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人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆测试题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆测试题，共15页。试卷主要包含了下列说法正确的是，故选D等内容，欢迎下载使用。
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.已知椭圆方程为x216+y29=1,P为椭圆上任意一点, A、B为椭圆的焦点,则( )
A.|PA|+|PB|=16 B.|PA|+|PB|=8
C.|PA|-|PB|=16 D.|PA|-|PB|=8
2.设F1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( )
A.5 B.4 C.3 D.1
3.已知△ABC的顶点B,C在椭圆x23+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点F在BC上,则△ABC的周长是( )
A.23 B.6
C.43 D.12
4.下列说法正确的是( )
A.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
D.到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
5.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+4m(m>2),则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.不存在
6.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中)椭圆x29+y216=1的一个焦点坐标为( )
A.(5,0) B.(0,5)
C.(7,0) D.(0,7)
7.(2020北京西城高二上期末)设P是椭圆x225+y29=1上的点,且P到该椭圆左焦点的距离为2,则P到右焦点的距离为 .
题组二 椭圆的标准方程
8.(2019山东济南一中高二上期中)已知椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0)、F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20,则椭圆的标准方程为( )
A.y2100+x236=1 B.x2100+y236=1
C.x2400+y2336=1 D.x220+y212=1
9.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为( )
A.x24+y23=1 B.x24+y2=1
C.y24+x23=1 D.y24+x2=1
10.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P35,-4和Q-45,3,则此椭圆的标准方程是( )
A.y225+x2=1 B.x225+y2=1
C.x225+y2=1或y225+x2=1 D.以上都不对
11.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,当a=2b时,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,求椭圆的标准方程.
12.已知点M(4,0),N(1,0),若动点P满足MN·MP=6|NP|,求动点P的轨迹C的方程.
题组三 椭圆标准方程的应用
13.(2019黑龙江齐齐哈尔四校联盟高二上期中)已知m>0,则“m=3”是“椭圆x2m2+y25=1的焦距为4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2= .
15.已知椭圆M与椭圆N:x216+y212=1有相同的焦点,且椭圆M过点-1,255.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
16.已知椭圆C:x22+y2=1的两焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)满足0
17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=23,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且PF1·PF2≤14,求点P的横坐标的取值范围.
能力提升练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.(2020重庆一中高二上期中,)椭圆x225+y29=1上一点M到左焦点F1的距离是2,N是MF1的中点,O是坐标原点,则|ON|=( )
A.8 B.4 C.3 D.2
2.(2019北京海淀高二上学期期末,)已知点M是平面α内的动点,F1,F2是平面α内的两个定点,则“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2018海南文昌中学高二期末,)在平面直角坐标系Oxy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sinA+sinCsinB=( )
A.54 B.52
C.5 D.无法确定
4.(2020辽宁凌源联合校高二上期中,)已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为( 易错 )
A.x225+y29=1(y≠0) B.y225+x29=1(y≠0)
C.x216+y29=1(y≠0) D.y216+x29=1(y≠0)
5.()已知F是椭圆C:x29+y25=1的左焦点,P为C上一点,A1,43,则|PA|+|PF|的最小值为( )
A.103 B.113 C.4 D.133
题组二 椭圆的标准方程及其应用
6.(2020山东师大附中高二上期中,)已知椭圆kx2+2y2=2的一个焦点是(1,0),那么k=( )
A.-5 B.-1 C.1 D.5
7.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)“方程x29-m+y2m-5=1表示椭圆”的一个必要不充分条件是( )
A.m=7 B.7
A.|MF2|的最大值大于3
B.|MF1|·|MF2|的最大值为4
C.∠F1MF2的最大值为60°
D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A、B两点,P为l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为x22+2y23=1或x26+2y29=1
9.(2020山东淄博一中高二上期中,)一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .
10.(2020福建厦门二中高二上期中,)若从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段,则线段中点M的轨迹方程为 .
11.()已知椭圆x29+y24=1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当∠F1PF2为直角时,点P的横坐标是 .
12.()动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,92.
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;
(2)若轨迹E上的两点P,Q满足AP=5AQ,求|PQ|的值.
答案全解全析
基础过关练
1.B 由椭圆的方程x216+y29=1知,a2=16,即a=4,所以由椭圆的定义可知,|PA|+|PB|=2a=8,故选B.
