人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.5 正态分布课后练习题

www.ks5u.com课时素养检测十六　正 态 分 布

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.(多选题)已知三个概率密度函数φi(x)=(x∈R，i=1，2，3)

的图像如图所示，则下列结论正确的是 (　　)

A.σ1=σ2   B.μ1>μ3

C.μ1=μ2   D.σ2<σ3

【解析】选AD.根据正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图像越靠近右边，

所以μ1<μ2=μ3，B，C错误；

又σ越小数据越集中，图像越瘦长，

所以σ1=σ2<σ3，A，D正确.

2.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约

为 (　　)

A.150   B.200   C.300   D.400

【解析】选C.因为P(X<90)=P(X>120)=，

P(90≤X≤120)=1-=，

所以P(90≤X≤105)=，

所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1 000×=300.

3.已知某市高三一次模拟考试数学成绩X～N(90，σ2)，且P(70<X<110)=0.8，则从该市任取3名高三学生，恰有1名学生成绩不低于110分的概率

是 (　　)

A.0.2   B.0.1   C.0.243   D.0.027

【解析】选C.由X～N(90，σ2)，且P(70<X<110)=0.8，可知成绩不低于110分的概率是0.1，则3名高三学生，恰有1名学生成绩不低于110分的概率是P=

(0.1)(0.9)2=0.243.

4.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)

= (　　)

A.0.2   B.0.3   C.0.4   D.0.6

【解析】选B.因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，μ=2，

即对称轴是x=2，P(ξ<4)=0.8，

所以P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2，

所以P(0<ξ<4)=0.6，所以P(0<ξ<2)=0.3.

5.某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)=0.4，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为              (　　)

A.20   B.10   C.7   D.5

【解析】选B.由考试成绩服从正态分布(100，σ2)，且P(90≤ξ≤100)=0.4，

得P(ξ>110)==0.1，

所以估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.1×100=10.

6.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其正态曲线如图所示，则成绩X位于区间[52，68]的人数大约是              (　　)

A.997   B.954   C.683   D.341

【解析】选C.由题图知X～N(μ，σ2)，其中μ=60，σ=8，

所以P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(52≤X≤68)≈0.683.

所以人数大约为0.683×1 000=683.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.已知离散型随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<3)=0.968，则P(1<ξ<3)=________. 

【解析】因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，

所以μ=2，得对称轴是x=2.

因为P(ξ<3)=0.968，

所以P(2<ξ<3)=P(ξ<3)-0.5=0.468，

所以P(1<ξ<3)=0.468×2=0.936.

答案：0.936

8.一年时间里，某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动，据统计，他们参加社区志愿者公益活动时长X(单位：时)近似服从正态分布N(50，σ2)，且P(30<X<70)=0.7，该校高一学生中参加社区志愿者公益活动超过30小时的人数有1 275，估计该校高一年级学生人数为________. 

【解析】由P(30<X<70)=0.7得P(X≤30)=×(1-0.7)=0.15，

所以P(X>30)=1-0.15=0.85.

所以估计该校高一年级学生人数为1 275÷0.85=1 500.

答案：1 500

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c+1)=P(X<c-1).

(1)求c的值；

(2)求P(-4≤X≤8).

【解析】(1)由X～N(2，9)可知，正态曲线关于直线x=2对称，

因为P(X>c+1)=P(X<c-1)，

所以2-(c-1)=(c+1)-2，解得c=2.

(2)由X～N(2，9)得μ=2，σ=3，

所以P(-4≤X≤8)=P(2-2×3≤X≤2+2×3)

=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%=0.954.

10.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N(500，52)(单位：g).

(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485 g的概率约为多少？

(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.

附：X～N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%，

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%.

【解析】(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为X g，

由题意可知X～N(500，52).

由于485=500-3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知P(X<485)=[1-P(500-3×5≤X≤500+3×5)]≈×0.003=0.001 5.

(2)检测员的判断是合理的.

因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都小于485 g的概率约为0.001 5×0.001 5=0.000 002 25=2.25×10-6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.已知随机变量X～N(6，1)，且P(5<X<7)=a，P(4<X<8)=b，则P(4<X<7)

= (　　)

A.    B.

C.    D.

【解析】选B.由于P(4<X<7)=P(4<X<5)+P(5<X<7)=+a=.

2.已知某随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(0<ξ<1)=0.3，

则P(ξ<2)= (　　)

A.0.8   B.0.75   C.0.7   D.0.6

【解析】选A.因为ξ～N(1，σ2)，且P(0<ξ<1)=0.3，

所以P(ξ≥2)=P(ξ≤0)=P(ξ<1)-P(0<ξ<1)=0.5-0.3=0.2.

所以P(ξ<2)=1-P(ξ≥2)=1-0.2=0.8.

