2021学年4.2.5 正态分布同步测试题

4.2.5　正态分布

基础过关练

题组一　正态曲线及其特点

1.如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是(　　)

A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3

C.σ1>σ2>σ3>0 D.0<σ1<σ2=1<σ3

2.(2019四川眉山一中高二上学期期中)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态曲线如图所示,则下列说法错误的是(　　)

A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.99

3.已知随机变量X~N(μ,σ2),且正态分布密度函数在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,P(72≤X≤88)≈68.3%.

(1)求参数μ,σ的值;

(2)求P(64≤X<72).

题组二　正态分布的概率计算

4.(2019四川成都第七中学高三一诊)若随机变量X~N(3,σ2),且P(X≥5)=0.2,则P(1<X<5)=(　　)

A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3

5.设随机变量X~N(1,52),且P(X≤0)=P(X≥a-2),则实数a的值为(　　)

A.10 B.8 C.6 D.4

6.若随机变量ξ~N(0,1),且ξ在区间(-3,-1)和(1,3)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的大小关系为(　　)

A.p1>p2 B.p1=p2

C.p1<p2 D.不确定

7.随机变量ξ~N(μ,σ2),若P(μ-2≤ξ≤μ)=0.241,则P(ξ>μ+2)=　　　　. 

题组三　正态分布的实际应用

8.(2020山东济南高二下学期期末)某工厂生产的零件外直径X(单位:cm)服从正态分布N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm,则可认为(　　)

A.上午生产情况异常,下午生产情况正常

B.上午生产情况正常,下午生产情况异常

C.上、下午生产情况均正常

D.上、下午生产情况均异常

9.某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单位:kg)服从正态分布N(10,σ2),根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有1 000名职工,则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为(　　)

A.10 B.20 C.30 D.40

10.(2019河北衡水高二上学期期中)为了解一种植物的生长情况,抽取一批该植物样本测量高度(单位:cm),其频率分布直方图如图所示.

(1)求该植物样本高度的平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)假设该植物的高度Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2,利用该正态分布求P(64.5≤Z≤96).

附:≈10.5.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈95.4%.

能力提升练

题组一　正态分布的综合应用

1.()设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态曲线如图所示.下列结论中正确的是(　　)

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) 

B.P(X≥σ2)≥P(X≥σ1)

C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) 

D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)

2.(2020广东深圳中学高三期末,)已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0≤Y≤2)=p,则P(Y>4)=　　　　. 

题组二　正态分布的实际应用

3.()某市组织了一次高二调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其概率密度函数φ(x)=,x∈(-∞,+∞),则下列命题不正确的是(　　)

A.该市这次考试的数学平均成绩为80分

B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D.该市这次考试的数学成绩标准差为10

4.(2020福建厦门高二期末,)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设每个电子元件的使用寿命Z(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,1002),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 100小时的概率约为　　　　. 

附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈.

5.(2020河南驻马店高二下学期期末,)某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)X服从正态分布N(110,102),记X∈(90,110]为事件A,X∈(80,100]为事件B,则P(B|A)=　　　　.(结果用分数表示) 

附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%.

6.(2019内蒙古赤峰高三期末,)在新中国成立七十周年之际,赤峰市某中学的数学课题研究小组在某一个社区做了一个关于在每天晚上7:30~10:00共2.5小时内,居民浏览“学习强国”的时间的调查.如果这个社区共有成人10 000人,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国App”的概率均为p某人在某一时刻打开“学习强国App”的概率p=,0<p<1,并且每人是否打开进行学习是相互独立的.他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国”的时间(单位:min),得到下面的频数表,以样本中100名成人每天晚上的平均学习时长作为该社区每个人的学习时长.

(1)试估计p的值;

(2)设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国App”进行学习的人数.

①求X的数学期望E(X)和方差D(X);

②若随机变量Z满足Z=,则可认为Z~N(0,1).假设当4 950≤X≤5 100时,表示该社区处于最佳学习氛围,试由此估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长(结果保留整数).

附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997.

答案全解全析

4.2.5　正态分布

基础过关练

1.D　由正态曲线的性质及曲线所表示的意义可知,在x=0时取得最大值,∴σ2=1.当0<σ<1时,正态曲线与y轴交点的纵坐标大于;当σ>1时,正态曲线与y轴交点的纵坐标小于.故选D.

