2020-2021学年12.4 复数的三角形式练习题

12.4　复数的三角形式*

基础过关练

题组一　复数的三角形式

1.复数sin 45°-icos 45°的辐角主值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.45° B.135° C.225° D.315°

2.复数-i的三角形式是(　　)

A.cos+isin B.cos+isin

C.cos-isin D.cos+isin

3.将复数4化成代数形式,正确的是(　　)

A.4 B.-4

C.4i D.-4i

4.若复数z=(a+i)2的辐角主值是,则实数a的值是(　　)

A.1 B.-1 C.- D.-

5.复数z=-1+的辐角主值为　　　　.

6.若复数z满足=,arg=,则z的代数形式是z=　　　　.

题组二　复数三角形式的乘除运算

7.已知z1=,z2=2,则z1z2=(　　)

A.i B.2i

C.2i D.3i

8.4(cos π+isin π)÷=(　　)

A.1+i B.1-i

C.-1+i D.-1-i

9.(cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)=(　　)

A.+i B.-i

C.-+i D.--i

10.设复数z1=1+i,z2=+i,则的辐角主值是　　　　.

11.计算:

(1)8×4;

(2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)];

(3)4÷.

题组三　复数三角形式乘、除运算的几何意义

12.将复数1+i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转,得到的向量为,那么对应的复数是(　　)

A.-i B.+i

C.--i D.-+i

13.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转,所得到的向量对应的复数是　　　　.

14.把下列复数表示成三角形式,并画出与之对应的向量.

(1)6;(2)1+i;(3)1-i;(4)-+i.

15.在复平面内,把复数3-i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转,求所得向量对应的复数.

答案全解全析

12.4　复数的三角形式*

基础过关练

1.D　sin 45°-icos 45°=-i,

设复数的辐角主值为θ,

∵r==1,cos θ=,sin θ=-,0°≤θ<360°,

∴辐角主值是315°.

2.A　-i=cos+isin=cos+isin=cos+isin.

3.D　4=4[0+(-1)·i]=-4i.

4.B　∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai的辐角主值是.

∴

∴a=-1,故选B.

5.答案　

解析　因为=i,所以=i2 021=i,所以z=-1+i=,

所以复数z的辐角主值为.

6.答案　1+i

解析　设=z0,则|z0|=,arg z0=,

∴z0==+i,

∴=+i,解得z=1+i.

7.D　z1z2=×2cos+isin

=×2cos+isin

=3=3i.

8.C　4(cos π+isin π)÷2cos+isin

=2

=2=-1+i.

9.C　(cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)

=×2×3[cos(30°+60°+45°)+isin(30°+60°+45°)]

=3(cos 135°+isin 135°)

=3=-+i.

10.答案　

解析　由题意知,z1=2,z2=2,

所以的辐角主值为-=.

11.解析　(1)8×4

=32

=32

=32

=32=16+16i.

(2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)]

=[cos(225°-150°)+isin(225°-150°)]=(cos 75°+isin 75°)

==+i=+i.

(3)4÷

=4(cos 0+isin 0)÷

=4

=2-2i.

12.A　复数1+i的三角形式是2,则向量对应的复数是=2cos+isin=-i.

13.答案　1-i

解析　(1+i)

=cos+isin

=

==1-i.

14.解析　设复数的模为r,辐角主值为θ.

(1)6对应的向量如图①中,

∵r=6,cos θ=1,sin θ=0,又θ∈[0,2π),

∴θ=0,∴6=6(cos 0+isin 0).

图①

(2)1+i对应的向量如图②中,

∵r=,cos θ=,sin θ=,

又θ∈[0,2π),∴θ=,

∴1+i=.

图②

(3)1-i对应的向量如图③中,

∵r==2,cos θ=,sin θ=-,

又θ∈[0,2π),∴θ=,

∴1-i=2.

图③

(4)-+i对应的向量如图④中,

∵r=1,cos θ=-,sin θ=,

又θ∈[0,2π),

∴θ=,

∴-+i=cos+isin.

图④

15.解析　因为3-i=2

=2,

所以2cos+isin×cos+isin

=2cos

=2

=2=3+i,

2×cos+isin

=2

=2=-2i.

故把复数3-i对应的向量按逆时针旋转得到的向量对应的复数为3+i,按顺时针旋转得到的向量对应的复数为-2i.