3.已知概率密度函数φμ，σ(x)=，x∈(-∞，+∞)，以下关于正态曲线的说法不正确的是 (　　)

A.曲线与x轴之间的面积为1

B.曲线在x=μ处达到峰值

C.当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移

D.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”

【解析】选D.由概率密度函数的解析式φμ，σ(x)=可知：曲线与x轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，其图像关于直线x=μ对称，且当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”.因此A，B，C都是正确的，D是错误的.

4.(多选题)若随机变量ξ～N(0，1)，Φ(x)=P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立有 (　　)

A.Φ(-x)=1-Φ(x)

B.Φ(2x)=2Φ(x)

C.P(|ξ|<x)=2Φ(x)-1

D.P(|ξ|>x)=2-Φ(x)

【解析】选AC.因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，

所以正态曲线关于x=0对称，

因为Φ(x)=P(ξ≤x)(x>0)，

根据曲线的对称性可得：

A.Φ(-x)=Φ(ξ≥x)=1-Φ(x)，

所以A正确；B.Φ(2x)=Φ(ξ≤2x)，2Φ(x)=2Φ(ξ≤x)，

所以Φ(2x)≠2Φ(x)，所以B错误；

C.P(|ξ|<x)=P(-x<ξ<x)=1-2Φ(-x)

=1-2[1-Φ(x)]=2Φ(x)-1，所以C正确；

D.P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-Φ(x)+

Φ(-x)=1-Φ(x)+1-Φ(x)=2-2Φ(x)，所以D错误.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.某镇农民年平均收入服从μ=5 000元，σ=200元的正态分布，则该镇农民年平均收入在5 000～5 200元间人数的百分比约为_______. 

【解析】设X表示此镇农民的年平均收入，

则X～N(5 000，2002).

由P(5 000-200≤X≤5 000+200)≈68.3%，

得P(5 000<X≤5 200)==0.341 5=34.15%，

故此镇农民年平均收入在5 000～5 200元间的人数的百分比约为34.15%.

答案：34.15%

6.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%) 

【解析】P(X≤82.5)=P(X≤μ-σ)

=≈0.158 5，

P(X≥117.5)=P(X≥μ+σ)

=≈0.158 5，

成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，

高三考生总人数有≈505人，

P(X>135)=P(x>μ+2σ)

=≈0.023，

本次考试数学成绩特别优秀的大约有505×0.023≈12人.

答案：0.158 5　12

三、解答题(每小题10分，共30分)

7.一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(7，12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？

【解析】对于第一个方案有X～N(8，32)，其中μ=8，σ=3，P(X>5)=≈；

对于第二个方案有X～N(7，12)，其中μ=7，σ=1，

P(X>5)=≈.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案.

8.生产工艺工程中产品的尺寸误差X～N(0，1.52)(单位：mm)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品，求：

(1)X的概率密度函数；

(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.

【解析】(1)由题意知X～N(0，1.52)，即μ=0，σ=1.5，

故概率密度函数φ(x)=.

(2)设Y表示5件产品中的合格品数，

每件产品是合格品的概率为P(|X|≤1.5)=P(-1.5≤X≤1.5)≈0.683，

从而Y～B(5，0.683)，合格率不小于80%，

即Y≥5×0.8=4，

故P(Y≥4)=P(Y=4)+P(Y=5)

=×0.6834×(1-0.683)+0.6835≈0.494.

9.某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10 000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：

从第一段生产的半成品中抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：

若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、-100元.

(1)以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；

(2)将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；

(3)现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布N(80，22)，且不影响产量.请你帮该公司做出决策，是否要购买该设备？说明理由.

(参考数据：P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%)

【解析】(1)平均值为72×0.1+76×0.25+80×0.3+84×0.2+88×0.15=80.2.

(2)由频率分布直方图，第一段生产的半成品质量指标

P(x≤74或x>86)=0.25，

P(74<x≤78或82<x≤86)=0.45，P(78<x≤82)=0.3，

设生产一件产品的利润为X元，则P(X=100)=0.2×0.25+0.4×0.45+0.6×0.3=0.41，

P(X=60)=0.3×0.25+0.3×0.45+0.3×0.3=0.3，

P(X=-100)=0.5×0.25+0.3×0.45+0.1×0.3=0.29，

所以生产一件成品的平均利润是100×0.41+60×0.3-100×0.29=30元，

所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元.

(3)需购买该设备.因为μ-3σ=74，μ-σ=78，μ+σ=82，μ+3σ=86，

设引入该设备后生产一件成品利润为Y元，

则P(Y=100)=0.003×0.2+0.314×0.4+0.683×0.6=0.536，

P(Y=60)=0.003×0.3+0.314×0.3+0.683×0.3=0.3，

P(Y=-100)=0.003×0.5+0.314×0.3+0.683×0.1=0.164，

所以引入该设备后生产一件成品平均利润为100×0.536+60×0.3-100×0.164=55.2元，

所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元，

增加收入55.2-30-20=5.2万元，

综上，应该购买该设备.