高中苏教版 (2019)第12章 复数12.4 复数的三角形式同步达标检测题

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一、复数的辅角
1、辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角.
2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。
二、复数的三角形式
定义：任何一个复数都可以表示成z=r(csθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。
二、复数的代数式与三角式互化
1、将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(csθ+isinθ)时，要注意以下两点：
（1）r=a2+b2，
（2）csθ=ar，sinθ=br，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
当a=0，b>0时，arg z=π2
2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
三、复数乘法运算的三角表示及其几何意义
1、复数乘法运算的三角表示：已知z1=r1(csθ1+isinθ1)，z2=r2(csθ2+isinθ2)，
则z1z1=r1r2[csθ1+θ2+isinθ1+θ2]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。
2、复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，
然后把向量OZ1绕O点按逆时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2），再把它的模变成原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2，这就是复数乘法的几何意义。
3、复数乘法运算三角表示推广：
z1z2…zn=r1csθ1+isinθ1∙r2csθ2+isinθ2∙…∙rncsθn+isinθn
=r1r2…rn[cs⁡(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]
特别的，当z1=z2=…=zn=r(csθ+isinθ)时，r(csθ+isinθ)n=rn(csnθ+isinnθ)
四、复数除法运算的三角表示及其几何意义
1、复数除法运算的三角表示：已知z1=r1(csθ1+isinθ1)，z2=r2(csθ2+isinθ2)
则z1z2=r1(csθ1+isinθ1)r2(csθ2+isinθ2)=r1r2csθ1−θ2+isinθ1−θ2
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.
2、两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按顺时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2），再把它的模变成原来的1r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是商z1z2，这就是复数除法的几何意义。
题型一 复数的代数式与三角式互化
【例1】（2022春·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
【变式1-1】（2022·全国·高一假期作业）（多选）以下不是复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】，所以B正确，
而，故C正确.故选：AD
【变式1-2】（2023·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题知，的三角形式是，
结合诱导公式知，，故选：B
【变式1-3】（2022·高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）不是三角形式，化为三角形式为；
（2）不是三角形式，化为三角形式为；
（3）不是三角形式，化为三角形式为；
（4）是三角形式.
【解析】（1）不是三角形式，，
其中，故三角形式为；
（2）不是三角形式，，
其中，故三角形式为；
（3）不是三角形式，，
，故三角形式为；
（4）是三角形式.
题型二 求复数的辅角主值
【例2】（2022春·广西钦州·高一校考期末）若复数（为虚数单位），则______.
【答案】
【解析】因为复数，其实部和虚部分别为，且在第二象限
故幅角的正切值，由于，则，故答案为：
【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设复数的辐角为，
则，所以，，
因为，所以当时，满足要求，
所以辐角主值为.故选：A
【变式2-2】（2022·全国·高一专题练习）若复数的辐角主值是，求实数a的值．
【答案】
【解析】，故且，解得.
【变式2-3】（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
因为，所以，所以，
所以该复数的辐角主值为．故选：B.
题型三 三角形式下复数的乘、除运算
【例3】（2022春·江西南昌·高一南昌县莲塘第一中学校考期中）复数(sin 10°＋ics 10°)(sin 10°＋ics 10°)的三角形式是（ ）
A．sin 30°＋ics 30° B．cs 160°＋isin 160°
C．cs 30°＋isin 30° D．sin 160°＋ics 160°
【答案】B
【解析】(sin10°＋ics10°)(sin10°＋ics10°)＝(cs80°＋isin80°)(cs80°＋isin80°)
＝cs160°＋isin160°．故选：B．
【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知复数，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，复数，
故选：A．
【变式3-2】（2023·高一课时练习）______．
【答案】
【解析】由，，
所以.
【变式3-3】（2022·高一课时练习）计算________．
【答案】
【解析】
故答案为：.
题型四 复数乘、除运算的几何意义
【例4】（2023·高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】复数的三角形式是,
向量对应的复数是，故选：A
【变式4-1】（2022·高一课时练习）如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．
【答案】
【解析】∵A，B所表示的复数分别是和2，所表示的复数为，
把逆时针旋转60°得到，
对应的复数为，
+，即点C对应的复数是．
故答案为：
【变式4-2】（2022春·高一课时练习）对应复数－1＋i，将按逆时针方向旋转120°后得到，求对应复数z．
【答案】
【解析】对应复数－1＋i的三角形式为，
由复数三角形式法则旋转后可得对应复数z为
.
【变式4-3】（2022·高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，
则，
，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B.