高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征复习练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征复习练习题，共19页。

4.2.4　随机变量的数字特征
基础过关练
题组一　离散型随机变量的期望与方差的基本运算
1.(2020黑龙江鹤岗一中高二期末)已知离散型随机变量ξ的概率分布如下,则其数学期望E(ξ)=(　　)
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2
A.1 B.0.6
C.2.44 D.2.4
2.(2020黑龙江哈尔滨高二期末)若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为(　　)
A.3×2-2 B.2-4
C.3×2-10 D.2-8
3.(2019山西临汾一中高二月考)已知随机变量ξ的分布列如下,且满足E(ξ)=2,则E(aξ+b)的值为(　　)
ξ
1
2
3
P
a
b
c
A.0　　　　　　　　　　　B.1
C.2　　　　　　　　　　　D.无法确定,与a,b有关
4.(2019河北卓越联盟高二上学期期中)已知随机变量X的分布列如下,则X的标准差为(　　)
X
1
3
5
P
0.4
0.1
m
A.0.95 B.3.2
C.0.7 D.3.56
5.(2019浙江杭州第十四中学高二月考)已知随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则p=　　　　,D(2X-3)=　　　　. 
X
0
2
a
P
16
p
13
题组二　期望与方差在实际生活中的应用
6.(2019浙江乐清知临中学高二期末)一个箱子中装有大小、形状完全相同的5个白球和n(n∈N+)个黑球.现从中有放回地摸取4次,每次随机摸取一球,设摸得白球的个数为X,若D(X)=1,则E(X)=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
7.(2020甘肃天水第一中学高二月考)甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为23.本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响且无平局.求:
(1)前三局比赛甲队领先的概率;
(2)设本场比赛的局数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.(用分数表示)







8.(2020浙江温州中学高二质量检测)共享单车因绿色、环保、健康的出行方式,在国内得到迅速推广.最近,某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士,结果男士、女士中分别有7人、6人表示经常骑共享单车出行,其他人表示较少或不选择骑共享单车出行.
(1)从这些男士和女士中各抽取一人,求至少有一人经常骑共享单车出行的概率;
(2)从这些男士中抽取一人,女士中抽取两人,记这三人中经常骑共享单车出行的人数为X,求X的分布列与数学期望.



9.(原创)新冠肺炎疫情期间,为了更有效地进行防控,各地学校都发出延期开学的通知.很多学校及老师为响应各地教育行政部门实行“停课不停学”的号召,让学生们在家通过收看网络直播的方式进行学习.已知高一某班共有学生21人,其中男生12人,女生9人.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,测试他们对网络课程学习的效果,效果分为优秀和不优秀两种,优秀得2分,不优秀得1分.
(1)应抽取男生、女生各多少人?
(2)若抽取的7人中,4人的测试效果为优秀,3人为不优秀,现从这7人中随机抽取3人.
(i)用X表示抽取的3人的得分之和,求随机变量X的分布列及数学期望;
(ii)设事件A为“抽取的3人中,既有测试效果为优秀的,也有为不优秀的”,求事件A发生的概率.


题组三　期望与方差在决策中的应用
10.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二模拟)某服装加工厂为了提高市场竞争力,对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案:甲方案是引进一台新的生产设备,需一次性投入1 000万元,年生产能力为30万件;乙方案是将原来的设备进行升级改造,需一次性投入700万元,年生产能力为20万件.根据市场调查与预测,该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示,无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备,设备的使用年限均为6年,该产品的销售利润为15元/件(不含一次性设备改进投资费用).

(1)根据年销售量的频率分布直方图,估算年销售量的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)将年销售量落入各组的频率视为概率,各组的年销售量用该组区间的中点值作年销售量的估计值,并假设每年的销售量相互独立.
①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率;
②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据,试判断该服装加工厂应选择哪个方案.(6年的净利润=6年的销售利润-设备改进投资费用)




