人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第1课时导学案，共8页。学案主要包含了由根式的意义求范围，利用根式的性质化简或求值，有限制条件的根式的化简等内容，欢迎下载使用。

4．1.1 n次方根与分数指数幂
4．1.2 无理数指数幂及其运算性质
第1课时 n次方根
学习目标 1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值．
知识点一 n次方根，根式
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
3.根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
思考 根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
答案 当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为eq \r(n,a)，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±eq \r(n,a).
知识点二 根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0.
(3)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4)eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)．
(5)eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．
思考 根式化简开偶次方根时应注意什么问题？
答案 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
1．实数a的奇次方根只有一个．( √ )
2．当n∈N*时，(eq \r(n,－2))n＝－2.( × )
3．当a≥0时，eq \r(n,a)表示一个数．( √ )
4．当n为偶数，a≥0时，eq \r(n,a)≥0.( √ )
5.eq \r(n,an)＝(eq \r(n,a))n.( × )
一、由根式的意义求范围
例1 求使等式eq \r(a－3a2－9)＝(3－a)eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围．
解 eq \r(a－3a2－9)＝eq \r(a－32a＋3)
＝|a－3|eq \r(a＋3)，
要使|a－3|eq \r(a＋3)＝(3－a)eq \r(a＋3)成立，
需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3≤0，,a＋3≥0，))解得a∈[－3,3]．
反思感悟 对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点
(1)只有a≥0才有意义．
(2)只要eq \r(n,a)有意义，eq \r(n,a)必不为负．
跟踪训练1 若eq \r(3a－12)＝eq \r(3,1－3a3)，求实数a的取值范围．
解 eq \r(3a－12)＝|3a－1|，eq \r(3,1－3a3)＝1－3a.
因为|3a－1|＝1－3a，故3a－1≤0，所以a≤eq \f(1,3).
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简下列各式：
(1)eq \r(5,－25)＋(eq \r(5,－2))5；
(2)eq \r(6,－26)＋(eq \r(6,2))6；
(3)eq \r(4,x＋24).
解 (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))
反思感悟 正确区分eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n
(1)( eq \r(n,a))n已暗含了eq \r(n,a)有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．
(2)eq \r(n,an)中的a可以是全体实数，eq \r(n,an)的值取决于n的奇偶性．
跟踪训练2 化简下列各式：
(1)eq \r(7,－27)；
(2)eq \r(4,3a－34)(a≤1)；
(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4).
解 (1)eq \r(7,－27)＝－2.
(2)∵a≤1，∴eq \r(4,3a－34)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4)＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))
三、有限制条件的根式的化简
例3 已知－3解 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2，－3(教师)
延伸探究
本例中，若将“－3解 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思感悟 有限制条件根式的化简
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
跟踪训练3 已知－1解 原式＝eq \r(x－22)－eq \r(x＋12)＝|x－2|－|x＋1|.
因为－10，x－2<0，
所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.
1．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.eq \r(4,a2) B.eq \r(5,a)
C.eq \r(5,－a) D.eq \r(4,a)
答案 D
解析 当a<0时，a的偶次方根无意义．
2．已知m10＝2，则m等于( )
A.eq \r(10,2) B．－eq \r(10,2)
C.eq \r(210) D．±eq \r(10,2)
答案 D
解析 ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±eq \r(10,2).
3．当x<0时，x＋eq \r(4,x4)＋eq \f(\r(3,x3),x)＝________.
答案 1
解析 原式＝x＋|x|＋eq \f(x,x)＝x－x＋1＝1.
4．化简：eq \r(x＋32)－eq \r(3,x－33)＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6，x≥－3，,－2x，x<－3))
解析 原式＝|x＋3|－(x－3)，
当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.
5．若eq \r(x2－2x－32)＝－x2＋2x＋3，则实数x的取值范围是________．
答案 [－1,3]
解析 因为eq \r(x2－2x－32)＝|x2－2x－3|＝－x2＋2x＋3，
所以x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3.
1．知识清单：
(1)n次方根的概念、表示及性质．
(2)根式的性质．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：
(1)对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，a≥0.
(2)混淆(eq \r(n,a))n和eq \r(n,an).
1．(eq \r(4,2))4运算的结果是( )
A．2 B．－2 C．±2 D．不确定
答案 A
解析 因为(eq \r(n,a))n＝a，所以(eq \r(4,2))4＝2.
2．若eq \r(a－2)＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
答案 B
解析 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≥0，,a－4≠0，))∴a≥2且a≠4.
3．下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；
②eq \r(4,16)的运算结果是±2；
③当n为大于1的奇数时，eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义；
④当n为大于1的偶数时，eq \r(n,a)只有当a≥0时才有意义．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①16的4次方根应是±2；②eq \r(4,16)＝2，所以正确的应为③④.
