高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式学案，共9页。学案主要包含了概念认知，自我小测，基础全面练，综合突破练，加固训练等内容，欢迎下载使用。


【概念认知】
1．辐角与辐角主值
(1)辐角：如图所示，以x轴的非负半轴为始边、向量 eq \(OZ,\s\up6(→)) 所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫做复数z＝a＋bi的辐角．
(2)辐角主值：任一非零的复数z＝a＋bi的辐角有无限个值，这些值相差2π的整数倍．我们把其中适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫做复数z＝a＋bi的辐角主值，记作argz，即0≤argz<2π.
2．复数的三角形式与代数形式
(1)三角形式：r(cs__θ＋isin__θ)称为复数z的三角形式．
(2)代数形式：a＋bi称为复数z的代数形式．
3．复数乘法的三角表示
已知z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，
则z1z2＝r1r2[cs__(θ1＋θ2)＋isin__(θ1＋θ2)]．这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和．
4．复数除法的三角表示
已知z1＝r1(cs θ1＋isin θ1), z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，
则 eq \f(z1,z2) ＝ eq \f(r1,r2) [cs__(θ1－θ2)＋isin__(θ1－θ2)]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
【自我小测】
1．下列各角不是复数3 eq \r(3) －3i的辐角的是( )
A．－ eq \f(π,6) B． eq \f(11π,6)
C．4π D． eq \f(35π,6)
【解析】选C.因为r＝ eq \r(（3\r(3)）2＋（－3）2) ＝6，cs θ＝ eq \f(\r(3),2) ，sin θ＝－ eq \f(1,2) ，
所以辐角主值θ＝ eq \f(11π,6) ，故可以作为复数3 eq \r(3) －3i的辐角的是 eq \f(11π,6) ＋2kπ，k∈Z.
所以当k＝－1时， eq \f(11π,6) ＋(－2π)＝－ eq \f(π,6) ；
当k＝0时， eq \f(11π,6) ＋0＝ eq \f(11π,6) ；
当k＝2时， eq \f(11π,6) ＋4π＝ eq \f(35π,6) .
2．已知i为虚数单位，z1＝ eq \r(2) (cs 60°＋isin 60°)，z2＝
2 eq \r(2) (sin 30°－ics 30°)，则z1·z2＝( )
A．4(cs 90°＋isin 90°) B．4(cs 30°＋isin 30°)
C．4(cs 30°－isin 30°) D．4(cs 0°＋isin 0°)
【解析】选D.因为z2＝2 eq \r(2) (sin 30°－ics 30°)＝2 eq \r(2) ·(cs 60°－isin 60°)＝2 eq \r(2) [cs (－60°)＋isin (－60°)]，所以z1·z2＝4(cs 0°＋isin 0°).
3．2÷2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 60°＋isin 60°)) ＝________．
【解析】2÷2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 60°＋isin 60°))
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 0°＋isin 0°)) ÷2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 60°＋isin 60°))
＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0°－60°)) ＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0°－60°))
＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－60°)) ＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－60°)) ＝ eq \f(1,2) － eq \f(\r(3),2) i.
答案： eq \f(1,2) － eq \f(\r(3),2) i
4．把复数－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3))) 表示成三角形式的结果是________．
【解析】因为－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3))) ＝－1－ eq \r(3) i
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i)) ，
所以r＝2，cs θ＝－ eq \f(1,2) ，sin θ＝－ eq \f(\r(3),2) ，
所以θ可以取 eq \f(4π,3) ，所以所求复数的三角形式为
2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(4π,3)＋isin \f(4π,3))) .
答案：2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(4π,3)＋isin \f(4π,3)))
5．复数 eq \f(1,cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)) 的代数形式是________．
【解析】 eq \f(1,cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)) ＝cs eq \f(π,3) －isin eq \f(π,3) ＝ eq \f(1,2) － eq \f(\r(3),2) i.
答案： eq \f(1,2) － eq \f(\r(3),2) i
6．计算下列各式．
(1) eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)＋isin \f(2π,3))) ×2 eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3))) ；
(2)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 75°＋isin 75°)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,2)i)) .
