人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案

§4.2.1 指数函数的概念

导学目标：

通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．

（预习教材P111~ P115，回答下列问题）

情景问题1：传说古印度的宰相西萨发明了国际象棋，国王很喜欢这个游戏，决定奖赏他，表示可以满足他任何一个要求。宰相微笑着说出了他的要求：

在他的棋盘上摆满麦粒，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……每一小格的麦粒数量都是前一格的2倍，

直至所有格子都摆满。国王马上派人搬来麦粒开始摆放，

但很快他发现这个要求根本不可能满足，因为所有麦粒的总和是个天文数字。

那么到底需要多少粒小麦呢？

依题意可知：第1个格子内的麦粒数：，

第2个格子内的麦粒数：，

第64个格子内的麦粒数：，

可知：所有的麦粒的总和为，通过计算器可得，

这是一个20位数，一个天文数字。这个数字的小麦折算成重量，约为2587亿吨。即使现在，全世界小麦年产量也达不到这个数字。有人说，用80立方米的仓库存放这些小麦，把这些仓库连接起来，可以从地球一直延伸到太阳．

情景问题2：把一根米长的绳子从中间剪去一半，再把剩余的绳子从中间剪去一半， ，如此重复下去，请问第次剪去后，还剩多少米？

依题意可知：第1次剪去后剩余：，

第2次剪去后剩余：，

第100次剪去后剩余：．

思考：观察上面所得数据结构，我们能用函数来表示上面的问题吗？

（1）问题一可用来表示；

（2）问题二可用来表示．

【知识点一】指数函数的定义　

函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 .

自我检测1：为何规定且?

【知识点二】指数函数解析式（且）的结构特征　

指数函数解析式的3个特征：

① 底数为大于0且不等于的常数．

② 自变量的位置在指数上，且的系数是．

③ 的系数是．

自我检测2：下列各函数中，是指数函数的是(　　)

A．                 B．

C．                   D．

【知识点三】指数函数（且）的定义域与值域

指数函数（且）的定义域为         ；值域为          ．

自我检测3：函数的定义域为            ；值域为           ．

题型一　指数函数的定义

【例1-1】下列函数中指数函数的个数是：

　（1）    （2）  （3）   （4）  （5）

【例1-2】若函数为指数函数，则实数a的取值范围是________；

题型二 指数函数的解析式

【例2】已知指数函数，且，

求及，，的值．

题型三 指数型函数的应用

【例3】某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.

(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，

求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；

(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．

1．指数函数的图象经过点，那么f(4)f(2)＝  (　　)

A．8 B．16     

C．32       D．64

2．若函数是指数函数，则的值为________．

3．已知函数是指数函数，且，则________.

4．若镭经过100年后剩留量为原来的，设质量为1的镭经过年后剩留量为，则，的函数关系是 (　　)

A．     B．

C．     D．

5．某城市房价(均价)经过6年时间从元，增加到了元，

则这6年间平均每年的增长率是(　　)

A.                                B.   

C.                                  D. 元

§4.2 指数函数（第一课时）答案

导学目标：

通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．

（预习教材P111~ P115，回答下列问题）

情景问题1：传说古印度的宰相西萨发明了国际象棋，国王很喜欢这个游戏，决定奖赏他，表示可以满足他任何一个要求。宰相微笑着说出了他的要求：

在他的棋盘上摆满麦粒，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……每一小格的麦粒数量都是前一格的2倍，

直至所有格子都摆满。国王马上派人搬来麦粒开始摆放，

但很快他发现这个要求根本不可能满足，因为所有麦粒的总和是个天文数字。

那么到底需要多少粒小麦呢？

依题意可知：第1个格子内的麦粒数：，

第2个格子内的麦粒数：，

第64个格子内的麦粒数：，

可知：所有的麦粒的总和为，通过计算器可得，

这是一个20位数，一个天文数字。这个数字的小麦折算成重量，约为2587亿吨。即使现在，全世界小麦年产量也达不到这个数字。有人说，用80立方米的仓库存放这些小麦，把这些仓库连接起来，可以从地球一直延伸到太阳．

情景问题2：把一根米长的绳子从中间剪去一半，再把剩余的绳子从中间剪去一半， ，如此重复下去，请问第次剪去后，还剩多少米？

依题意可知：第1次剪去后剩余：，

第2次剪去后剩余：，

第100次剪去后剩余：．

思考：观察上面所得数据结构，我们能用函数来表示上面的问题吗？

（1）问题一可用来表示；

（2）问题二可用来表示．

【知识点一】指数函数的定义　

函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 .

自我检测1：为何规定且?

【答案】规定底数且的理由

(1)如果a＝0，则

(2)如果a<0，比如y＝(－2)x，这时对于x＝，，，，…在实数范围内函数值不存在．

(3)如果a＝1，那么y＝1x＝1是常量，对此就没有研究的必要．

【知识点二】指数函数解析式（且）的结构特征　

指数函数解析式的3个特征：

① 底数为大于0且不等于的常数．

② 自变量的位置在指数上，且的系数是．

③ 的系数是．

自我检测2：下列各函数中，是指数函数的是(　　)

A．                 B．

C．                   D．

【答案】D

【知识点三】指数函数（且）的定义域与值域

指数函数（且）的定义域为         ；值域为          ．

【答案】定义域为；值域为．

自我检测3：函数的定义域为            ；值域为           ．

【答案】定义域为；值域为．

题型一　指数函数的定义

【例1-1】下列函数中指数函数的个数是：

　（1）    （2）  （3）   （4）  （5）

【答案】（2）

【例1-2】若函数为指数函数，则实数a的取值范围是________；

【答案】且

题型二 指数函数的解析式

【例2】已知指数函数，且，

求及，，的值．

【答案】，，，．

题型三 指数型函数的应用

【例3】某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.

(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，

求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；

(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．

【答案】(1)现有木材蓄积量为200万立方米，

经过1年后木材蓄积量为：200＋200×5%＝200(1＋5%)．

经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.

∴经过x年后木材蓄积量为：200(1＋5%)x.

∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N*.

(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象见下图.

作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．

∵8＜x0＜9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．

1．指数函数的图象经过点，那么f(4)f(2)＝  (　　)

A．8 B．16     

C．32       D．64

【答案】D

2．若函数是指数函数，则的值为________．

【答案】

3．已知函数是指数函数，且，则________.

【答案】

4．若镭经过100年后剩留量为原来的，设质量为1的镭经过年后剩留量为，则，的函数关系是 (　　)

A．     B．

C．     D．

【答案】A

5．[指数增长类型]某城市房价(均价)经过6年时间从元

增加到了元，则这6年间平均每年的增长率是(　　)

A.                                B.   

C.                                  D. 元

【答案】B