2.B 由椭圆方程,得a=3,b=2,c=5.
∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=25,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为12·|PF1|·|PF2|=12×4×2=4.
3.C 由椭圆方程,知a=3.
由椭圆的定义,得|BF|+|BA|=|CF|+|CA|=2a=23,
所以|BC|+|BA|+|CA|=(|BF|+|CF|)+|BA|+|CA|=43,即△ABC的周长为43.
4.C A中,|F1F2|=8,故到点F1,F2的距离之和等于8的点的轨迹是线段F1F2;B中,到点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹不存在;C中,根据椭圆的定义,知该轨迹是椭圆;D中,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
5.A 设y=m+4m(m>2),易知y=m+4m在(2,+∞)上为增函数,所以y=m+4m>4,即|PF1|+|PF2|>4,又|F1F2|=4,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆.
6.D 易知椭圆x29+y216=1的焦点在y轴上.
由椭圆的定义知a=4,b=3,所以c=7,
所以椭圆x29+y216=1的焦点坐标是(0,±7).故选D.
7.答案 8
解析 由椭圆的定义知a=5,因为点P到左焦点的距离为2,所以点P到右焦点的距离为2×5-2=8.
8.B 由椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),可知椭圆的焦点在x轴上,且c=8.
由椭圆的定义可得2a=20,即a=10,
∴b=a2-c2=6,∴椭圆的标准方程是x2100+y236=1,故选B.
9.A 由椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0)可知,椭圆的焦点在x轴上,且c=1.
又点P(2,0)在椭圆上,∴a=2.
由a2=b2+c2可得,b=a2-c2=22-12=3,
∴椭圆的标准方程为x24+y23=1.
10.A 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则925m+16n=1,1625m+9n=1,解得m=1,n=125,
∴椭圆的标准方程为y225+x2=1.故选A.
11.解析 ∵a=2b,b2+c2=a2,∴c2=3b2.
又PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=12b2.
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,
∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,
∴b2=1,a2=4.
∴椭圆的标准方程为x24+y2=1.
12.解析 设P(x,y),则MN=(-3,0),MP=(x-4,y),NP=(x-1,y).
由题意可得-3(x-4)=6(x-1)2+y2,
化简得3x2+4y2=12,
即x24+y23=1,∴动点P的轨迹C的方程为x24+y23=1.
13.A 由题意知2c=4,∴c=2.
若焦点在x轴上,则c2=m2-5=4,
又m>0,∴m=3;
若焦点在y轴上,则c2=5-m2=4,
又m>0,∴m=1.
因此“m=3”是“椭圆x2m2+y25=1的焦距为4”的充分不必要条件,故选A.
14.答案 120°
解析 由椭圆的定义知a2=9,b2=2,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,即c=7,∴|F1F2|=27.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.
∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22×|PF1|×|PF2|=42+22-(27)22×4×2=-12,又0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.
15.解析 (1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0).
设椭圆M的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
则a2-b2=4,1a2+45b2=1,化简并整理得5b4+11b2-16=0,
解得b2=1或b2=-165(舍去),所以a2=5,故椭圆M的标准方程为x25+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为12×4×|y0|=1,所以y0=±12.
又x025+y02=1,所以x02=154,解得x0=±152,
所以满足条件的点P有4个,它们的坐标分别为152,12,-152,12,152,-12,-152,-12.
16.解析 由题意知,a2=2,b2=1,所以a=2,c2=a2-b2=1,所以c=1.因为0
∴2c=23,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3.
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设P(x,y)(x>0,y>0),∵c=3,
∴令F1(-3,0),F2(3,0),
则PF1=(-3-x,-y),PF2=(3-x,-y),
∴PF1·PF2=(-3-x,-y)·(3-x,-y)=x2+y2-3,
又x24+y2=1,即y2=1-x24,
∴PF1·PF2=x2+y2-3=x2+1-x24-3
=14(3x2-8)≤14,
解得-3≤x≤3,
∵x>0,∴0
能力提升练
1.B 设椭圆的右焦点为F2,连接MF2,NO,如图所示.
由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=10,
∵|MF1|=2,∴|MF2|=8,
又O是F1F2的中点,N是MF1的中点,
∴|ON|=12|MF2|=4,故选B.
