高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式优秀教案及反思

编号：023     课题:§12.2.2  复数的乘除运算

目标要求

1、理解并掌握复数乘除法的运算法则及运算律．

2、理解并掌握复数的乘、除法运算．

3、理解并掌握利用复数的乘、除法的综合应用．

4、理解并掌握复数乘、除法运算与其他知识的结合.

学科素养目标

复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.

重点难点

重点：利用复数的乘、除法的综合应用；

难点：复数乘、除法运算与其他知识的结合．

教学过程

基础知识点

1.复数乘法的运算法则和运算律

(1)复数乘法的运算法则

设是任意两个复数,

则.

(2)复数乘法的运算律

对任意复数,有

(3)复数的乘方

复数的乘方是相同复数的积,即对任何及,则有:.

【思考】

复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系?

2.复数除法的运算法则

(1)共轭复数的概念

如果两个复数满足实部________,虚部互为___________,那么称这两个复数为共轭复数,z的共轭复数用_________表示.即z=a+bi,则.

(2)复数除法运算法则

设,

则.

(3)本质:复数的除法,其实质是分母实数化,即把分子和分母同乘以分母的共轭复数.

(4)应用:共轭复数的主要应用是将复数的除法化为乘法运算,也可以单独命题考查.

【思考】

两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚数吗?

3.的周期性

计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方, 有如下性质: ,从而对于任何,有,同理可证.上述公式中,说明具有周期性,且最小正周期是4,n可以推广到整数集.

注意:是的周期,显然,因为具有周期性,解题时要灵活运用或适当变形,创造条件转化为i的计算,一般地,有.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.

B. 若,且,则.

C. 复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,后加减.

D. 两个复数均为实数时，可以比较大小.

题2.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是________.

题3. (2-i)÷i=________.

关键能力·合作学习

 类型一 复数的乘法运算(数学运算)

【题组训练】

题4.已知复数z=2+i,则        (      )

A.         B.         C.3             D.5

题5.     (      )

A.          B.         C.          D.

题6.已知复数(a+3i)(1+2i)是纯虚数,则实数a的值为________.

【解题策略】

复数乘法运算法则的应用

(1)复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行运算,注意选用合适的乘法公式进行简便运算.

(2)常用公式:

.，.

【补偿训练】

题7.计算:

(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);

(2)(3+4i)(3-4i).

类型二 复数的除法运算(数学运算)

【典例】题8.已知复数

(1)求z的共轭复数;

(2)若az+b=1-i,求实数a,b的值.

【解题策略】

两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)首先将除式写成分式;

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数;

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.

【跟踪训练】

题9.计算下列各式:

(1)；

(2).

【拓展延伸】

的性质

由方程,得,取,则具有如下关系:

(1)；

(2);

(3) 或；

(4)且；  

(5)；

(6).

同样地,具有周期性,解题时灵活运算,适当变形,巧用的性质,从而达到事半功倍的效果.

【拓展训练】题10.已知(i为虚数单位),求:

(1) ； (2)；  

(3)类比i(),探讨(为虚数)的性质,求的值.

类型三 复数乘、除运算的综合应用(数学运算、逻辑推理)  

 角度1 i的乘方的周期性及应用

【典例】题11.计算________.

【变式探究】

题12.计算.

 角度2 共轭复数的应用

【典例】题13.已知为z的共轭复数,若,求z.

【解题策略】

     共轭复数的求解与应用

(1)若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出,再进行复数的四则运算.

(2)若已知关于z和的方程,而复数z的代数形式未知,求z,解此类题的常规思路为设,则,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程(组)求解.

【题组训练】

题14.复数,则的值为           (      )

A.1             B.-1             C.i             D.-i

题15.设z=i(2+i),则      (     )

A.1+2i         B.-1+2i         C.1-2i         D.-1-2i

题16.计算(i是虚数单位).

备选类型 复数乘、除运算与其他知识的结合(数学运算、逻辑推理)

【典例】题17.已知复数z=1-2i(i为虚数单位).

(1)若,求复数的共轭复数;

(2)若z是关于x的方程一个虚根,求实数m的值.