4．若aA．4a－1 B．1－4a
C．－eq \r(4a－1) D．－eq \r(1－4a)
答案 B
解析 ∵a∴4a－1<0，
∴eq \r(4a－12)＝|4a－1|＝－(4a－1)＝1－4a.
5．(多选)若n∈N，a∈R，则下列各式中一定有意义的是( )
A.eq \r(4,－42n) B.eq \r(4,－42n＋1)
C.eq \r(5,a4) D.eq \r(4,a5)
答案 AC
解析 (－4)2n>0，故A有意义；
(－4)2n＋1<0，故B无意义；C显然有意义；
当a<0时，a5<0，此时eq \r(4,a5)无意义，故D不一定有意义．
6.eq \r(3,－8)的值是________．
答案 －2
解析 eq \r(3,－8)＝eq \r(3,－23)＝－2.
7．若x>3，则eq \r(x2－6x＋9)－|2－x|＝________.
答案 －1
解析 ∵x>3，∴eq \r(x2－6x＋9)－|2－x|＝eq \r(x－32)－|2－x|＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1.
8．化简：eq \r(a－b2)＋eq \r(5,a－b5)＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，a解析 eq \r(a－b2)＋eq \r(5,a－b5)＝|a－b|＋(a－b)
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，a9．化简：(1)eq \r(n,x－πn)(x<π，n∈N*)；
(2)eq \r(4a2－4a＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,2))).
解 (1)∵x<π，∴x－π<0，
当n为偶数时，eq \r(n,x－πn)＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，eq \r(n,x－πn)＝x－π.
综上，eq \r(n,x－πn)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(π－x，n为偶数，n∈N*，,x－π，n为奇数，n∈N*.))
(2)∵a≤eq \f(1,2)，∴2a－1≤0，
∴eq \r(4a2－4a＋1)＝eq \r(2a－12)＝|2a－1|＝1－2a.
10．已知－2解 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋22)＝|x－1|－|x＋2|，
∵－2原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1；
当1≤x<2时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3.
∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－1，－211．当eq \r(2－x)有意义时，化简eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)的结果是( )
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
答案 C
解析 因为eq \r(2－x)有意义，所以2－x≥0，即x≤2，
所以原式＝eq \r(x－22)－eq \r(x－32)＝|x－2|－|x－3|
＝(2－x)－(3－x)＝－1.
12．下列式子中成立的是( )
A．aeq \r(－a)＝eq \r(－a3) B．aeq \r(－a)＝－eq \r(a3)
C．aeq \r(－a)＝－eq \r(－a3) D．aeq \r(－a)＝eq \r(a3)
答案 C
解析 由题意知a<0，
故aeq \r(－a)＝－(－a)eq \r(－a)＝－eq \r(－a2－a)
＝－eq \r(－a3).
13.eq \r(\f(3－2\r(2),3＋2\r(2)))＝________.
答案 3－2eq \r(2)
解析 eq \r(\f(3－2\r(2),3＋2\r(2)))＝eq \r(\f(3－2\r(2)2,3＋2\r(2)3－2\r(2)))＝eq \r(3－2\r(2)2)＝3－2eq \r(2).
14．把aeq \r(－\f(1,a))根号外的a移到根号内等于________．
答案 －eq \r(－a)
解析 要使eq \r(－\f(1,a))有意义，需a<0.
∴aeq \r(－\f(1,a))＝－|a|eq \r(－\f(1,a))＝－eq \r(|a|2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a))))
＝－eq \r(－a).
15.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则eq \r(4,a－b4)的值为( )
A．a＋b
B．－(a＋b)
C．a－b
D．b－a
答案 D
解析 由题图知f(－1)＝a－b＋0.1<0，∴a－b<0.
∴eq \r(4,a－b4)＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.
16．计算：(1)eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(3,0.125)；
(2)eq \r(3,－83)＋eq \r(4,\r(3)－24)－eq \r(3,2－\r(3)3)；
(3)eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(3,4))－\r(\f(1,4))))3)·(eq \r(3)＋1)＋(eq \r(2 020)－eq \r(2 019))0.
解 (1)原式＝eq \r(\f(25,4))－eq \r(3,\f(27,8))＋eq \r(3,\f(1,8))＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
(2)原式＝－8＋|eq \r(3)－2|－(2－eq \r(3))
＝－8＋2－eq \r(3)－2＋eq \r(3)＝－8.
(3)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(3,4))－\r(\f(1,4))))·(eq \r(3)＋1)＋1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))·(eq \r(3)＋1)＋1
＝eq \f(1,2)(eq \r(3)－1)·(eq \r(3)＋1)＋1＝eq \f(1,2)(3－1)＋1
＝1＋1＝2.n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)