高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识本节综合与测试免费练习

第一章　三角函数

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识

基础过关练

题组一　正弦函数的图象

1.(2019华南师范大学附中高一上期末)函数y=sin x(x∈R)的图象的一条对称轴是(　　)

A.x轴 B.y轴

C.直线y=x D.直线x=

2.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(　　)

A.重合 B.形状相同,位置不同

C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同

3.若点M在函数y=sin x的图象上,则m=(　　)

A.0 B.1 C.-1 D.2

4.(2019福建厦门双十中学高一上学期期末)函数y=1+sin x(x∈[0,2π])的大致图象是(　　)

题组二　利用正弦函数的图象解不等式

5.使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　)

A.

B.

C.

 D.

6.若x∈[0,2π],则不等式sin x<-的解集是(　　)

A.(0,π) B.

C. D.

7.已知函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是　. 

8.函数y=lg(1-2sin x)的定义域是　　　　　　　　. 

题组三　正弦函数的图象与其他曲线相交问题

9.函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2的交点的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

10.方程sin x=的根的个数是(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

11.已知函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π],若其图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围.

题组四　正弦函数的性质及应用

12.(2020湖南长沙四校联考)已知P={-1,0,},Q={y|y=sin θ,θ∈R},则P∩Q=(　　)

A.⌀ B.{0}

C.{-1,0} D.{-1,0,}

13.已知函数f(x)=-sin x,下列结论错误的是(　　)

A.函数f(x)的最小正周期为2π

B.函数f(x)在区间上是减函数

C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称

D.函数f(x)是奇函数

14.(2020湖南长沙雅礼中学高一上学期期末)函数y=sin2x+sin x-1的值域为(　　)

A.[-1,1] B.-,-1

C.-,1 D.-1,

15.函数y=sin x在区间上的值域为　　　　. 

16.判断下列每组中两个三角函数值的大小.

(1)sin(-3)与sin(-2);

(2)sin与sin;

(3)sin与cos.

题组五　余弦函数的图象及应用

17.用五点法作y=2cos x-1在[0,2π]的图象时,应取的五点为(　　)

A.(0,1),,(π,-1),,(2π,1)

B.(0,1),,(π,-3),,(2π,1)

C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)

D.(0,1),,,,

18.(2019东北师范大学附中高二上学期期末)函数f(x)=sinx+的图象的一条对称轴是(　　)

A.x=π B.x=

C.x= D.x=-

19.(2019江苏南通高二上学期期中)方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内(　　)

A.没有根 B.有且仅有一个根

C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根

20.(2020辽宁大连育明高中高二上学期期中)已知0≤x≤2π,试探索sin x与cos x的大小关系.

题组六　余弦函数的性质及应用

21.下列函数中,最小正周期为π的是(　　)

A.y=sin x B.y=cos x

C.y=sin 2x D.y=cosx

22.函数y=-cos x,x∈(0,2π)的单调性是(　　)

A.在(0,π]上是增函数,在[π,2π)上是减函数

B.在,上是增函数,在上是减函数

C.在[π,2π)上是增函数,在(0,π]上是减函数

D.在上是增函数,在,上是减函数

23.(2019湖南长郡中学高一上学期期末)函数y=的定义域是　　　　. 

24.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是　　　　. 

25.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是　　　　　　　　.(用“>”连接) 

26.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],求b-a的值.

能力提升练

题组一　正弦函数的图象与性质

1.(2020山东济南一中高一上期末,)若代数式有意义,则锐角θ的取值范围是(　　)

A.0, B.0, C., D.,

2.()函数y=(　　)

A.是奇函数

B.既是奇函数又是偶函数

C.是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

3.(2020安徽合肥一六八中学高一上期末,)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:

①f(x)是偶函数;②f(x)的最大值为2;③f(x)在[-π,π]上有4个零点;④f(x)在区间,π上单调递减.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③

4.(多选)()对于函数f(x)=ax3+bsin x+c(a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值去计算f(-1)和f(1)的值,所得出的正确结果可能是(深度解析)

A.2和6 B.3和9 C.4和11 D.5和13

5.(2020湖南长沙四校联考,)已知函数f(x)=ln+sin x,则关于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)<0的解集是　　　　. 