2.C 若点M到点F1,F2的距离之和恰好为F1,F2两点之间的距离,则点M的轨迹不是椭圆,所以前者不能推出后者.由椭圆的定义知,椭圆上一点到两焦点的距离之和为常数2a,所以后者能推出前者.故“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的必要不充分条件,故选C.
3.A 由题意,知A、C为椭圆的左、右焦点,且|AC|=8,|AB|+|BC|=10,
所以sinA+sinCsinB=|BC|+|AB||AC|=108=54.
4.A 依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,设其标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b2=9.
又A、B、C三点不共线,∴点C不在x轴上,∴点C的轨迹方程为x225+y29=1(y≠0).故选A.
易错警示 本题隐含条件A、B、C三点不共线,因此在求轨迹方程时,要去掉x轴上的两点,防止漏掉y≠0导致错误.
5.D 由椭圆的方程可知,a=3,c=a2-b2=2.如图所示,设F2是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知,|PF|+|PF2|=2a=6,所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF2|=6-(|PF2|-|PA|),所以求|PA|+|PF|的最小值,也就是求|PF2|-|PA|的最大值.由图易知,当P,A,F2三点共线时,|PF2|-|PA|取得最大值,此时(|PF2|-|PA|)max=|AF2|=53,所以|PA|+|PF|的最小值为6-53=133.
6.C 由题意知,椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程可化为x22k+y2=1,∴a2=2k,b2=1,又c=1,∴2k-1=1,解得k=1,故选C.
7.C 方程x29-m+y2m-5=1表示椭圆的充要条件为9-m>0,m-5>0,9-m≠m-5,解得5
选项A中,|MF2|max=a+c=3,A错误;
选项B中,|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=4,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,B正确;
选项C中,当点M为短轴的端点时,∠F1MF2取得最大值,取M(0,3),则tan ∠F1MF22=33,∴∠F1MF22=30°,
∴∠F1MF2的最大值为60°,C正确;
选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y).
∵|PA|·|PB|=2,∴|x-x1|·|x+x1|=2,
∴|x2-x12|=2,即x2=x12+2或x2=x12-2.
又由题意知x124+y23=1,
∴x2-24+y23=1或x2+24+y23=1,
化简得x26+2y29=1或x22+2y23=1,D正确.
故选BCD.
9.答案 x29+y25=1
解析 圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=36,易知其半径为6.
如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),与定圆B的切点为C.
由图知,定圆的半径与动圆的半径之差等于两圆心的距离,即|BC|-|MC|=|BM|,又|BC|=6,所以|BM|+|CM|=6,因为|MA|=|MC|,所以|BM|+|MA|=6,所以由椭圆的定义知,M的轨迹是以B(-2,0),A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=3,c=2,b=a2-c2=5,所以所求圆心M的轨迹方程是x29+y25=1.
10.答案 4x2+y2=1
解析 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则x=x02,y=y0.因为P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,所以x02+y02=1.将x0=2x,y0=y代入方程x02+y02=1,得4x2+y2=1.所以点M的轨迹方程是4x2+y2=1.
11.答案 ±355
解析 由题意得a2=9,b2=4,所以c2=a2-b2=5,所以c=5.设P(x,y),令F1的坐标为(-5,0),F2的坐标为(5,0),
因为∠F1PF2=90°,所以在△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20,
即(x+5)2+y2+(x-5)2+y2=20,化简得x2+y2=5.又x29+y24=1,所以y2=41-x29,
所以x2+41-x29=5,解得x=±355.
所以点P的横坐标为±355.
12.解析 (1)如图,设动圆C的半径为R.
由题意得,定圆C1的半径为42,定圆C2的半径为22,则|CC1|=42-R,①
|CC2|=22+R,②
①+②,得|CC1|+|CC2|=62>6=|C1C2|.
由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为62的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为x218+y29=1(x<2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则AP=x1,y1-92,AQ=x2,y2-92.