【解题策略】

利用复数的乘除运算求解与复数概念相关问题的技巧

复数乘除运算可以结合方程、集合等知识综合考查,其关键就是复数的运算.利用复数的乘除运算求解与复数概念相关问题,比如复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即的形式,再根据题意求解.

【跟踪训练】

题18.若,则的所有取值构成的集合为______.

课堂检测·素养达标

题19.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=          (      )

A.-3+i      B.-1+3i             C.-3+3i      D.-1+i

题20.复数(i为虚数单位)的共轭复数是         （     ）

A.1+i          B.1-i              C.-1+i          D.-1-i

题21.已知i为虚数单位,若复数,z的共轭复数为,则    (      )

A.1             B.-1         C.             D.

题22.定义运算,则符合条件的复数z=________.

题23.已知复数.求:(1);(2);(3).

编号：023     课题:§12.2.2  复数的乘除运算

目标要求

1、理解并掌握复数乘除法的运算法则及运算律．

2、理解并掌握复数的乘、除法运算．

3、理解并掌握利用复数的乘、除法的综合应用．

4、理解并掌握复数乘、除法运算与其他知识的结合.

学科素养目标

复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.

重点难点

重点：利用复数的乘、除法的综合应用；

难点：复数乘、除法运算与其他知识的结合．

教学过程

基础知识点

1.复数乘法的运算法则和运算律

(1)复数乘法的运算法则

设是任意两个复数,

则.

(2)复数乘法的运算律

对任意复数,有

(3)复数的乘方

复数的乘方是相同复数的积,即对任何及,则有:.

【思考】

复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系?

提示:复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似,只要在所得的结果中把换成-1,并且把实部和虚部分别合并即可.

2.复数除法的运算法则

(1)共轭复数的概念

如果两个复数满足实部__相等___,虚部互为___相反数____,那么称这两个复数为共轭复数,z的共轭复数用__表示.即z=a+bi,则.

(2)复数除法运算法则

设,

则.

(3)本质:复数的除法,其实质是分母实数化,即把分子和分母同乘以分母的共轭复数.

(4)应用:共轭复数的主要应用是将复数的除法化为乘法运算,也可以单独命题考查.

【思考】

两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚数吗?

提示:若,则,则.因此,和一定是实数;而.当b=0时,两共轭复数的差是实数,而当b≠0时,两共轭复数的差是纯虚数.

3.的周期性

计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方, 有如下性质: ,从而对于任何,有,同理可证.上述公式中,说明具有周期性,且最小正周期是4,n可以推广到整数集.

注意:是的周期,显然,因为具有周期性,解题时要灵活运用或适当变形,创造条件转化为i的计算,一般地,有.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.

B. 若,且,则.

C. 复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,后加减.

D. 两个复数均为实数时，可以比较大小.

【答案】选CD

提示:A×.两个复数为共轭复数,则它们的模相等;但是两个复数的模相等,复

数不一定是共轭复数,如.

B×.例如当时, ,但.

C√.复数的运算法则和实数一样,都是先乘除,后加减.

D√.只有当两个复数均为实数时，才能比较大小.

题2.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是________.

【解析】z=(1+i)(2-i) =3+i,则实部为3.

答案:3

题3. (2-i)÷i=________.

【解析】.

答案:-1-2i

关键能力·合作学习

 类型一 复数的乘法运算(数学运算)

【题组训练】

题4.已知复数z=2+i,则        (      )

A.         B.         C.3             D.5

【解析】选D..

题5.     (      )

A.          B.         C.          D.

【解析】选B.

.

题6.已知复数(a+3i)(1+2i)是纯虚数,则实数a的值为________.

【解析】复数(a+3i)(1+2i)=a-6+(3+2a)i是纯虚数,则a-6=0,3+2a≠0,解得a=6.

答案:6

【解题策略】

复数乘法运算法则的应用

(1)复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行运算,注意选用合适的乘法公式进行简便运算.

(2)常用公式:

.，.

【补偿训练】

题7.计算:

(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);

(2)(3+4i)(3-4i).

【解析】(1)(1-2i)(3+4i)( -2+i)=(11-2i)( -2+i)=-20+15i.

(2)(3+4i)(3-4i)==9-(-16)=25.