6. (2020陕西西安铁一中高一上期末,)已知函数f(x)=sin x+3|sin x|.

(1)用分段函数形式写出f(x)在x∈[0,2π]的解析式,并画出其图象;

(2)求f(x)(x∈R)的最小正周期及其单调递增区间.

题组二　余弦函数的图象与性质

7.(2020山东日照一中高一上期中,)已知函数f(x)=-2cos x(x∈R),则结论错误的是(　　)

A.函数f(x)的最小正周期为2π

B.函数f(x)在区间0,上是增函数

C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称

D.函数f(x)是奇函数

8.(2019黑龙江哈尔滨三中高一期末,)已知集合A=,B={α|0<α<π},且A∩B=C,则C=(　　)

A. B.

C. D.

9.()下列函数中,最小正周期为2π的是(　　)

A.y=cos B.y=cos 2x

C.y= D.y=|cos 2x|

10.(多选)(2020河北石家庄二中高一上期末,) 已知定义在区间[-π,π]上的函数f(x)=cos x-x2,则下列条件中能使f(x1)<f(x2)恒成立的有(　易错　)

A.-π≤x1<x2≤0 B.0≤x1<x2≤π

C.|x1|>|x2|           D.≤

题组三　正弦函数、余弦函数性质的应用

11.(2020江西赣州一中期末,)已知函数f(x)=,且f(x-2)+f(-x)-a>0,则a的取值范围为　　　　.f(x)的最大值与最小值的和为　　　　. 

12.(2020山西大学附属中学高二上期中,)设f(x)=-cos2x+acos x-+.

(1)用a表示f(x)的最大值M(a);

(2)当M(a)=2时,求a的值.

答案全解全析

§5　正弦函数、余弦函数的

图象与性质再认识

基础过关练

1.D 2.B 3.C 4.A 5.C

6.C 9.B 10.A 12.C 13.C

14.C 17.B 18.A 19.C 21.C

22.A    

1.D　由函数y=sin x(x∈R)的图象(图略)知直线x=π/2是函数y=sin x(x∈R)的图象的一条对称轴,故选D.

2.B　根据正弦曲线可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.

3.C　由题意知-m=sinπ/2,所以-m=1,所以m=-1.

4.A　根据五点法找出五个关键点,分别为(0,1), π/2,2 ,(π,1), 3π/2,0 ,(2π,1),依此五点判断可知A项符合.故选A.

5.C　不等式可化为sin x≤√2/2.作正弦曲线y=sin x及直线y=√2/2,如图所示.

由图知,不等式的解集为 x 2kπ-5π/4≤x≤2kπ+π/4,k∈Z .

6.C　画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如下.

因为sinπ/3=√3/2,

所以sin(2π"-"  π/3)=-√3/2,sin(π+π/3)=-√3/2.

所以在[0,2π]内,满足sin x=-√3/2的是x=4π/3和x=5π/3.

所以不等式sin x<-√3/2的解集是(4π/3 ","  5π/3).故选C.

7.答案　 ├ x├|"-"  3/2<x<0"或"  π/6+2kπ<x<5π/6+┤ ┤2kπ,k∈N

解析　在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象和直线y=1/2,如图所示,

由图可知不等式的解集为 x -3/2<x<0或π/6+2kπ<x<5π/6+2kπ,k∈N .

8.答案　{x├|2kπ+5π/6<x<2kπ+13π/6 "," k"∈" Z┤ }

解析　由题意可得,1-2sin x>0,即sin x<1/2,

在同一平面直角坐标系中画出函数y=sin x的图象和直线y=1/2(图略),可知5π/6+2kπ<x<13π/6+2kπ,k∈Z,

即函数y=lg(1-2sin x)的定义域为{x├|5π/6+2kπ<x<13π/6+2kπ"," k"∈" Z┤ }.

