考点60 椭圆的标准方程-练习题

考点60椭圆的标准方程

一、单选题

1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是

A． B． C． D．

2．已知椭圆（）的左焦点为，则

A． B． C． D．

3．已知双曲线（b＞0）的焦点，则b=

A．3 B． C． D．

4．椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为

A． B．

C． D．

5．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件.

6．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A． B． C． D．

7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

8．已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为

A． B． C． D．

9．已知椭圆C：(a>b>0)，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形，则椭圆的方程是（     ）

A． B． C． D．

10．若椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为（    ）

A．＋＝1 B．＋y2＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

11．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（    ）

A．＋y2＝1 B．＋y2＝1

C．＋y2＝1或 D．以上答案都不正确

12．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q，则此椭圆的标准方程是（    ）

A．+x2=1 B．+y2=1

C．+y2=1或+x2=1 D．以上都不对

二、填空题

13．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________.

14．方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是____________．

15．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．

16．与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程为________．

参考答案

1．D

【详解】

试题分析：由题意可知椭圆焦点在轴上，因而椭圆方程设为，可知，可得，又，可得，所以椭圆方程为.

考点：椭圆的标准方程.

2．C

【详解】

试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C.

考点：椭圆的基本性质

3．C

【详解】

可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.

4．C

【详解】

椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，，所以椭圆的方程为，选C.

5．B

【详解】

充分性：当时，有、或者、两种情况.

若、，方程可化为，此时该曲线不是椭圆,故充分性不成立；

必要性：方程可化为，若此时该曲线为椭圆，则满足、，则有,故必要性成立，

故选B.

6．B

【分析】

由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.

【详解】

法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．

【点睛】

本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

7．D

【详解】

设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.

【学科网考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.

8．C

【分析】

利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆方程．

【详解】

椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，

于，，，可得，，

，解得，，

所以所求椭圆方程为：，故选C．

【点睛】

本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．

9．B

【分析】

根据过焦点垂直于长轴的弦长为1，得到，再根据焦点与短轴两端点构成等边三角形，得到，联立求解.

【详解】

因为过焦点垂直于长轴的弦长为1，

所以，

又因为焦点与短轴两端点构成等边三角形，

所以，

联立解得，

所以椭圆方程为，

故选：B

10．C

【分析】

由题意知，，写出椭圆方程即可.

【详解】

圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，

所以，

又焦点在轴上，

所以椭圆方程为.

故选：C

11．C

【分析】

由直线方程得直线与坐标轴的交点，分焦点在x轴上、焦点在y轴上讨论可得答案.

【详解】

由直线方程x－2y＋2＝0 得直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，

由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为.

故选：C.

12．A

【分析】

设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，代入已知点，解方程组可求得椭圆的标准方程.

【详解】

解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，则解得

∴椭圆的标准方程为+x2=1.

故选：A.

13．＋＝1

【分析】

根据题意求得a=3，两焦点恰好将长轴三等分，求得c=1，从而写出椭圆方程.

【详解】

椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，

∵两焦点恰好将长轴三等分，

∴2c＝·2a＝2，得c＝1，

∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，

∴此椭圆的标准方程为＋＝1.

故答案为：

14．；

【分析】

根据椭圆的标准方程求解．

【详解】

由题意且，解得．

故答案为：．

15．

【分析】

根据方程表示焦点在y轴上的椭圆列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

由于方程表示焦点在y轴上的椭圆，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

16．或

【分析】

分焦点在轴上两种情况，结合基本量间的关系计算求解即可

【详解】

方法一　∵，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为，则，从而，

又，∴m2＝8，n2＝6.

∴所求椭圆的标准方程为.

若焦点在y轴上，设椭圆的方程为，

则，且，解得

故所求椭圆的标准方程为

故答案为： 或