2021学年12.4 复数的三角形式第1课时同步测试题

课后素养落实(二十一)　复数的加减与乘法运算

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝(　　)

A．  B．－  C．－  D．5

B　[(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，

所以

解得a＝，b＝－，

故有a＋b＝－.]

2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)

A．－2  B．4  C．3  D．－4

B　[z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]

3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)

A．5－4i　  B．5＋4i  C．3－4i　  D．3＋4i

D　[由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]

4．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)

A．5  B.  C．3  D.

A　[z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.]

5．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为(　　)

A．1  B．2  C.  D.

C　[由z＝－ai，a∈R，得z2＝－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.]

二、填空题

6．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.

－1＋10i　[∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，由复数相等定义，得x＝2且y＝8，

∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.]

7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________．

－2　[∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，

∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.

∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.]

8．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z·－z－1＝________.

－i　[∵z＝1＋i，∴＝1－i，

∴z·＝(1＋i)(1－i)＝2，

∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.]

三、解答题

9．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；

(2)(1＋i)．

[解]　(1)原式＝1－i2＋(－1)＋i＝1＋i.

(2)原式＝(1＋i)

＝(1＋i)

＝－－i＋i－

＝－＋i.

10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数．

[解]　z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，

由z2＋az＋b＝1－i，得

(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，

∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，

∴解得

则b＋ai＝4－3i，

则b＋ai的共轭复数是4＋3i.

11．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)

A．－1＋i  B．1－i  C．i  D．－i

A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.]

12．(多选题)若复数z＝(3－2i)i，则下列说法正确的有(　　)

A．z的实部是2

B．z的共轭复数＝2－3i

C．z＋＝6i

D．z·＝13

ABD　[∵z＝(3－2i)i＝3i＋2，

∴＝2－3i，

∴z＋＝4，z·＝13，故ABD均正确．]

13．已知－1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则复数z＝p＋qi(p，q∈R)等于________，z·＝________.

2＋2i　8　[(－1＋i)2＋p(－1＋i)＋q＝0，整理得(q－p)＋(p－2)i＝0，

∴∴p＝q＝2.

故z＝p＋qi＝2＋2i.

∴＝2－2i，

∴z·＝(2＋2i)(2－2i)＝8.]

14．已知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为________．

　[∵z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，

∴z1－z2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝＋i，

∴

①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，

即cos(α＋β)＝.]

15．是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，求z.

[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，

∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.

又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2.

∴b＝－1.

故z＝1－i.