2.D　由题图可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8 kg,故A,C正确;由题图可知B正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足=1.99,∴σ2≠1.99,故D不正确,故选D.

3.解析　(1)由题意得,正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80.

又P(72≤X≤88)≈68.3%,

结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%,可知σ=8.

(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)

=P(64≤X≤96)

≈95.4%.

因为P(X<64)=P(X>96),

所以P(X<64)≈×(1-95.4%)=2.3%,

所以P(X≥64)≈97.7%.

又P(X<72)=×[1-P(72≤X≤88)]

≈×(1-68.3%)=15.85%,

所以P(X≥72)≈84.15%,

所以P(64≤X<72)=P(X≥64)-P(X≥72)≈13.55%.

4.A　∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),

∴对应正态曲线的对称轴是直线x=3.

∵P(X≥5)=0.2,∴P(1<X<5)=1-2P(X≥5)=1-0.4=0.6.故选A.

5.D　∵随机变量X~N(1,52),∴正态曲线关于直线x=1对称,∵P(X≤0)=P(X≥a-2),∴×(0+a-2)=1,解得a=4,故选D.

6.B　画出正态分布N(0,1)的密度函数的图像,如图:

由图像的对称性可得,P(-3<ξ<-1)=P(1<ξ<3),故p1=p2.故选B.

7.答案　0.259

解析　∵ξ~N(μ,σ2),∴2P(ξ>μ+2)=1-2P(μ-2≤ξ≤μ)=0.518,∴P(ξ>μ+2)=0.259.

8.B　∵X服从正态分布N(10,0.04),∴μ=10,σ=0.2,∴X∈(10-0.2×3,10+0.2×3)=(9.4,10.6),∴上午生产情况正常,下午生产情况异常,故选B.

9.B　∵大米质量ξ服从正态分布N(10,σ2),∴正态曲线关于直线ξ=10对称,

∵P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96,∴P(ξ<9.9)==0.02,∴分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为0.02×1 000=20.故选B.

10.解析　(1)由题意可得平均数=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75,

s2=(55-75)2×0.1+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.35+(85-75)2×0.3+(95-75)2×0.05=110.

(2)由(1)知,Z~N(75,110),从而P(64.5≤Z≤75)=×P(75-10.5≤Z≤75+10.5)≈×68.3%=34.15%,P(75≤Z≤96)=×P(75-2×10.5≤Z≤75+2×10.5)≈×95.4%=47.7%,

所以P(64.5≤Z≤96)=P(64.5≤Z≤75)+P(75<Z≤96)≈34.15%+47.7%=81.85%.

能力提升练

1.C　由题图得,P(Y≥μ2)=<P(Y≥μ1),故A不正确;正数t<μ2时,P(X≥t)<<P(Y≥t),故D不正确;由σ2>σ1>0,得P(X≥σ2)<P(X≥σ1),故B不正确.故选C.

2.答案　0.1

解析　∵随机变量X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-(1-p)2=0.64,解得p=0.4或p=1.6(舍).又Y~N(2,σ2),∴P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0≤Y≤2)=0.1.

3.B　由题意得,这次考试的数学平均成绩为80分,标准差为10.从图像上看,曲线关于直线x=80对称,故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.故选B.

4.答案　

解析　∵每个电子元件的使用寿命Z均服从正态分布N(1 000,1002),且P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈,

∴每个电子元件的使用寿命超过1 100小时的概率P(Z>1 100)≈,

故该部件的使用寿命超过1 100小时的概率约为×=.

5.答案　

解析　由题意得,P(A)≈47.7%,P(AB)≈×(95.4%-68.3%)=13.55%,∴P(B|A)≈=.

6.解析　(1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75(min),

而调查总时长为150(min),故p==.

(2)①根据题意,X~B.

故E(X)=np=10 000×=5 000,

D(X)=np(1-p)=10 000××=2 500.

②Z==X-100.

当4 950≤X≤5 100时,-1≤Z≤2,Z~N(0,1),

P(-1≤Z≤2)=P(μ-σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954-=0.818 5.

故P(4 950≤X≤5 100)=P(-1≤Z≤2)≈0.818 5.

∴150×0.818 5≈123(min),即该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长约为123 min.