由AP=5AQ可得,
x1,y1-92=5x2,y2-92,
所以x1=5x2,y1=5y2-92×5+92=5y2-18,③
由P,Q是轨迹E上的两点,得
x2218+y229=1(x2<2),④25x2218+(5y2-18)29=1(x2<2),⑤
由④⑤得y2=3,
将y2=3代入③,得y1=-3,
将y2=3代入④,得x2=0,所以x1=0,
所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.已知椭圆方程为x216+y29=1,P为椭圆上任意一点, A、B为椭圆的焦点,则( )
A.|PA|+|PB|=16 B.|PA|+|PB|=8
C.|PA|-|PB|=16 D.|PA|-|PB|=8
2.设F1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( )
A.5 B.4 C.3 D.1
3.已知△ABC的顶点B,C在椭圆x23+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点F在BC上,则△ABC的周长是( )
A.23 B.6
C.43 D.12
4.下列说法正确的是( )
A.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
D.到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
5.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+4m(m>2),则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.不存在
6.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中)椭圆x29+y216=1的一个焦点坐标为( )
A.(5,0) B.(0,5)
C.(7,0) D.(0,7)
7.(2020北京西城高二上期末)设P是椭圆x225+y29=1上的点,且P到该椭圆左焦点的距离为2,则P到右焦点的距离为 .
题组二 椭圆的标准方程
8.(2019山东济南一中高二上期中)已知椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0)、F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20,则椭圆的标准方程为( )
A.y2100+x236=1 B.x2100+y236=1
C.x2400+y2336=1 D.x220+y212=1
9.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为( )
A.x24+y23=1 B.x24+y2=1
C.y24+x23=1 D.y24+x2=1
10.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P35,-4和Q-45,3,则此椭圆的标准方程是( )
A.y225+x2=1 B.x225+y2=1
C.x225+y2=1或y225+x2=1 D.以上都不对
11.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,当a=2b时,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,求椭圆的标准方程.
12.已知点M(4,0),N(1,0),若动点P满足MN·MP=6|NP|,求动点P的轨迹C的方程.
题组三 椭圆标准方程的应用
13.(2019黑龙江齐齐哈尔四校联盟高二上期中)已知m>0,则“m=3”是“椭圆x2m2+y25=1的焦距为4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2= .
15.已知椭圆M与椭圆N:x216+y212=1有相同的焦点,且椭圆M过点-1,255.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
16.已知椭圆C:x22+y2=1的两焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)满足0
17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=23,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且PF1·PF2≤14,求点P的横坐标的取值范围.
能力提升练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.(2020重庆一中高二上期中,)椭圆x225+y29=1上一点M到左焦点F1的距离是2,N是MF1的中点,O是坐标原点,则|ON|=( )
A.8 B.4 C.3 D.2
2.(2019北京海淀高二上学期期末,)已知点M是平面α内的动点,F1,F2是平面α内的两个定点,则“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2018海南文昌中学高二期末,)在平面直角坐标系Oxy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sinA+sinCsinB=( )
A.54 B.52
C.5 D.无法确定
4.(2020辽宁凌源联合校高二上期中,)已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为( 易错 )
A.x225+y29=1(y≠0) B.y225+x29=1(y≠0)
C.x216+y29=1(y≠0) D.y216+x29=1(y≠0)
5.()已知F是椭圆C:x29+y25=1的左焦点,P为C上一点,A1,43,则|PA|+|PF|的最小值为( )
A.103 B.113 C.4 D.133
题组二 椭圆的标准方程及其应用
6.(2020山东师大附中高二上期中,)已知椭圆kx2+2y2=2的一个焦点是(1,0),那么k=( )
A.-5 B.-1 C.1 D.5
7.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)“方程x29-m+y2m-5=1表示椭圆”的一个必要不充分条件是( )
A.m=7 B.7
A.|MF2|的最大值大于3
B.|MF1|·|MF2|的最大值为4
C.∠F1MF2的最大值为60°
D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A、B两点,P为l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为x22+2y23=1或x26+2y29=1
9.(2020山东淄博一中高二上期中,)一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .
10.(2020福建厦门二中高二上期中,)若从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段,则线段中点M的轨迹方程为 .
11.()已知椭圆x29+y24=1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当∠F1PF2为直角时,点P的横坐标是 .
12.()动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,92.
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;
(2)若轨迹E上的两点P,Q满足AP=5AQ,求|PQ|的值.
答案全解全析
基础过关练
1.B 由椭圆的方程x216+y29=1知,a2=16,即a=4,所以由椭圆的定义可知,|PA|+|PB|=2a=8,故选B.