能力提升练
题组一　随机变量的期望和方差的综合运算
1.(2020浙江绍兴一中高三调研,)已知随机变量ξ的取值为i(i=0,1,2).若P(ξ=0)=15,E(ξ)=1,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　
A.P(ξ=1) C.P(ξ=1)>D(ξ) D.P(ξ=1)=15D(ξ)
2.(2020辽宁锦州北镇高中高二期末,)已知0 ξ
-1
0
1
P
13
a
b
A.E(ξ)增大 B.E(ξ)减小
C.E(ξ)先增大后减小 D.E(ξ)先减小后增大
3.(2019河北石家庄高二期中,)有甲、乙两个盒子,甲盒子里有1个红球,乙盒子里有3个红球和3个黑球,现从乙盒子里随机取出n(1≤n≤6,n∈N+)个球放入甲盒子后,再从甲盒子里随机取一球,记取到的红球个数为ξ,则随着n(1≤n≤6,n∈N+)的增大,下列说法正确的是(　　)
A.Eξ增大,Dξ增大 B.Eξ增大,Dξ减小
C.Eξ减小,Dξ增大 D.Eξ减小,Dξ减小

题组二　期望与方差在实际生活中的应用
4.(2020四川成都外国语学校高二月考,)小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则如下:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,记小明4次游戏得分之和为X,则X的期望为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2020山东日照高二校际联考,)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)
A.24181 B.26681
C.27481 D.670243
6.(多选)(2019山东新课改高三大联考,)某市有A,B,C,D四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为23,游览B,C,D的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点个数,则(　　)
A.该游客至多游览一个景点的概率为14
B.P(X=2)=38
C.P(X=4)=124
D.E(X)=136
7.(2019浙江湖州长兴中学高二模拟,)某人随机将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时称为放对了,否则称为放错了.设放对的个数记为ξ,则ξ的期望Eξ=　　　　. 
8.(2020浙江嘉兴一中高三期末,)已知箱中装有10个不同的小球,其中2个红球、3个黑球和5个白球,现从该箱中有放回地依次取出3个小球,则3个小球颜色互不相同的概率是　　　　;若随机变量ξ为取出3个球中红球的个数,则ξ的方差D(ξ)=　　　　. 
9.(2020湖北孝感二中高二模拟,)为响应国家号召,打赢脱贫致富攻坚战,武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地,并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式,据统计,当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市,超市以每份15元的价格卖给顾客,如果当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位:份),制成如下表格(x,y∈N+).以频率作为概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据,若购进17份比购进18份的利润的期望值大,则x的最小值是　　　　. 
前8小时内的销售量
15
16
17
18
19
20
21
频数
10
x
16
16
15
13
y
10.(2020湖北襄阳五中高二月考,)为响应绿色出行,某市在推出共享单车后,又推出新能源分时租赁汽车.其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费的标准由两部分组成:①根据行驶里程数按1元/千米计费;②行驶时间不超过40分钟时,按0.12元/分钟计费;超过40分钟时,超出部分按0.20元/分钟计费.已知王先生家离上班地点15公里,每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素,每次路上开车花费的时间t(分钟)是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费的时间,在各时间段内的频数分布情况如下表所示:
时间t(分钟)
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
频数
2
18
20
10

将各时间段发生的频率视为概率,每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为(20,60]分钟.
(1)写出王先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分钟)的函数关系式;
(2)若王先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”,设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车时“路段畅通”的次数,求ξ的分布列和期望.


题组三　期望与方差在决策中的应用
11.(2020广西柳州高级中学高三开学考试,)某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案,方案一:交纳延保金7 000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次后每次收取维修费2 000元;方案二:交纳延保金10 000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次后每次收取维修费1 000元.某医院准备一次性购买2台这种机器,现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得到下表:
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15

以这50台机器维修次数的频率作为1台机器维修次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更划算?




