t)ex(25≤x≤40). (6分)
(2)当t=5时,y=100e30(x-25)ex, (7分)
令y=100e4,则x-25=ex-26, (8分)
画出函数y=x-25与y=ex-26的图象如图所示,
由图可得方程x-25=ex-26的解为x=26, (11分)
∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日销售利润为100e4元. (12分)
21.解析 (1)证明:g(x)=f(2x)=4x-2a·2x+9, (1分)
任取x1,x2∈R,且x1
=4x2-4x1-2a(2x2-2x1)=(2x2-2x1)(2x2+2x1)-2a(2x2-2x1)
=(2x2-2x1)(2x2+2x1-2a), (2分)
∵函数y=2x在R上单调递增,∴2x2>2x1,即2x2-2x1>0,
又2x2+2x1>0,a≤0,∴2x2+2x1-2a>0,
∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2a)>0,∴g(x2)>g(x1),
∴函数g(x)在R上单调递增. (4分)
(2)设t=2x(1≤x≤2),则2≤t≤4,
∀x∈[1,2], f(2x)≤0恒成立,即∀t∈[2,4],t2-2at+9≤0恒成立,
即2a≥t+9t(t∈[2,4]),令h(t)=t+9t(t∈[2,4]), (6分)
易得h(t)在[2,3]上单调递减,在[3,4]上单调递增,
又h(2)=132,h(4)=254,∴h(t)的最大值为132,∴2a≥132,即a≥134,
∴实数a的取值范围为134,+∞. (8分)
(3)∵函数f(x)在(-3,9)上有两个零点且f(x)=x2-2ax+9的图象的对称轴为直线x=a,
∴-30,f(-3)>0,f(9)>0, (10分)
解得3
22.解析 (1)∵f(x)=x2+(m-2)x-m,
∴f(x-2)=(x-2)2+(m-2)(x-2)-m=x2+(m-6)x+8-3m. (2分)
∵y=f(x-2)是偶函数,∴m-6=0,∴m=6,∴f(x)=x2+4x-6,
∴g(x)=x-6x+4(x≠0). (4分)
(2)令ln x=t,∵x∈1e2,1,∴t∈[-2,0),
∵不等式g(ln x)-nln x≥0在1e2,1上恒成立,
∴g(t)-nt≥0在t∈[-2,0)上恒成立. (6分)
∴n≥t-6t+4t=-6t2+4t+1(t∈[-2,0)).
令z=-6t2+4t+1,1t=s,则s≤-12,z=-6s2+4s+1=-6s-132+53≤-52,
∴n≥-52. (8分)
(3)令log2(x2+4)=p,则p≥2,方程g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4)-9=0可化为g(p)+k·2p-9=0,即p-6p+4+2kp-9=0,即p2-5p+2k-6p=0. (10分)
∵函数y=g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4)-9恰好有三个零点,
∴方程g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4)-9=0有三个实数根,
∴p2-5p+2k-6p=0有一个根为2,∴k=6,∴p2-5p+6=0,解得p=2或p=3.
由log2(x2+4)=2,得x=0,由log2(x2+4)=3,得x=±2,
∴该函数的零点为0,-2,2. (12分)
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=ln(x+1)x-2的定义域是 ( )
A.(-1,+∞) B.(-1,2)∪(2,+∞)
C.(-1,2) D.[-1,2)∪(2,+∞)
2.已知a=20.2,b=20.3,c=0.20.3,则 ( )
A.b>a>c B.a>b>c
C.b>c>a D.a>c>b
3.由表格中的数据,可以判断方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是 ( )
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
3x+2
2
5
8
11
14
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
4.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2 000 mg该药物,那么x小时后病人血液中这种药物的含量为 ( )
A.2 000(1-0.2x) mg B.2 000·0.8x mg
C.2 000(1-0.2x) mg D.2 000·0.2x mg
5.已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实数根x1,x2满足x1<32
7.已知函数f(x)=lnx,x>0,-ln(-x),x<0,若f(m)+2f(-m)>0,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-∞,-e)∪(0,e) D.(-∞,-1)∪(0,1)
8.若函数f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,x<1,且满足对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若0
10.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列式子成立的是 ( )
A. f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B. f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.f(x1)-f(x2)x1-x2>0
D. fx1+x22
A.函数的定义域为R
B.函数是增函数
C.函数的值域为R
D.函数的图象关于直线x=12对称
12.已知函数f(x)的定义域为D,若对任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“M函数”.下列所给出的函数中是“M函数”的有 ( )
A.y=x2 B.y=1x C.y=2x-1 D.y=ln(x+1)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.log233×log32= .