2.B 由椭圆方程,得a=3,b=2,c=5.
∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=25,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为12·|PF1|·|PF2|=12×4×2=4.
3.C 由椭圆方程,知a=3.
由椭圆的定义,得|BF|+|BA|=|CF|+|CA|=2a=23,
所以|BC|+|BA|+|CA|=(|BF|+|CF|)+|BA|+|CA|=43,即△ABC的周长为43.
4.C A中,|F1F2|=8,故到点F1,F2的距离之和等于8的点的轨迹是线段F1F2;B中,到点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹不存在;C中,根据椭圆的定义,知该轨迹是椭圆;D中,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
5.A 设y=m+4m(m>2),易知y=m+4m在(2,+∞)上为增函数,所以y=m+4m>4,即|PF1|+|PF2|>4,又|F1F2|=4,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆.
6.D 易知椭圆x29+y216=1的焦点在y轴上.
由椭圆的定义知a=4,b=3,所以c=7,
所以椭圆x29+y216=1的焦点坐标是(0,±7).故选D.
7.答案 8
解析 由椭圆的定义知a=5,因为点P到左焦点的距离为2,所以点P到右焦点的距离为2×5-2=8.
8.B 由椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),可知椭圆的焦点在x轴上,且c=8.
由椭圆的定义可得2a=20,即a=10,
∴b=a2-c2=6,∴椭圆的标准方程是x2100+y236=1,故选B.
9.A 由椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0)可知,椭圆的焦点在x轴上,且c=1.
又点P(2,0)在椭圆上,∴a=2.
由a2=b2+c2可得,b=a2-c2=22-12=3,
∴椭圆的标准方程为x24+y23=1.
10.A 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则925m+16n=1,1625m+9n=1,解得m=1,n=125,
∴椭圆的标准方程为y225+x2=1.故选A.
11.解析 ∵a=2b,b2+c2=a2,∴c2=3b2.
又PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=12b2.
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,
∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,
∴b2=1,a2=4.
∴椭圆的标准方程为x24+y2=1.
12.解析 设P(x,y),则MN=(-3,0),MP=(x-4,y),NP=(x-1,y).
由题意可得-3(x-4)=6(x-1)2+y2,
化简得3x2+4y2=12,
即x24+y23=1,∴动点P的轨迹C的方程为x24+y23=1.
13.A 由题意知2c=4,∴c=2.
若焦点在x轴上,则c2=m2-5=4,
又m>0,∴m=3;
若焦点在y轴上,则c2=5-m2=4,
又m>0,∴m=1.
因此“m=3”是“椭圆x2m2+y25=1的焦距为4”的充分不必要条件,故选A.
14.答案 120°
解析 由椭圆的定义知a2=9,b2=2,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,即c=7,∴|F1F2|=27.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.
∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22×|PF1|×|PF2|=42+22-(27)22×4×2=-12,又0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.
15.解析 (1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0).
设椭圆M的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
则a2-b2=4,1a2+45b2=1,化简并整理得5b4+11b2-16=0,
解得b2=1或b2=-165(舍去),所以a2=5,故椭圆M的标准方程为x25+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为12×4×|y0|=1,所以y0=±12.
又x025+y02=1,所以x02=154,解得x0=±152,
所以满足条件的点P有4个,它们的坐标分别为152,12,-152,12,152,-12,-152,-12.
16.解析 由题意知,a2=2,b2=1,所以a=2,c2=a2-b2=1,所以c=1.因为0
∴2c=23,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3.
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设P(x,y)(x>0,y>0),∵c=3,
∴令F1(-3,0),F2(3,0),
则PF1=(-3-x,-y),PF2=(3-x,-y),
∴PF1·PF2=(-3-x,-y)·(3-x,-y)=x2+y2-3,
又x24+y2=1,即y2=1-x24,
∴PF1·PF2=x2+y2-3=x2+1-x24-3
=14(3x2-8)≤14,
解得-3≤x≤3,
∵x>0,∴0
能力提升练
1.B 设椭圆的右焦点为F2,连接MF2,NO,如图所示.
由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=10,
∵|MF1|=2,∴|MF2|=8,
又O是F1F2的中点,N是MF1的中点,
∴|ON|=12|MF2|=4,故选B.