9.B　作出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象及直线y=2,如图所示,由图可知其与直线y=2只有1个交点.故选B.

10.A　在同一平面直角坐标系内画出函数y=x/10和y=sin x的图象,如图所示.

根据图象可知方程有7个实根.

11.解析　f(x)=sin x+2|sin x|={■(3sinx"," x"∈[" 0"," π"]," @"-" sinx"," x"∈(" π"," 2π"]." )┤

作出f(x)的图象和直线y=k,如图所示,

若使函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,根据图象可得k的取值范围是(1,3).

12.C　Q={y|y=sin θ,θ∈R}={y|-1≤y≤1},

∵P={-1,0,√2},∴P∩Q={-1,0}.

故选C.

13.C　结合函数f(x)=-sin x的图象(图略)可知, f(x)的图象关于原点对称,不关于直线x=0对称,故C中结论错误.

14.C　令t=sin x,t∈[-1,1],则y=t2+t-1= t+1/2 2-5/4,当t=-1/2时,y有最小值-5/4,当t=1时,y有最大值1,所以函数的值域为 -5/4,1 .故选C.

15.答案　("-"  √3/2 "," 1]

解析　由正弦函数的单调性知,函数y=sin x在区间("-"  π/3 ","  π/2]上是增函数,在区间(π/2 ","  2π/3)上是减函数,故当x=π/2 时,y 有最大值1;当x=-π/3时,y=-√3/2,当x=2π/3 时,y=√3/2,故函数的值域是("-"  √3/2 "," 1].

16.解析　(1)y=sin x在["-"  3π/2 ",-"  π/2]上是减函数,∵-3π/2<-3<-2<-π/2,

∴sin(-3)>sin(-2).

(2)sin("-"  15π/8)=sin("-" 2π+π/8)=sinπ/8,∵y=sin x在["-"  π/2 ","  π/2]上是增函数,且-π/2<-π/8<π/8<π/2,

∴sin("-"  π/8)<sinπ/8,

即sin("-"  15π/8)>sin("-"  π/8).

(3)sin("-"  31π/7)=sin("-" 6π+11π/7)=sin11π/7=-sin4π/7,cos37π/14=cos(2π+9π/14)=cos9π/14

=cos(3π/2 "-"  6π/7)=-sin6π/7,

∵y=sin x在[π/2 ","  3π/2]上是减函数,

且π/2<4π/7<6π/7<3π/2,

∴sin4π/7>sin6π/7,∴-sin4π/7<-sin6π/7,

∴sin("-"  31π/7)<cos37π/14.

17.B　当x=0时,y=1;当x=π/2时,y=-1;当x=π时,y=-3;当x=3π/2时,y=-1;当x=2π时,y=1.故选B.

18.A　f(x)=sin x+π/2 =cos x,∴直线x=π是f(x)=cos x的图象的一条对称轴,故选A.

19.C　分别作出函数y=|x|,y=cos x的图象(如图所示),由图可知这两个函数的图象有两个交点.即方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内有且仅有两个根.故选C.

20.解析　用“五点法”作出y=sin x,y=cos x(0≤x≤2π)的简图.

由图象可知,①当x=π/4或x=5π/4时,sin x=cos x;

②当π/4<x<5π/4时,sin x>cos x;

③当0≤x<π/4或5π/4<x≤2π时,sin x<cos x.

21.C　对于A,y=sin x的最小正周期为2π,不符合题意.

对于B,y=cos x的最小正周期为2π,不符合题意.

对于C,y=sin 2x,结合图象(图略)易知最小正周期为π,符合题意.

对于D,y=cos1/2x,结合图象(图略)易知最小正周期为4π,不符合题意.故选C.

22.A　函数y=-2/3cos x的单调递减区间是[π+2kπ,2π+2kπ](k∈Z),单调递增区间是[2kπ,π+2kπ](k∈Z).

