2020-2021学年第一章 三角函数2 任意角本节综合与测试免费练习题

第一章　三角函数

§1 周期变化　§2 任意角

基础过关练

题组一　周期现象与周期函数

1.(2020辽宁省实验中学高一上学期期末)2013年是我国的蛇年,那么到新中国成立100周年即2049年时是(　　)

A.龙年 B.蛇年 C.羊年 D.虎年

2.(2020广东汕头高一上学期期末)钟表分针的运动是一个周期现象,其周期为60分钟,现在分针恰好指在2点处,则100分钟后分针指在(　　)

A.8点处 B.10点处 C.11点处 D.12点处

3.(2020山东临沂质检)已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+5)=f(x),且当x∈(0,2)时,f(x)=2 021x2,则f(2 021)=　　　　. 

4.(2020浙江温州一中期中)已知奇函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(x+4),且f(1)=3,则f(2)+f(3)+f(4)=　　　　. 

5.(2020江西抚州临川二中月考)已知2020年5月1日是星期五,问2020年10月1日是星期几?

题组二　角的概念的推广

6.(2020山东济南历城二中期中)与-420°角终边相同的角是(　　)

A.-120° B.420° C.660° D.280°

7.(2020浙江杭州二中期中)与600°角终边相同的角可表示为(　　)

A.k·360°+220°(k∈Z) B.k·360°+240°(k∈Z)

C.k·360°+60°(k∈Z) D.k·360°+260°(k∈Z)

8.已知S={α|α=k·360°-175°,k∈Z},则集合S中落在-360°~360°间的角是(　　)

A.185° B.-175°

C.185°,-175° D.175°,-175°

9.从13:00到14:00,时针转过的角为　　　　,分针转过的角为　　　　. 

10.(2020贵州贵阳一中检测)在与角-2 013°终边相同的角中,求满足下列条件的β角.

(1)最小的正角;

(2)最大的负角;

(3)-720°≤β<720°.

11.(2020吉林延边二中期中)若角θ的终边与168°角的终边相同,求在0°~360°内与角的终边相同的角.

题组三　象限角与轴线角

12.(2020陕西西安铁一中高一上学期期中)若α=45°+k·180°(k∈Z),则α的终边在(　　)

A.第一或第三象限 B.第二或第三象限

C.第二或第四象限 D.第三或第四象限

13.(2020山西大同一中高一上期末)若α是第四象限角,则180°-α是(　　)

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

14.(2020天津南开中学高一上学期期末)已知点P(0,-1)在角α的终边上,则所有角α组成的集合S=　　　　. 

15.(2020山东青岛二中高一上学期期中)下列说法中正确的是　　　　.(填序号) 

①终边落在第一象限的角为锐角;

②锐角是第一象限的角;

③第二象限的角为钝角;

④小于90°的角一定为锐角;

⑤角α与角-α的终边关于x轴对称.

能力提升练

题组一　周期现象与周期函数

1.(2020江西九江一中高一上学期期中,)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)等于(　　)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

2.(2020河南郑州一中高一上学期期中,)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+1)+f(x)=3,当x∈[0,1]时,f(x)=2-x,则f(-2 021.5)=　　　　. 

3.(2020江西抚州临川一中高一上学期期末,)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,求f(f(5))的值.

题组二　终边相同的角

4.(2020重庆第八中学期中,)终边在直线y=-x上的所有角α的集合是(　　)

A.{α|α=k·360°+135°,k∈Z}

B.{α|α=k·360°-45°,k∈Z}

C.{α|α=k·180°+225°,k∈Z}

D.{α|α=k·180°-45°,k∈Z}

5.(2020湖北襄阳五中期末,)在直角坐标系中,若α与β的终边互相垂直,则α与β的关系为(　　)

A.β=α+90°

B.β=α±90°

C.β=α+90°-k·360°,k∈Z

D.β=α±90°+k·360°,k∈Z

6.(2020辽宁省实验中学期中,)如图,写出终边落在该直线上的角的集合.

7. (2020湖南长郡中学月考,)已知角α,β都是锐角,且角α+β的终边与-280°角的终边相同,角α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.

题组三　象限角与轴线角

8.(2020山西师范大学附中期中,)已知A={小于90°的角},B={第一象限角},则A∩B=(　　)

A.{锐角} B.{小于90°的角}

C.{第一象限角} D.以上都不对

9.(2020黑龙江哈尔滨三中高一上学期期中,)已知α为第三象限角,则的终边所在的象限是(　　)

A.第一或第二象限 B.第二或第三象限

C.第一或第三象限 D.第二或第四象限

10.(2020四川绵阳中学高一上学期期末,)已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.

11.(2020海南文昌中学高二上学期期末,)已知=k·360°+60°(k∈Z),求,并指出角的终边所在位置.

答案全解全析

第一章　三角函数

§1　周期变化

§2　任意角

基础过关练

1.B　十二生肖一轮回,即十二年一个周期,2 049-2 013=36,刚好三个周期,故2049年是蛇年.

2.B　一个周期是60分钟,则100分钟是1个周期,故100分钟后分针指在10点处.

3.答案　2 021

解析　由f(x+5)=f(x)知函数f(x)的周期为5,则f(2 021)=f(5×404+1)=f(1)=2 021.

4.答案　-3

解析　∵y=f(x)(x∈R)是奇函数,

∴f(0)=0.

又∵f(x)=f(x+4),∴f(4)=f(0)=0,f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-3,

又f(-2)=f(-2+4)=f(2),且f(-2)=-f(2),∴f(2)=0.故f(2)+f(3)+f(4)=-3.