2.C 若点M到点F1,F2的距离之和恰好为F1,F2两点之间的距离,则点M的轨迹不是椭圆,所以前者不能推出后者.由椭圆的定义知,椭圆上一点到两焦点的距离之和为常数2a,所以后者能推出前者.故“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的必要不充分条件,故选C.
3.A 由题意,知A、C为椭圆的左、右焦点,且|AC|=8,|AB|+|BC|=10,
所以sinA+sinCsinB=|BC|+|AB||AC|=108=54.
4.A 依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,设其标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b2=9.
又A、B、C三点不共线,∴点C不在x轴上,∴点C的轨迹方程为x225+y29=1(y≠0).故选A.
易错警示 本题隐含条件A、B、C三点不共线,因此在求轨迹方程时,要去掉x轴上的两点,防止漏掉y≠0导致错误.
5.D 由椭圆的方程可知,a=3,c=a2-b2=2.如图所示,设F2是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知,|PF|+|PF2|=2a=6,所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF2|=6-(|PF2|-|PA|),所以求|PA|+|PF|的最小值,也就是求|PF2|-|PA|的最大值.由图易知,当P,A,F2三点共线时,|PF2|-|PA|取得最大值,此时(|PF2|-|PA|)max=|AF2|=53,所以|PA|+|PF|的最小值为6-53=133.
6.C 由题意知,椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程可化为x22k+y2=1,∴a2=2k,b2=1,又c=1,∴2k-1=1,解得k=1,故选C.
7.C 方程x29-m+y2m-5=1表示椭圆的充要条件为9-m>0,m-5>0,9-m≠m-5,解得5
选项A中,|MF2|max=a+c=3,A错误;
选项B中,|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=4,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,B正确;
选项C中,当点M为短轴的端点时,∠F1MF2取得最大值,取M(0,3),则tan ∠F1MF22=33,∴∠F1MF22=30°,
∴∠F1MF2的最大值为60°,C正确;
选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y).
∵|PA|·|PB|=2,∴|x-x1|·|x+x1|=2,
∴|x2-x12|=2,即x2=x12+2或x2=x12-2.
又由题意知x124+y23=1,
∴x2-24+y23=1或x2+24+y23=1,
化简得x26+2y29=1或x22+2y23=1,D正确.
故选BCD.
9.答案 x29+y25=1
解析 圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=36,易知其半径为6.
如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),与定圆B的切点为C.
由图知,定圆的半径与动圆的半径之差等于两圆心的距离,即|BC|-|MC|=|BM|,又|BC|=6,所以|BM|+|CM|=6,因为|MA|=|MC|,所以|BM|+|MA|=6,所以由椭圆的定义知,M的轨迹是以B(-2,0),A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=3,c=2,b=a2-c2=5,所以所求圆心M的轨迹方程是x29+y25=1.
10.答案 4x2+y2=1
解析 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则x=x02,y=y0.因为P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,所以x02+y02=1.将x0=2x,y0=y代入方程x02+y02=1,得4x2+y2=1.所以点M的轨迹方程是4x2+y2=1.
11.答案 ±355
解析 由题意得a2=9,b2=4,所以c2=a2-b2=5,所以c=5.设P(x,y),令F1的坐标为(-5,0),F2的坐标为(5,0),
因为∠F1PF2=90°,所以在△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20,
即(x+5)2+y2+(x-5)2+y2=20,化简得x2+y2=5.又x29+y24=1,所以y2=41-x29,
所以x2+41-x29=5,解得x=±355.
所以点P的横坐标为±355.
12.解析 (1)如图,设动圆C的半径为R.
由题意得,定圆C1的半径为42,定圆C2的半径为22,则|CC1|=42-R,①
|CC2|=22+R,②
①+②,得|CC1|+|CC2|=62>6=|C1C2|.
由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为62的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为x218+y29=1(x<2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则AP=x1,y1-92,AQ=x2,y2-92.
由AP=5AQ可得,
x1,y1-92=5x2,y2-92,
所以x1=5x2,y1=5y2-92×5+92=5y2-18,③
由P,Q是轨迹E上的两点,得
x2218+y229=1(x2<2),④25x2218+(5y2-18)29=1(x2<2),⑤
由④⑤得y2=3,
将y2=3代入③,得y1=-3,
将y2=3代入④,得x2=0,所以x1=0,
所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.
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