∵x∈(0,2π),∴y=-2/3cos x在(0,π]上是增函数,在[π,2π)上是减函数.

23.答案　 2kπ-2π/3,2kπ+2π/3 (k∈Z)

解析　由题意得2cos x+1≥0,即cos x≥-1/2,所以2kπ-2π/3≤x≤2kπ+2π/3,k∈Z.

24.答案　(-π,0]

解析　因为y=cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有-π<a≤0时满足条件,故a∈(-π,0].

25.答案　cos 1>cos 2>cos 3

解析　因为0<1<2<3<π,且y=cos x在[0,π]上单调递减,所以cos 1>cos 2>cos 3.

26.解析　易知当π/3≤x≤π时,y=2cos x是减函数,因为当x=π/3时,y=2cosπ/3=1,当x=π时,y=2cos π=-2,所以-2≤y≤1,即函数y=2cos x的值域是[-2,1],所以b-a=1-(-2)=3.

能力提升练

1.C 2.D 3.A 4.ABD 7.D

8.C 9.C 10.AC  

1.C　由题意可得4sin2θ-1≥0,结合0<θ<π/2,即0<sin θ<1,解得1/2≤sin θ<1,所以θ的取值范围为 π/6,π/2 ,故选C.

2.D　由题意知,1-sin x≠0,所以函数的定义域为{x├|x≠2kπ+π/2 "," k"∈" Z┤ },由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.

3.A　因为函数的定义域为R,f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)是偶函数,①正确;如图,由函数图象,可知f(x)的最大值为2,②正确;由函数f(x)在[-π,π]上的图象,很容易知道f(x)有3个零点,所以③错误;因为当x∈ π/2,π 时,f(x)=2sin x,单调递减,所以④正确,故选A.

4.ABD 　设F(x)=f(x)-c=ax3+bsin x,

∵F(-x)=a(-x)3+bsin(-x)=-(ax3+bsin x)=-F(x),且x∈R,∴F(x)是奇函数.

∴F(-1)=-F(1).

又F(-1)=f(-1)-c,F(1)=f(1)-c,

因此f(-1)-c=-f(1)+c,

∴f(1)+f(-1)=2c.

由c∈Z知f(1)+f(-1)为偶数,

故A,B,D有可能正确,而4与11的和15为奇数,故C不可能正确,因此选ABD.

思路探究

研究自变量取一对相反数时的函数值的关系时,常利用函数的奇偶性.对于不具有奇偶性的函数,常根据解析式的特点构造新的具有奇偶性的函数.解本题时要注意对条件c∈Z的应用,防止漏用导致解题受阻.

5.答案　(√3,2)

解析　由(1+x)/(1"-" x)>0,得-1<x<1,故函数的定义域为(-1,1).

再根据函数满足f(-x)=ln(1"-" x)/(1+x)+sin(-x)=-ln(1+x)/(1"-" x)-sin x=-f(x),可得函数为奇函数,故关于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)<0,

即f(a-2)<-f(a2-4)=f(4-a2).

再由函数y=(1+x)/(1"-" x)=2/(1"-" x)-1,y=sin x在(-1,1)上都单调递增,可得函数f(x)在其定义域上单调递增,可得{■("-" 1<a"-" 2<1"," @"-" 1<a^2 "-" 4<1"," @a"-" 2<4"-" a^2 "," )┤

解得√3<a<2,

故答案为(√3,2).

6.解析　(1)当x∈[0,π]时,sin x≥0,|sin x|=sin x,则f(x)=4sin x;

当x∈(π,2π]时,sin x≤0,|sin x|=-sin x,则f(x)=-2sin x.

所以f(x)={■(4sinx"," x"∈[" 0"," π"]," @"-" 2sinx"," x"∈(" π"," 2π"]." )┤

其图象如图所示.

(2)由f(x+2π)=sin(x+2π)+3|sin(x+2π)|

=sin x+3|sin x|=f(x),可知2π为函数f(x)的一个周期,

结合图象可得2π为函数f(x)的最小正周期.