类型二 复数的除法运算(数学运算)

【典例】题8.已知复数

(1)求z的共轭复数;

(2)若az+b=1-i,求实数a,b的值.

【解题策略】

两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)首先将除式写成分式;

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数;

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.

【跟踪训练】

题9.计算下列各式:

(1)；

(2).

【解析】(1)；

(2)

【拓展延伸】

的性质

由方程,得,取,则具有如下关系:

(1)；

(2);

(3) 或；

(4)且；  

(5)；

(6).

同样地,具有周期性,解题时灵活运算,适当变形,巧用的性质,从而达到事半功倍的效果.

【拓展训练】题10.已知(i为虚数单位),求:

(1) ； (2)；  

(3)类比i(),探讨(为虚数)的性质,求的值.

【解析】(1)因为,所以,

所以.

(2) .

(3)由(1)可知,所以.

类型三 复数乘、除运算的综合应用(数学运算、逻辑推理)  

 角度1 i的乘方的周期性及应用

【典例】题11.计算________.

【思路导引】先利用复数的运算计算的值,再根据周期性,计算的值.

【解析】 因为,

所以,所以,

所以

                      .

答案:

【变式探究】

题12.计算.

【解析】

        .

 角度2 共轭复数的应用

【典例】题13.已知为z的共轭复数,若,求z.

【思路导引】设,则;代入所给等式,利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.

【解析】设,则,

由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即,

则有解得或 所以z=-1或z=-1+3i.

【解题策略】

     共轭复数的求解与应用

(1)若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出,再进行复数的四则运算.

(2)若已知关于z和的方程,而复数z的代数形式未知,求z,解此类题的常规思路为设,则,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程(组)求解.

【题组训练】

题14.复数,则的值为           (      )

A.1             B.-1             C.i             D.-i

【解析】选B.,所以.

题15.设z=i(2+i),则      (     )

A.1+2i         B.-1+2i         C.1-2i         D.-1-2i

【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,得.

题16.计算(i是虚数单位).

【解析】.

备选类型 复数乘、除运算与其他知识的结合(数学运算、逻辑推理)

【典例】题17.已知复数z=1-2i(i为虚数单位).

(1)若,求复数的共轭复数;

(2)若z是关于x的方程一个虚根,求实数m的值.

【思路导引】(1)因为,所以,求出,即可得到的共轭复数;

(2)将z=1-2i代入方程,根据复数相等可求出实数m的值.

【解析】(1)因为,所以，

所以复数的共轭复数为2-i.

(2)因为z是关于x的方程的一个虚根,所以(1－2i)2-m(1－2i)+5=0，

即(2-m)+(2m-4)i=0.又因为m是实数,所以m=2.

【解题策略】

利用复数的乘除运算求解与复数概念相关问题的技巧

复数乘除运算可以结合方程、集合等知识综合考查,其关键就是复数的运算.利用复数的乘除运算求解与复数概念相关问题,比如复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即的形式,再根据题意求解.

【跟踪训练】

题18.若,则的所有取值构成的集合为______.

【解析】因为，

所以当n=1,3时f(n)=0;当n=2时,f(2)=i2[1+(-1)2]=-2;当n=4时,f(4)=i4[1+(-1)4]=2;

故f(n)的所有取值构成的集合为{-2,0,2}.

答案:{-2,0,2}

课堂检测·素养达标

题19.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=          (      )

A.-3+i      B.-1+3i             C.-3+3i      D.-1+i

【解析】选B.按照复数乘法运算法则,直接运算即可.(-1+i)(2-i)=-1+3i.

题20.复数(i为虚数单位)的共轭复数是         （     ）

A.1+i          B.1-i              C.-1+i          D.-1-i

【解析】选B.化简可得,所以z的共轭复数为1-i.

题21.已知i为虚数单位,若复数,z的共轭复数为,则    (      )

A.1             B.-1         C.             D.

【解析】选A.依题意,得，所以,所以.

题22.定义运算,则符合条件的复数z=________.

【解析】根据题中条件可有,分子分母上下同时乘以(2i-1)

得,所以化简为.

答案:

题23.已知复数.求:(1);(2);(3).

【解析】.

(1) .

(2) .

(3).