5.解析　按照公历记法,2020年5、7、8月各31天,6、9月各30天.2020年5月1日到2020年10月1日共有153天,因为每个星期有7天,所以由153=22×7-1知,从2020年5月1日再过154天恰好与5月1日相同,都是星期五,这一天是2020年10月2日,故2020年10月1日是星期四.

6.C　与-420°角终边相同的角为n·360°-420°(n∈Z),

当n=3时,n·360°-420°=660°.

故选C.

7.B　与600°角终边相同的角可表示为k·360°+600°=k·360°+360°+240°=(k+1)·360°+240°,k∈Z.故选B.

8.C　当k=0时,α=-175°;当k=1时,α=185°.

9.答案　-30°;-360°

解析　经过1小时,时针顺时针旋转30°,分针顺时针旋转360°,结合负角的定义可知,时针转过的角为-30°,分针转过的角为-360°.

10.解析　(1)∵-2 013°=-6×360°+147°,

∴与角-2 013°终边相同的最小正角是147°.

(2)∵-2 013°=-5×360°+(-213°),

∴与角-2 013°终边相同的最大负角是-213°.

(3)∵-2 013°=-6×360°+147°,

∴与角-2 013°终边相同也就是与角147°终边相同.

由-720°≤k·360°+147°<720°,k∈Z,解得k=-2,-1,0,1,分别代入k·360°+147°得-573°,-213°,147°,507°.

11.解析　由题意得θ=k·360°+168°,k∈Z,所以=k·120°+56°,k∈Z.

令0°≤k·120°+56°<360°,得k=0,1,2,故0°~360°内与角的终边相同的角有56°,176°,296°.

12.A　当k=2n,n∈Z时,α=45°+n·360°(n∈Z),α在第一象限;当k=2n+1,n∈Z时,α=225°+n·360°(n∈Z),α在第三象限.

13.C　若α是第四象限角,则-α是第一象限角,180°-α是第三象限角,故选C.

14.答案　{α|α=270°+k·360°,k∈Z}

解析　由题意得点P在y轴的负半轴上,因为270°角的终边是y轴的负半轴,所以S={α|α=270°+k·360°,k∈Z}.

15.答案　②⑤

解析　终边落在第一象限的角不一定是锐角,如390°角,故①错;第二象限的角不一定为钝角,如480°角,故③错;小于90°的角不一定为锐角,如-30°角,故④错.正确的是②⑤.

能力提升练

1.A　∵函数f(x)的周期为5,∴f(x+5)=f(x),∴f(3)=f(-2+5)=f(-2).

又∵f(x)为奇函数,f(2)=2,

∴f(3)=f(-2)=-f(2)=-2,

同理f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,

∴f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1.

2.答案　1.5

解析　由f(x+1)+f(x)=3,

得f(x)+f(x-1)=3,

两式相减得f(x+1)=f(x-1),

所以f(x+2)=f(x),

所以函数f(x)是周期为2的周期函数,

所以f(-2 021.5)=f(-1.5)=f(-2+0.5)=f(0.5)=2-0.5=1.5.

3.解析　由已知得f(x+4)==f(x),

∴f(x)是周期为4的周期函数.

∴f(5)=f(1+4)=f(1)=-5,

∴f(f(5))=f(-5)=f(-1)

===-.

4.D　在-180°~180°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,135°和-45°,与这两个角的终边相同的角的集合分别为A={α|α=135°+k·360°,k∈Z},B={α|α=-45°+k·360°,k∈Z},所以终边落在y=-x上的角的集合为A∪B={α|α=-45°+(2k+1)·180°,k∈Z}∪{α|α=-45°+2k·180°,k∈Z}={α|α=-45°+n·180°,n∈Z}.故选D.

5.D　∵α与β的终边互相垂直,

∴β-α=±90°+k·360°,k∈Z,

∴β=α±90°+k·360°,k∈Z.

6.解析　(1)终边落在y=-x(x≥0)上的角的集合S1={α|α=300°+k·360°,k∈Z},

终边落在y=-x(x≤0)上的角的集合S2={α|α=120°+k·360°,k∈Z},

∴终边落在y=-x上的角的集合为

{α|α=300°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=120°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z}∪{α|α=120°+2k·180°,k∈Z}={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.

(2)由题意得,满足条件的角的集合

S={α|α=60°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=150°+k·180°,k∈Z}={α|α=60°+2k·90°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·90°,k∈Z}={α|α=60°+n·90°,n∈Z}.

7.解析　由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.

∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.

取k=1,得α+β=80°.①

α-β=670°+k·360°,k∈Z,

∵α,β都是锐角,

∴-90°<α-β<90°.

取k=-2,得α-β=-50°.②

由①②,得α=15°,β=65°.

8.D　小于90°的角由锐角、零角、负角组成,而第一象限的角包含锐角及其他终边在第一象限的角,所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成的集合,故选D.

9.D　由题意得,k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,得·360°+90°<<·360°+135°,k∈Z.

当k=2n,n∈Z时,n·360°+90°<<n·360°+135°,n∈Z,为第二象限角;

当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+270°<<n·360°+315°,n∈Z,为第四象限角.

故选D.

10.解析　在0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,∴所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.

11.解析　∵=k·360°+60°(k∈Z),

∴α=3k·360°+180°(k∈Z),

∴=3k·180°+90°(k∈Z).

当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,=3n·360°+90°(n∈Z),这时角的终边在y轴的非负半轴上;当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,=3n·360°+540°+90°=(3n+1)·360°+270°(n∈Z),这时角的终边在y轴的非正半轴上.故角的终边在y轴上.