人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制同步测试题

第五章　三角函数

5.1　任意角和弧度制

5.1.1　任意角

基础过关练

题组一　对任意角概念的理解　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是 (　　)

A.60°,720°     B.-60°,-720°

C.-30°,-360° D.-60°,720°

2.已知角α在平面直角坐标系中如图所示,其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°,则α的值为              (　　)

A.-480° B.-240° C.150° D.480°

3.50°角的始边与x轴的非负半轴重合,把其终边按顺时针方向旋转3周,所得的角是　　　　. 

题组二　终边相同的角与区域角

4.(2020广东湛江高一下期末)下列各角中,与2 019°角终边相同的角为 (　　)

A.41°   B.129°    C.219°  D.-231°

5.设角α=-300°,则与α终边相同的角的集合为 (　　)

A.{β|β=k·360°+300°,k∈Z}

B.{β|β=k·360°+60°,k∈Z}

C.{β|β=k·360°+30°,k∈Z}

D.{β|β=k·360°-60°,k∈Z}

6.若角2α与240°角的终边相同,则α等于 (　　)

A.120°+k·360°,k∈Z B.120°+k·180°,k∈Z

C.240°+k·360°,k∈Z D.240°+k·180°,k∈Z

7.(2021黑龙江省实验中学高一上月考)已知-990°<α<-630°,且α与120°角终边相同,则α=　　　　. 

8.已知射线OA,OB如图.

(1)分别写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.

9.已知角θ的7倍角的终边与角θ的终边重合,且0°<θ<360°,求满足条件的角θ的集合.

题组三　象限角的判定

10.(2021江苏扬中高级中学等八校高一上联考)2 020°角的终边在 (　　)

A.第一象限 B.第二象限   C.第三象限 D.第四象限

11.(2020辽宁省实验中学高一下期中)下列选项中叙述正确的是 (　　)

A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角        B.锐角一定是第一象限的角

C.小于90°的角一定是锐角                      D.终边相同的角一定相等

12.若α是第四象限角,则180°-α是 (　　)

A.第一象限角 B.第二象限角    C.第三象限角 D.第四象限角

13.(多选)下列四个命题是真命题的有 (　　)

A.-75°角是第四象限角     B.225°角是第三象限角

C.575°角是第二象限角     D.-315°角是第一象限角

14.若α=k·360°+45°,k∈Z,求是第几象限角.

能力提升练　　　　　　 　　　　　 　　　　　

题组一　终边相同的角与区域角

1.(2020河南信阳光山第二高级中学高一期末,)与-390°角终边相同的最小正角是 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.10° B.30° C.60° D.330°

2.()设集合M=,N=,那么 (　　)

A.M=N B.N⊆M    C.M⊆N D.M∩N=⌀

3.()如果角α与x+45°的终边相同,角β与x-45°的终边相同,那么α与β的关系是 (　　)

A.α+β=0°

B.α-β=0°

C.α+β=k·360°(k∈Z)

D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)

4.(多选)(2021山东六校高一上第二次联考,)下列条件中,能使α和β的终边关于y轴对称的是              (　　)

A.α+β=90°

B.α+β=180°

C.α+β=k·360°+90°(k∈Z)

D.α+β=(2k+1)·180°(k∈Z)

5.()若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边与终边,则角α=　　　　. 

6.()写出如图所示的阴影部分(包括边界)的角α的范围.

题组二　象限角的判定

7.(2020北京人大附中高一下期末,)已知p:θ为锐角,q:θ为第一象限角,则p是q的 (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.(2021黑龙江哈尔滨六中高一上月考,)下列说法正确的是 (　　)

A.第一象限角一定小于90°

B.终边在x轴正半轴的角是零角

C.若α+β=k·360°(k∈Z),则α与β终边相同

D.钝角一定是第二象限角

9.(2021黑龙江双鸭山一中高一上第二次月考,)已知α为第三象限角,则所在的象限是 (　　)

A.第一或第二象限 B.第二或第三象限

C.第一或第三象限 D.第二或第四象限

10.()已知集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}.

(1)该集合中有几种终边不相同的角?

(2)该集合中有几个在-360°~360°范围内的角?

(3)写出该集合中的第三象限角.

11.()半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,按逆时针方向做匀速圆周运动,已知点P在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°),经过2 s到达第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求θ.

答案全解全析

基础过关练

1.B　钟表的时针和分针都是按顺时针方向旋转,因此转过的角度都是负的,而×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.

2.D　由角α是按逆时针方向旋转形成的,可知α为正角.又旋转量为480°,∴α=480°.

3.答案　-1 030°

解析　记α=50°,其始边与x轴的非负半轴重合,将其终边按顺时针方向旋转3周,得到的角记为β,则β=α-3×360°=50°-1 080°=-1 030°.

故答案为-1 030°.

4.C　因为2 019°=5×360°+219°,所以219°角与2 019°角的终边相同.故选C.

5.B　因为α=-300°=-360°+60°,所以角α的终边与60°角的终边相同,故选B.

6.B　角2α与240°角的终边相同,则2α=240°+k·360°,k∈Z,

因此α=120°+k·180°,k∈Z,故选B.

7.答案　-960°

解析　∵α与120°角终边相同,

∴α=k·360°+120°,k∈Z.