14.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于 .(保留两位小数,参考数据:ln 3≈1.099)
15.已知x,y∈R,在实数集R中定义一种运算x?y=xy+x+y-1,则2 4= ,函数f(x)=2x42x的最小值为 .(本小题第一空2分,第二空3分)
16.已知函数f(x)=x2-2x+logaax-1在1,32内恒小于零,则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=log2(x2+a+x) (a∈R)满足f(x)+f(-x)=0.
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)=2f(-x)+1-x2+1,证明:g(x2-x)≤54.
18.(本小题满分12分)计算下列各式的值.
(1)(32×3)6+(-2 020)0-4×1649-12+4(3-π)4;
(2)log23×log34×log45×log254.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a12|x|+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式,并判断该函数的奇偶性;
(2)若不等式m·[1-f(x)]>14x+1对任意的x∈[-2,2]恒成立,求m的取值范围.
20.(本小题满分12分)某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q(单位:千克)与ex成反比,每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100 千克.
(1)求该工厂的日销售利润y(单位:元)关于每千克蘑菇的出厂价x(单位:元)的函数关系式;
(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的日销售利润y为100e4元?
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ax+9.
(1)当a≤0时,设g(x)=f(2x),证明:函数g(x)在R上单调递增;
(2)若∀x∈[1,2], f(2x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)在(-3,9)上有两个零点,求实数a的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+(m-2)x-m,g(x)=f(x)x,且函数y=f(x-2)是偶函数.
(1)求g(x)的解析式;
(2)若不等式g(ln x)-nln x≥0在1e2,1上恒成立,求n的取值范围;
(3)若函数y=g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4)-9恰好有三个零点,求k的值及该函数的零点.
答案全解全析
一、单项选择题
1.B 由题意得x+1>0,x-2≠0,所以x>-1且x≠2,即f(x)的定义域为(-1,2)∪(2,+∞),故选B.
2.A c=0.20.3<1
3.C 设f(x)=ex-3x-2,由题表知, f(0)、 f(1)、 f(2)均为负值,f(3)、 f(4)均为正值,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,因此方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间为(2,3),故选C.
4.B 由题意知,该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减,给某病人注射了2 000 mg该药物,x个小时后病人血液中这种药物的含量为y=2 000· (1-20%)x=2 000·0.8x (mg),故选B.
5.D 设f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由题意可得, f32<0,即322-(2m-8)×32+m2-16<0,即4m2-12m-7<0,解得-12
7.D 当m>0时,-m<0,所以f(m)+2f(-m)=ln m-2ln m>0,
即-ln m>0,解得0
综上,实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(0,1),故选D.
8.D ∵对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,
∴函数f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,x<1在R上单调递增,∴a>1,4-a2>0,a1≥4-a2×1+2,解得a∈[4,8),故选D.
二、多项选择题
9.AD 因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,且0
10.ACD f(x1+x2)=2x1+x2, f(x1)·f(x2)=2x1·2x2=2x1+x2=f(x1+x2),所以A成立; f(x1·x2)=2x1·x2, f(x1)+f(x2)=2x1+2x2≠2x1·x2=f(x1·x2),所以B不成立;易知函数f(x)=2x在R上是单调递增函数,则 f(x1)-f(x2)x1-x2>0,所以C成立;fx1+x22
B错误,函数y=ln(x2-x+1)在x>12时是增函数,在x<12时是减函数;
C错误,由x2-x+1=x-122+34≥34可得y=ln(x2-x+1)≥ln34,
∴函数的值域为ln34,+∞;
D正确,函数的图象关于直线x=12对称.故选AD.
12.BD 依题意得,若b是f(x)的值域中的数,则-b也是值域中的数,即f(x)的值域关于原点对称,选项A中函数的值域为[0,+∞),不是“M函数”;选项B中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),是“M函数”;选项C中函数的值域为(0,+∞),不是“M函数”;选项D中函数的值域为R,是“M函数”.故选BD.
解题模板 准确理解题意是解题的关键.“对任意x∈D,都存在y∈D,使得g(y)=f(x)成立”的含义是“f(x)的值域是g(y)的值域的子集”. 本题中“对任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立”,意思是若s在函数f(x)的值域内,则-s也在函数f(x)的值域内,从而解决问题.
三、填空题
13.答案 13
解析 log233×log32=13log23×log32=13.
14.答案 4.58
解析 由题意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化简可得e-0.24t=13,∴-0.24t=ln13=-ln 3,
∴0.24t=ln 3≈1.099,∴t≈4.58.
15.答案 13;7
解析 由已知得24=2×4+2+4-1=13.
函数f(x)=2x42x=4+2x+42x-1=3+2x+42x≥3+22x·42x=7,当且仅当x=1时取等号,
所以函数f(x)=2x42x的最小值为7.