由图可得,x∈[0,2π]时,函数f(x)的递增区间为 0,π/2 , π,3π/2 ,

又f(x)的最小正周期为2π,故函数f(x)的递增区间为 kπ,π/2+kπ (k∈Z).

7.D　∵f(x)=-2cos x(x∈R)的图象是由函数f(x)=2cos x的图象沿x轴翻折而成的,∴A、B、C的结论均正确.函数f(x)是偶函数,所以D的结论是错误的.故选D.

8.C　∵A={α|cosα>1/2},B={α|0<α<π},

∴A∩B={α├|{■(cosα>1/2@0<α<π)┤ ┤ }= α 0<α<π/3 ,即C={α|0<α<π/3}.

9.C　作出y=cos x/2和y=cos 2x的图象(图略),可知y=cos x/2的最小正周期为4π,y=cos 2x的最小正周期为π,

从而y= cos x/2 与y=cos|2x|的最小正周期分别为2π和π/2,故选C.

10.AC　∵f(x)=cos x-x2,x∈[-π,π],

f(-x)=cos(-x)-(-x)2=cos x-x2=f(x),

∴f(x)是偶函数,易知f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减.

因此当-π≤x1<x2≤0,或0≤x2<x1≤π时,有f(x1)<f(x2).

∴A正确,B错误.

又f(x)是偶函数, f(x1)<f(x2),

∴|x1|>|x2|,x_1^2>x_2^2,

从而C正确,D错误.故选AC.

易错警示

偶函数在原点两侧对称的单调区间上的单调性相反,解题时要将自变量转化到同一单调区间内,防止错用单调区间造成错误.

11.答案　(-∞,2);2

解析　(1)由f(x)=

("[(" x+1")" +1"]" ^2+sin"(" x+1")" )/("(" x+1")" ^2+1),得

f(x-2)+f(-x)=

("[(" x"-" 2+1")" +1"]" ^2+sin"(" x"-" 2+1")" )/("(" x"-" 2+1")" ^2+1)+

("[(-" x+1")" +1"]" ^2+sin"(-" x+1")" )/("(-" x+1")" ^2+1)=

(2x^2 "-" 4x+4+sin"(" x"-" 1")" +sin"(-" x+1")" )/(x^2 "-" 2x+2)=2,

所以2-a>0,则a的取值范围为(-∞,2).

(2)解法一:由f(x-2)+f(-x)=2,知f(x)的图象关于点(-1,1)中心对称,

所以f(x)max+f(x)min=2.

解法二:由f(x)=(x^2+4x+4+sin"(" x+1")" )/(x^2+2x+2)=1+(2x+2+sin"(" x+1")" )/(x^2+2x+2),

记g(x)=(2x+2+sin"(" x+1")" )/(x^2+2x+2),则g(x-1)=(2x+sinx)/(x^2+1)在R上为奇函数,

所以g(x)max+g(x)min=g(x-1)max+g(x-1)min=0,

所以f(x)max+f(x)min=1+g(x)max+1+g(x)min=2.

12.解析　(1)f(x)=-cos2x+acos x-a/4+1/2

=- cos x-a/2 2+a^2/4-a/4+1/2,

∵0≤x≤π/2,∴0≤cos x≤1.

①当0≤a/2≤1,即0≤a≤2时,M(a)=a^2/4-a/4+1/2;

②当a/2>1,即a>2时,M(a)=f(0)=3/4a-1/2;

③当a/2<0,即a<0时,M(a)=f π/2 =-a/4+1/2.

∴M(a)={■(a^2/4 "-"  a/4+1/2 "," 0≤a≤2"," @3/4 a"-"  1/2 "," a>2"," @"-"  a/4+1/2 "," a<0"." )┤

(2)当a^2/4-a/4+1/2=2时,a=3或-2,均不符合题意;

当3/4a-1/2=2时,a=10/3;

当-a/4+1/2=2时,a=-6.

综上,a=10/3或a=-6.