∴-990°<k·360°+120°<-630°,

得-1 110°<k·360°<-750°.

又k∈Z,∴k=-3,

∴α=-3×360°+120°=-960°.

故答案为-960°.

8.解析　(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.

终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.

(2)终边落在题图阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.

9.解析　由题意知,7θ=θ+k·360°,k∈Z,

即6θ=k·360°,k∈Z,∴θ=k·60°,k∈Z,

由0°<θ<360°,得0°<k·60°<360°,k∈Z,

∴0<k<6,k∈Z,即k=1,2,3,4,5,

∴角θ的集合为{60°,120°,180°,240°,300°}.

10.C　∵2 020°=5×360°+220°,220°角是第三象限角,

∴2 020°角的终边在第三象限.故选C.

11.B　对于A,当三角形的内角为90°时,不是象限角;对于B,锐角θ的范围是0°<θ<90°,是第一象限角,B正确;对于C,0°< 90°,但0°不是锐角,C错误;对于D,终边相同的角不一定相等,比如45°角和405°角的终边相同,但两个角不相等,D错误.故选B.

12.C　因为α是第四象限角,所以角α应满足:k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z,

所以-k·360°<-α<-k·360°+90°,k∈Z,则-k·360°+180°<180°-α<-k·360°+270°,k∈Z,

当k=0时,180°<180°-α<270°,故180°-α为第三象限角.

13.ABD　-75°=-360°+285°,是第四象限角;225°=180°+45°,是第三象限角;575°=360°+215°,是第三象限角;-315°=-360°+45°,是第一象限角.故A,B,D中命题为真命题.

14.解析　∵α=k·360°+45°,k∈Z,

∴=k·180°+22.5°,k∈Z.

当k为偶数,即k=2n,n∈Z时,

=n·360°+22.5°,n∈Z,

∴为第一象限角;

当k为奇数,即k=2n+1,n∈Z时,

=n·360°+202.5°,n∈Z,

∴为第三象限角.

综上,是第一或第三象限角.

能力提升练

1.D　-390°+360°=-30°,-30°+360°=330°,故选D.

2.C　由题意得M=xx=×180°+45°,k∈Z={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z},

即M是由45°的奇数倍的角构成的集合.

又N=={x|x=(k+1)×45°,k∈Z},

即N是由45°的整数倍的角构成的集合,

∴M⊆N.

3.D　由题意知α=(x+45°)+k1·360°(k1∈Z),β=(x-45°)+k2·360°(k2∈Z),

∴α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k∈Z).

4.BD　假设α,β为0°~180°内的角,如图所示,因为α,β的终边关于y轴对称,所以α+β=180°,所以B满足条件;结合终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)·180°(k∈Z),所以D满足条件,A、C不满足条件.

5.答案　270°

解析　∵角5α与α有相同的始边与终边,∴5α=k·360°+α,k∈Z,得4α=k·360°,k∈Z,∴α=k·90°,k∈Z.

又180°<α<360°,∴α=270°.

6.解析　(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°,k∈Z的形式,与-180°+30°=-150°角终边相同的角可写成-150°+k·360°,k∈Z的形式,所以题图(1)中阴影部分的角α的范围可表示为{α|-150°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}.

(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°,k∈Z的形式,与360°-60°=300°角终边相同的角可写成300°+k·360°,k∈Z的形式,所以题图(2)中阴影部分的角α的范围为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}.

7.A　若θ为锐角,则θ一定是第一象限角,反之,若θ是第一象限角,则θ不一定为锐角.

所以p是q的充分不必要条件.故选A.

8.D　对于选项A,390°角是第一象限角,但390°>90°,故A错误;对于选项B,终边在x轴正半轴的角可能是360°,故B错误;对于选项C,α=-β+k·360°(k∈Z),则α与-β终边相同,故C错误;对于选项D,因为钝角θ的取值范围为90°<θ<180°,所以钝角一定是第二象限角,故D正确.故选D.

9.D　解法一:如图所示,作各个象限的角平分线,

标号Ⅲ所在的区域即为所在的区域,故选D.

解法二:由α是第三象限角得180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z,

∴90°+k· 180°<<135°+k·180°,k∈Z,

当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),则90°+n·360°<<135°+n·360°(n∈Z),∴所在的象限是第二象限;

当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则270°+n·360°<<315°+n·360°(n∈Z),

∴所在的象限是第四象限.

综上,所在的象限是第二或第四象限,故选D.

易错警示　对象限角的判断,要将“周期”化为360°再进行判断,当“周期”是360°的约数时,要对整数k进行分类讨论.

10.解析　(1)由k=4n,4n+1,4n+2,4n+3(n∈Z),知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.

(2)由-360°≤k·90°+45°<360°,得-≤k<.

又k∈Z,故k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.

所以给定的角的集合中,在-360°~360°范围内的角共有8个.

(3)给定的角的集合中,第三象限角为k·360°+225°,k∈Z.

11.解析　∵0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ<k·360°+270°,k∈Z,∴k=0,于是90°<θ<135°.

又∵14θ=n·360°(n∈Z),∴θ=,n∈Z,从而90°<<135°,n∈Z,

∴<n<,n∈Z,∴n=4或5.

当n=4时,θ=°;当n=5时,θ=°.