答案全解全析
4.2.4　随机变量的数字特征
基础过关练
1.D
2.C
3.B
4.D
6.B
1.D　∵分布列中所有的概率之和等于1,∴0.5+m+0.2=1,∴m=0.3,∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.故选D.
2.C　由题意得E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p=12,n=12,∴P(X=1)=C121×121×1211=3×2-10.故选C.
3.B　由题意得E(ξ)=a+2b+3c=2,
又a+b+c=1,∴a=c,∴2a+b=1,∴E(aξ+b)=aE(ξ)+b=2a+b=1.故选B.
4.D　由题意得,E(X)=1×0.4+3×0.1+5×(1-0.4-0.1)=3.2,
∴X的方差为(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=1.936+0.004+1.62=3.56,
∴X的标准差为3.56,故选D.
5.答案　12;4
解析　由题意得,16+p+13=1,
∴p=12.
由期望公式得E(X)=0×16+2×12+a×13=2,
∴a=3.
∴D(X)=(0-2)2×16+(2-2)2×12+(3-2)2×13=1.
故D(2X-3)=22×D(X)=4.
6.B　设摸得白球的概率为p,
由题意得,X~B(4,p),
∴D(X)=4p(1-p)=1,
∴p=12,
∴E(X)=4p=4×12=2.
故选B.
7.解析　(1)设“前三局中,甲队胜三局”为事件A,“前三局中,甲队胜两局”为事件B,
则P(A)=233=827,P(B)=C32232×131=49,
所以前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=2027.
(2)ξ的所有可能取值为3,4,5.
ξ=3,即前三局中,甲队胜三局或乙队胜三局,P(ξ=3)=233+133=13;
ξ=4,即前四局中,甲队或乙队前三局胜两局,第四局获胜,P(ξ=4)=C32232×13×23+C32132×23×13=1027;
ξ=5,即甲队或乙队前四局胜两局,第五局获胜,P(ξ=5)=C42232×132×23+C42132×232×13=827.
∴ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P
13
1027
827
数学期望E(ξ)=3×13+4×1027+5×827=10727.
8.解析　(1)记“从这些男士和女士中各抽取一人,至少有一人经常骑共享单车出行”为事件A,则P(A)=710×410+310×610+710×610=2225.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C31C101×C42C102=125,
P(X=1)=C71C101×C42C102+C31C101×C61C41C102=1975,
P(X=2)=C71C101×C61C41C102+C31C101×C62C102=71150,
P(X=3)=C71C101×C62C102=730,
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
125
1975
71150
730

数学期望E(X)=0×125+1×1975+2×71150+3×730=1910.
9.解析　(1)因为采用分层抽样的方法进行抽样,所以应抽取女生7×921=3人,抽取男生7×1221=4人.
(2)(i)随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6.
P(X=3)=C40C33C73=135,
P(X=4)=C41C32C73=1235,
P(X=5)=C42C31C73=1835,
P(X=6)=C43C30C73=435,
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
135
1235
1835
435
数学期望E(X)=3×135+4×1235+5×1835+6×435=16535=337.
(ii)由(i)知P(A)=P(X=4)+P(X=5)=1235+1835=67,
故事件A发生的概率为67.
10.解析　(1)年销售量的平均数x=0.05×12+0.35×16+0.3×20+0.2×24+0.1×28=19.8(万件).
(2)①因为该产品的销售利润为15元/件,
所以只有当年销售量不低于18万件时,年销售利润才不低于270万元,
所以年销售利润不低于270万元的概率为0.3+0.2+0.1=0.6.
②设甲方案的年销售量为X万件,由(1)可知甲方案的年销售量的期望E(X)=19.8(万件),
所以甲方案6年的净利润的期望为19.8×15×6-1 000=782(万元).
设乙方案的年销售量为Y万件,则乙方案的年销售量的分布列为
Y
12
16
20
P
0.05
0.35
0.6

所以乙方案的年销售量的期望E(Y)=0.05×12+0.35×16+0.6×20=18.2(万件),
所以乙方案6年的净利润的期望为18.2×15×6-700=938(万元).
因为乙方案6年的净利润的期望值大于甲方案6年的净利润的期望值,
所以该服装加工厂应选择乙方案.