【解析】(1)原式＝ eq \r(2) ×2 eq \r(2) ×(cs π＋isin π)＝4×(－1＋0i)＝－4.
(2)原式＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 75°＋isin 75°)) × eq \f(\r(2),2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i))
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 75°＋isin 75°)) × eq \f(\r(2),2) [cs (－45°)＋isin(－45°)]
＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 30°＋isin 30°)) ＝ eq \r(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i)) ＝ eq \f(\r(6),2) ＋ eq \f(\r(2),2) i.
【基础全面练】
一、单选题
1．复数sin 45°－ics 45°的辐角主值是( )
A．45° B．135° C．225° D．315°
【解析】选D.因为r＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))2) ＝1，
cs θ＝ eq \f(\r(2),2) ，sin θ＝－ eq \f(\r(2),2) ，
所以辐角主值θ＝315°.
2．(2021·合肥高二检测)计算
eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 270°＋isin 270°)),\f(1,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－90°))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－90°))))) 的结果是( )
A．－9 B．9 C．－1 D．1
【解析】选B. eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 270°＋isin 270°)),\f(1,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－90°))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－90°)))))
＝9 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(270°＋90°))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(270°＋90°))))
＝9 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 360°＋isin 360°)) ＝9.
3．已知复数z1＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)＋isin \f(π,12))) ，z2＝cs eq \f(7π,12) ＋isin eq \f(7π,12) ，则z1·z2的模和辐角主值分别为( )
A．3， eq \f(2π,3) B．3， eq \f(7π,12)
C．1， eq \f(π,12) D．3， eq \f(π,3)
【解析】选A.z1·z2＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)＋isin \f(π,12))) ×
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,12)＋isin \f(7π,12))) ＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2,3)π＋isin \f(2,3)π)) ，
模为3，arg(z1·z2)＝ eq \f(2,3) π.
二、填空题
4．(2021·太原高二检测)把复数 eq \r(3) －i转化为三角形式(辐角取辐角主值)为________．
【解析】复数 eq \r(3) －i的模为2，设复数的辐角主值θ∈[0，2π)由复数的三角形式得
cs θ＝ eq \f(\r(3),2) ，sin θ＝－ eq \f(1,2) ，
所以θ＝ eq \f(11π,6) ，所以复数为2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11π,6)＋isin \f(11π,6))) .
答案：2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11π,6)＋isin \f(11π,6)))
5．(2021·潍坊高二检测)在复平面内，把与复数－i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z，则复数z是________．(用代数形式表示).
【解析】由题意得z＝(cs 45°＋isin 45°)×(－i)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－i)) ＝ eq \f(\r(2),2) － eq \f(\r(2),2) i.
答案：z＝ eq \f(\r(2),2) － eq \f(\r(2),2) i
三、解答题
6．复数的代数形式与三角形式互化．
(1)3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6))) ；
(2) eq \f(3,2) (cs π＋isin π)；
(3)－3－3i；
(4)－5＋5i.
【解析】(1)3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6))) ＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i)) ＝ eq \f(3\r(3),2) ＋ eq \f(3,2) i；
(2) eq \f(3,2) (cs π＋isin π)＝ eq \f(3,2) (－1＋0)＝－ eq \f(3,2) ；
(3)因为复数的模等于3 eq \r(2) ，辐角等于 eq \f(5π,4)
所以－3－3i＝3 eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i)) ＝
3 eq \r(2) (cs eq \f(5π,4) ＋isin eq \f(5π,4) )；
(4)因为复数的模等于5 eq \r(2) ，辐角等于 eq \f(3π,4) ，所以－5＋5i＝5 eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i)) ＝5 eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,4)＋isin \f(3π,4))) .