16.答案 116,1
解析 f(x)=x2-2x+loga ax-1在1,32内恒小于零,即(x-1)2
17.解析 (1)因为f(x)+f(-x)=0,
所以log2(x2+a+x)+log2((-x)2+a-x)=0, (2分)
则log2a=0,则a=1. (5分)
(2)证明:由(1)知f(x)=log2(x2+1+x),
所以g(x)=2log2(x2+1-x)+1-x2+1=1-x, (8分)
则g(x2-x)=1-x2+x=-x-122+54≤54.(10分)
18.解析 (1)(32×3)6+(-2 020)0-4×1649-12+4(3-π)4
=108+1-7+π-3 (4分)
=99+π. (6分)
(2)原式=log23×(2log32)×12log25×log52(9分)
=lg3lg2×lg2lg3×lg5lg2×lg2lg5=1. (12分)
19.解析 (1)依题意得b=1, (2分)
由f(0)=0得a+1=0,解得a=-1. (4分)
因此f(x)=-12|x|+1,其定义域为R,
且f(-x)=-12|-x|+1=-12|x|+1= f(x),故函数f(x)是偶函数. (6分)
(2)不等式m·[1-f(x)]>14x+1可化为m>14x+112|x|,
依题意知m>14x+112|x|对任意的x∈[-2,2]恒成立. (8分)
令y=14x+112|x|,x∈[-2,2],则m>ymax, (9分)
令t=12x,当x∈[0,2]时,t∈14,1,y=t2+1t=t+1t,当t=14时,y取得最大值,最大值为174; (10分)
当x∈[-2,0)时,t∈(1,4],y=t2+1t-1=t3+t,
当t=4时,y取得最大值,最大值为68. (11分)
综上,m的取值范围为m>68. (12分)
20.解析 (1)设日销售量q=kex(25≤x≤40,k为常数),则ke30=100,∴k=100e30, (2分)
∴日销售量q=100e30ex(25≤x≤40), (4分)
∴y=100e30(x-20-t)ex(25≤x≤40). (6分)
(2)当t=5时,y=100e30(x-25)ex, (7分)
令y=100e4,则x-25=ex-26, (8分)
画出函数y=x-25与y=ex-26的图象如图所示,
由图可得方程x-25=ex-26的解为x=26, (11分)
∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日销售利润为100e4元. (12分)
21.解析 (1)证明:g(x)=f(2x)=4x-2a·2x+9, (1分)
任取x1,x2∈R,且x1
=4x2-4x1-2a(2x2-2x1)=(2x2-2x1)(2x2+2x1)-2a(2x2-2x1)
=(2x2-2x1)(2x2+2x1-2a), (2分)
∵函数y=2x在R上单调递增,∴2x2>2x1,即2x2-2x1>0,
又2x2+2x1>0,a≤0,∴2x2+2x1-2a>0,
∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2a)>0,∴g(x2)>g(x1),
∴函数g(x)在R上单调递增. (4分)
(2)设t=2x(1≤x≤2),则2≤t≤4,
∀x∈[1,2], f(2x)≤0恒成立,即∀t∈[2,4],t2-2at+9≤0恒成立,
即2a≥t+9t(t∈[2,4]),令h(t)=t+9t(t∈[2,4]), (6分)
易得h(t)在[2,3]上单调递减,在[3,4]上单调递增,
又h(2)=132,h(4)=254,∴h(t)的最大值为132,∴2a≥132,即a≥134,
∴实数a的取值范围为134,+∞. (8分)
(3)∵函数f(x)在(-3,9)上有两个零点且f(x)=x2-2ax+9的图象的对称轴为直线x=a,
∴-3
解得3
22.解析 (1)∵f(x)=x2+(m-2)x-m,
∴f(x-2)=(x-2)2+(m-2)(x-2)-m=x2+(m-6)x+8-3m. (2分)
∵y=f(x-2)是偶函数,∴m-6=0,∴m=6,∴f(x)=x2+4x-6,
∴g(x)=x-6x+4(x≠0). (4分)
(2)令ln x=t,∵x∈1e2,1,∴t∈[-2,0),
∵不等式g(ln x)-nln x≥0在1e2,1上恒成立,
∴g(t)-nt≥0在t∈[-2,0)上恒成立. (6分)
∴n≥t-6t+4t=-6t2+4t+1(t∈[-2,0)).
令z=-6t2+4t+1,1t=s,则s≤-12,z=-6s2+4s+1=-6s-132+53≤-52,
∴n≥-52. (8分)
(3)令log2(x2+4)=p,则p≥2,方程g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4)-9=0可化为g(p)+k·2p-9=0,即p-6p+4+2kp-9=0,即p2-5p+2k-6p=0. (10分)
∵函数y=g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4)-9恰好有三个零点,
∴方程g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4)-9=0有三个实数根,
∴p2-5p+2k-6p=0有一个根为2,∴k=6,∴p2-5p+6=0,解得p=2或p=3.
由log2(x2+4)=2,得x=0,由log2(x2+4)=3,得x=±2,
∴该函数的零点为0,-2,2. (12分)
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