苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式第1课时学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式第1课时学案，共3页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )
A．eq \f(7,5) B．－eq \f(11,5) C．－eq \f(18,5) D．5
B [(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3a－2b＝3，,b－a＝－5，))
解得a＝eq \f(7,5)，b＝－eq \f(18,5)，
故有a＋b＝－eq \f(11,5).]
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4 C．3 D．－4
B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i
D [由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]
4．已知复数z＝2－i，则z·eq \x\t(z)的值为( )
A．5 B.eq \r(5) C．3 D.eq \r(3)
A [z·eq \x\t(z)＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.]
5．复数z＝eq \f(\r(3),2)－ai，a∈R，且z2＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i，则a的值为( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
C [由z＝eq \f(\r(3),2)－ai，a∈R，得z2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)－2×eq \f(\r(3),2)×ai＋(ai)2＝eq \f(3,4)－a2－eq \r(3)ai，因为z2＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)－a2＝\f(1,2)，,－\r(3)a＝－\f(\r(3),2)，))解得a＝eq \f(1,2).]
二、填空题
6．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
－1＋10i [∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，由复数相等定义，得x＝2且y＝8，
∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.]
7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________．
－2 [∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.]
8．复数z＝1＋i，eq \x\t(z)为z的共轭复数，则z·eq \x\t(z)－z－1＝________.
－i [∵z＝1＋i，∴eq \x\t(z)＝1－i，
∴z·eq \x\t(z)＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴z·eq \x\t(z)－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.]
三、解答题
9．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)．
[解] (1)原式＝1－i2＋(－1)＋i＝1＋i.
(2)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)＋\f(\r(3),4)i2))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)－\f(1,4)))i))(1＋i)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)
＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(3),2)i＋eq \f(1,2)i－eq \f(1,2)
＝－eq \f(1＋\r(3),2)＋eq \f(1－\r(3),2)i.
10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数．
[解] z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，得
(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝1，,a＋2＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝4，))
则b＋ai＝4－3i，
则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
11．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i C．i D．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.]
12．(多选题)若复数z＝(3－2i)i，则下列说法正确的有( )
A．z的实部是2
B．z的共轭复数eq \x\t(z)＝2－3i
C．z＋eq \x\t(z)＝6i
D．z·eq \x\t(z)＝13
ABD [∵z＝(3－2i)i＝3i＋2，
∴eq \x\t(z)＝2－3i，
∴z＋eq \x\t(z)＝4，z·eq \x\t(z)＝13，故ABD均正确．]
13．已知－1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则复数z＝p＋qi(p，q∈R)等于________，z·eq \x\t(z)＝________.
2＋2i 8 [(－1＋i)2＋p(－1＋i)＋q＝0，整理得(q－p)＋(p－2)i＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q－p＝0，,p－2＝0，))∴p＝q＝2.
故z＝p＋qi＝2＋2i.
∴eq \x\t(z)＝2－2i，
∴z·eq \x\t(z)＝(2＋2i)(2－2i)＝8.]
14．已知z1＝cs α＋isin α，z2＝cs β－isin β且z1－z2＝eq \f(5,13)＋eq \f(12,13)i，则cs(α＋β)的值为________．
eq \f(1,2) [∵z1＝cs α＋isin α，z2＝cs β－isin β，
∴z1－z2＝(cs α－cs β)＋i(sin α＋sin β)＝eq \f(5,13)＋eq \f(12,13)i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α－cs β＝\f(5,13)，①,sin α＋sin β＝\f(12,13)，②))
①2＋②2得2－2cs(α＋β)＝1，
即cs(α＋β)＝eq \f(1,2).]
15．eq \x\t(z)是z的共轭复数．若z＋eq \x\t(z)＝2，(z－eq \x\t(z))i＝2(i为虚数单位)，求z.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，
∵z＋eq \x\t(z)＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－eq \x\t(z))i＝2bi2＝－2b＝2.
∴b＝－1.
故z＝1－i.