【综合突破练】
一、选择题
1．下列表示复数1＋i的三角形式中
① eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4))) ；
② eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin \f(π,4))) ；
③ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(9π,4)＋isin \f(9π,4))) ；
④ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(3π,4))) ；正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.因为r＝ eq \r(12＋12) ＝ eq \r(2) ，cs θ＝ eq \f(\r(2),2) ，sin θ＝ eq \f(\r(2),2) 所以辐角主值为 eq \f(π,4) ，所以1＋i＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4))) ＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(9π,4)＋isin \f(9π,4))) ，
故①③的表示是正确的，②④的表示不正确．
2．若复数z＝r(cs θ＋isin θ)(r＞0，θ＜R)，则把这种形式叫作复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角．若一个复数z的模为2，辐角为 eq \f(2π,3) ，则 eq \f(z,i) ＝( )
A．1＋ eq \r(3) i B．1－ eq \r(3) i
C． eq \r(3) －i D． eq \r(3) ＋i
【解析】选D.由复数z的模为2，辐角为 eq \f(2π,3) ，可得z＝
2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)＋isin \f(2π,3))) ＝－1＋ eq \r(3) i.
所以 eq \f(z,i) ＝ eq \f(－1＋\r(3)i,i) ＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\r(3)i))i,－1) ＝ eq \r(3) ＋i.
【加固训练】
(2021·郓城高二检测)已知复数z满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) ＝1，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z－4－3i)) 的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】选C.由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) ＝1可设：z＝cs θ＋isin θ，
所以z－4－3i＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ－4)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－3)) i，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z－4－3i)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ－4))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－3))2)
＝ eq \r(cs 2θ＋sin 2θ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6sin θ＋8cs θ))＋25)
＝ eq \r(26－10sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋φ))) (其中tan φ＝ eq \f(4,3) )，
所以当sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋φ)) ＝－1时 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z－4－3i)) max
＝ eq \r(26＋10) ＝6.
3．(2021·武汉高二检测)复数z＝cs eq \f(π,15) ＋isin eq \f(π,15) 是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于( )
A． eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(1,2) i B． eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(3),2) i
C． eq \f(\r(3),2) － eq \f(1,2) i D．－ eq \f(1,2) － eq \f(\r(3),2) i
【解析】选B.由题意得，α＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,15)＋isin \f(π,15))) 5＝cs eq \f(π,3) ＋isin eq \f(π,3) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(3),2) i.
4．(多选)已知复数z＝cs θ＋isin θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2))) (其中i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．|z|＝cs θ
C．z· eq \x\t(z) ＝1
D．z＋ eq \f(1,z) 为实数
【解析】选CD.复数z＝cs θ＋isin θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2))) (其中i为虚数单位)，cs θ>0，复数z在复平面上对应的点(cs θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A不正确；|z|＝ eq \r(cs2θ＋sin2θ) ＝1，所以B不正确；z· eq \x\t(z) ＝(csθ＋isin θ)(cs θ－isin θ)＝cs2θ＋sin2θ＝1，所以C正确；z＋ eq \f(1,z) ＝csθ＋isin θ＋ eq \f(1,cs θ＋isin θ) ＝cs θ＋isin θ＋cs (－θ)＋isin (－θ)＝2cs θ为实数，所以D正确．
【加固训练】
(1)将复数1＋ eq \r(3) i对应的向量 eq \(ON,\s\up6(→)) 绕原点按顺时针方向旋转 eq \f(π,2) ，得到的向量为1，那么1对应的复数是( )
A． eq \r(3) －i B． eq \r(3) ＋i C．－ eq \r(3) －i D．－ eq \r(3) ＋i
【解析】选A.复数1＋ eq \r(3) i的三角形式是
2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3))) ，向量1对应的复数是
eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋sin \f(π,3))),cs \f(π,2)＋isin \f(π,2)) ＝2 eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋)) eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6))))) ＝ eq \r(3) －i.
