高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征同步训练题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征同步训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3D．0.4
D [∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.]
2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( )
A．0.6 B．1
C．3.5D．2
C [抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
所以E(ξ)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,6)＋5×eq \f(1,6)＋6×eq \f(1,6)＝3.5.]
3．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )
A．无法求 B．0
C．E(X) D．2E(X)
B [只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.]
4．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
B [出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．]
5．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每坑需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200
C．300D．400
B [由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.故选B.]
二、填空题
6．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则期望E(X)＝________.
2 [由题意可知X～H(10,4,5)，
∴E(X)＝eq \f(4×5,10)＝eq \f(20,10)＝2.]
7．已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
eq \f(2,3) [由题意可知m＋2m＝1，所以m＝eq \f(1,3)，所以E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3).]
8．今有两台独立工作的雷达，两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________.
1.75 [X可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.]
三、解答题
9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？
[解] 设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3 000)，
∴P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,3 000)(0.04)k(1－0.04)3 000－k，
则ξ～B(3 000,0.04)，那么E(ξ)＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)．
∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
[解] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,4).
(2)法一：X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,8),C\\al(3,10))＝eq \f(1,15).
综上知，X的分布列为
故E(X)＝0×eq \f(7,15)＋1×eq \f(7,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(3,5)(个)．
法二：由题意可知：X～H(10,3,2)，
∴P(x＝k)＝eq \f(C\\al(k,2)C\\al(3－k,8),C\\al(3,10))，k＝0,1,2.
∴X的分布列为
∴E(X)＝eq \f(2×3,10)＝eq \f(3,5)(个)．
11．(多选题)离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则( )
A．a＝10B．a＝eq \f(1,10)
C．b＝0D．b＝1
BC [易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝eq \f(1,10)，b＝0.]
12．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是

据此判定( )
A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同D．无法判定
A [E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
由于E(Y)>E(X)，
故甲比乙质量好．]
13．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) [由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>eq \f(5,2)或p14．某日A，B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝________.
0.4 [设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，则P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.]
15．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为eq \f(2,3)，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为eq \f(2,5)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
[解] (1)由已知得小明中奖的概率为eq \f(2,3)，小红中奖的概率为eq \f(2,5)，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”为事件A，
则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15)，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝eq \f(11,15).
所以这两人的累计得分X≤3的概率为eq \f(11,15).
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都
选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知得X1～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,3)))，X2～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,5)))，
所以E(X1)＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)，E(X2)＝2×eq \f(2,5)＝eq \f(4,5).
所以E(2X1)＝2E(X1)＝eq \f(8,3)，
E(3X2)＝3E(X2)＝eq \f(12,5).
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．ξ
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
X
0
1
P
m
2m
X
0
1
2
P
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
X
0
1
2
P
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0