能力提升练
1.C
2.B
3.C
4.C
5.B
6.ABD




1.C　设P(ξ=1)=x,则P(ξ=2)=45-x,
所以E(ξ)=15×0+x×1+45-x×2=85-x=1,解得x=35,即P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=15,
所以D(ξ)=15×(0-1)2+35×(1-1)2+15×(2-1)2=25,故P(ξ=1)>D(ξ),故选C.
2.B　由题意可知E(ξ)=-13+b,13+a+b=1⇒E(ξ)=-13+23-a=13-a,所以当a增大时,ξ的期望E(ξ)减小,故选B.
3.C　由题意可知,从乙盒子里随机取出n个球,红球个数X服从超几何分布,即X~H(6,3,n),其中P(X=k)=C3kC3n-kC6n,k∈N,k≤3且k≤n,EX=3n6=n2.故从甲盒中取球,相当于从含有n2+1个红球的(n+1)个球中取一球.故P(ξ=1)=n2+1n+1=12+12n+2,随机变量ξ服从两点分布,所以Eξ=P(ξ=1)=12+12n+2,随着n的增大,Eξ减小;
Dξ=P(ξ=1)[1-P(ξ=1)]=12+12n+212-12n+2=14-1(2n+2)2,随着n的增大,Dξ增大.故选C.
4.C　3人每次游戏出现的所有可能情况如下所示:
(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(背,心,心),(心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背),
则小明得1分的概率为34,得0分的概率为14,易知X~B4,34,故E(X)=4×34=3.
5.B　依题意知,ξ的所有可能取值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则一轮结束时比赛停止的概率为232+132=59.若一轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得1分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有P(ξ=2)=59,P(ξ=4)=49×59=2081,P(ξ=6)=492=1681,故E(ξ)=2×59+4×2081+6×1681=26681,故选B.
6.ABD　X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
则P(X=0)=1-231-121-121-12=124,
P(X=1)=23×1-123+1-23×C31×12×1-122=524,
所以该游客至多游览一个景点的概率为P(X=0)+P(X=1)=124+524=14,故A正确.
P(X=2)=23×C31×12×1-122+1-23×C32×122×1-121=38,故B正确.
P(X=4)=23×123=112,故C错误.
又P(X=3)=23×C32×122×1-121+1-23×C33×123=724,
所以E(X)=0×124+1×524+2×38+3×724+4×112=136,故D正确.
故选ABD.
7.答案　1
解析　由题意,ξ的所有可能取值为0,1,2,4,
则P(ξ=1)=C41×2A44=13,P(ξ=2)=C42×1A44=14,P(ξ=4)=1A44=124,
P(ξ=0)=1-13-14-124=38,所以ξ的期望Eξ=1×13+2×14+4×124+0×38=1.
8.答案　950;1225
解析　设抽取一次,抽到红球、黑球、白球的事件分别为A,B,C,则P(A)=15,P(B)=310,P(C)=12.从该箱中有放回地依次取出3个小球,3个小球颜色互不相同的情况有A33种,每种情况的概率都为P(A)·P(B)·P(C)=15×310×12=3100,所以所求概率为A33×3100=6×3100=950.
依题意可知,随机变量ξ~B3,15,所以D(ξ)=3×15×1-15=1225.
9.答案　25
解析　由题意可得x+y=30,故y=30-x(x,y∈N+).
若该超市一天购进17份这种有机蔬菜,Y1表示当天的利润(单位:元),那么Y1的分布列为
Y1
65
75
85
P
10100
x100
90-x100
Y1的数学期望E(Y1)=65×10100+75×x100+85×90-x100=83-x10.
若该超市一天购进18份这种有机蔬菜,Y2表示当天的利润(单位:元),那么Y2的分布列为
Y2
60
70
80
90
P
10100
x100
16100
74-x100

Y2的数学期望E(Y2)=60×10100+70×x100+80×16100+90×74-x100=4275-x5.
∵购进17份比购进18份的利润的期望值大,
∴83-x10>4275-x5,且x<30,
解得24 10.解析　(1)当20 当40 综上,y=0.12t+15,20 (2)由题意得,王先生租用一次新能源分时租赁汽车时“路段畅通”的概率为2+1850=25.
ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=C30250353=27125,
P(ξ=1)=C31251352=54125,
P(ξ=2)=C32252351=36125,
P(ξ=3)=C33253350=8125,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
易知ξ~B3,25,故Eξ=3×25=1.2.
11.解析　(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,
P(X=0)=110×110=1100,
P(X=1)=110×15×2=125,
P(X=2)=15×15+25×110×2=325,
P(X=3)=110×310×2+15×25×2=1150,
P(X=4)=25×25+310×15×2=725,
P(X=5)=25×310×2=625,
P(X=6)=310×310=9100,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
1100
125
325
1150
725
625
9100

(2)若选择方案一,则所需费用Y1的分布列为
Y1
7 000
9 000
11 000
13 000
15 000
P
17100
1150
725
625
9100
EY1=17100×7 000+1150×9 000+725×11 000+625×13 000+9100×15 000=10 720(元).
若选择方案二,则所需费用Y2的分布列为
Y2
10 000
11 000
12 000
P
67100
625
9100
EY2=67100×10 000+625×11 000+9100×12 000=10 420(元).
∵EY1>EY2,∴该医院选择延保方案二更划算.