(2) eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 30°＋isin 30°)) ×2(cs 60°＋isin 60°)×3(cs 45°＋isin 45°)＝( )
A． eq \f(3\r(2),2) ＋ eq \f(3\r(2),2) i B． eq \f(3\r(2),2) － eq \f(3\r(2),2) i
C．－ eq \f(3\r(2),2) ＋ eq \f(3\r(2),2) i D．－ eq \f(3\r(2),2) － eq \f(3\r(2),2) i
【解析】选C. eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 30°＋isin 30°)) ×2(cs 60°＋isin 60°)×3(cs 45°＋isin 45°)＝ eq \f(1,2) ×2×3[cs (30°＋60°＋45°)＋isin (30°＋60°＋45°)]
＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 135°＋isin 135°)) ＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))
＝－ eq \f(3\r(2),2) ＋ eq \f(3\r(2),2) i.
二、填空题
5．设z＝1－2i对应的向量为 eq \(OZ,\s\up6(→)) ，将 eq \(OZ,\s\up6(→)) 绕原点按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数的虚部为________．
【解析】所得向量对应的复数为(1－2i)·[cs (－30°)＋isin (－30°)]＝(1－2i) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i)) ＝ eq \f(\r(3)－2,2) － eq \f(1＋2\r(3),2) i，故虚部为－ eq \f(1＋2\r(3),2) .
答案：－ eq \f(1＋2\r(3),2)
6．(2021·宁波高二检测)欧拉公式eix＝cs x＋isin x(i为虚数单位)把复指数函数与三角函数联系起来，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．请计算：eiπ＝________；猜想：ii________(填“是”或“不是”)虚数．
【解析】由欧拉公式可知eiπ＝cs π＋isin π＝－1，
因为＝cs eq \f(π,2) ＋isin eq \f(π,2) ＝i，
所以ii＝i＝＝为实数，不是虚数．
答案：－1 不是
【加固训练】
欧拉公式eix＝cs x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，对表示的复数z，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) 等于________； eq \f(z,1＋i) 等于________.
【解析】由欧拉公式eix＝cs x＋isin x，可得＝cs eq \f(2 019,4) π＋isin eq \f(2 019,4) π＝－ eq \f(\r(2),2) ＋ eq \f(\r(2),2) i，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2) ＝1，
eq \f(z,1＋i) ＝ eq \f(－\f(\r(2),2)（1－i）,1＋i) ＝ eq \f(\r(2),2) i.
答案：1 eq \f(\r(2),2) i
三、解答题
7．求复数z＝1＋cs θ＋isin θ(π<θ<2π)的模与辐角的主值．
【解析】z＝1＋cs θ＋isin θ＝2cs 2 eq \f(θ,2) ＋2i·sin eq \f(θ,2) cs eq \f(θ,2) ＝2cs eq \f(θ,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)＋isin \f(θ,2))) ①
因为 π<θ<2π，所以 eq \f(π,2) < eq \f(θ,2) <π，
所以cs eq \f(θ,2) <0，
所以①式＝－2cs eq \f(θ,2) (－cs eq \f(θ,2) －isin eq \f(θ,2) )
＝－2cs eq \f(θ,2) [cs (π＋ eq \f(θ,2) )＋isin (π＋ eq \f(θ,2) )]，
所以r＝－2cs eq \f(θ,2) ，因为 eq \f(π,2) < eq \f(θ,2) <π，
所以 eq \f(3,2) π<π＋ eq \f(θ,2) <2π，
所以arg z＝π＋ eq \f(θ,2) .
【加固训练】
如图，复平面内，△ABC是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为
(1，0)，(2，1)，求点C的坐标．
【解析】将原点O平移至A点，建立平面直角坐标系xAy′则|AB|＝ eq \r(2) ，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝1＋i＝
eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i)) ＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4))) ，将 eq \(AB,\s\up6(→)) 绕点A顺时针方向旋转 eq \f(π,3) 得 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4))) ·[cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))) ＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))) ]
＝ eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,3)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,3)))))
＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)－isin \f(π,12)))
＝ eq \r(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),4)－\f(\r(6)－\r(2),4)i)) ＝ eq \f(\r(3)＋1,2) ＋ eq \f(1－\r(3),2) i
所以在原平面直角坐标系xOy中，点C坐标为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)＋1，\f(1－\r(3),2))) ，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋3,2)，\f(1－\r(3),2))) .