高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式课后作业题

4.1.2　乘法公式与全概率公式　4.1.3　独立性与条件概率的关系

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(2019天津高二期中)某闯关游戏规则如下:在主办方预设的6个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,闯关成功,假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于(　　)

A.0.064 B.0.144 C.0.216 D.0.432

解析选手恰好回答了4个问题就闯关成功,则第2个问题不正确,第3,4个问题正确.

故P=0.6×0.4×0.6×0.6+0.4×0.4×0.6×0.6=0.144.故选B.

答案B

2.(多选)下列各对事件中,不是相互独立事件的有(　　)

A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”

B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”

C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”

D.甲、乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”

解析在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;

在B中,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者相互独立;

在C中,甲,乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;

在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因此当P(A)≠1时,P(AB)≠P(A)P(B),故A,B不独立.故选ACD.

答案ACD

3.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是              (　　)

A.0.378 B.0.3 C.0.58 D.0.958

解析透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为P1=0.3,恰在第二次落地打破的概率为P2=0.7×0.4=0.28,恰在第三次落地打破的概率为P3=0.7×0.6×0.9=0.378,∴落地3次以内被打破的概率P=P1+P2+P3=0.958.故选D.

答案D

4.(2019陕西西安中学高二期中)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中胜的概率为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了3局的概率为　　　　　. 

解析根据题意,甲获得冠军的概率为,其中,比赛进行了3局的概率为,所以,在甲获得冠军的条件下,比赛进行了3局的概率为P=.

答案

5.(2019吉林高二期中)甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:

(1)2人都射中目标的概率;

(2)2人中恰有1人射中目标的概率;

(3)2人至少有1人射中目标的概率.

解记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与相互独立,

(1)2人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72,所以2人都射中目标的概率是0.72.

(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(事件A发生),另一种是甲未击中、乙击中(事件B发生),根据题意,事件AB互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26,

所以2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.

(3)方法1　2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为P=P(AB)+[P(A)+P(B)]=0.72+0.26=0.98.

方法2　“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件,2个都未击中目标的概率是P()=P()P()=(1-0.8)×(1-0.9)=0.02,

所以“两人至少有1人击中目标”的概率为P=1-P()=1-0.02=0.98.

能力提升练

1.(多选)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有 (　　)

A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M=“出现的点数为奇数”,事件N=“出现的点数为偶数”

B.袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M=“第1次摸到红球”,事件N=“第2次模到红球”

C.分别抛掷2枚相同的硬币,事件M=“第1枚为正面”,事件N=“两枚结果相同”

D.一枚硬币掷两次,事件M=“第一次为正面”,事件N=“第二次为反面”

解析在A中,P(MN)=0,所以M,N不相互独立;

在B中,第1次摸到红球对第2次摸到红球有影响,所以不是相互独立事件;

在C中,P(M)=,P(N)=,P(MN)=,P(MN)=P(M)P(N),因此M,N是相互独立事件;

在D中,第一次为正面对第二次的结果没有影响,因此M,N是相互独立事件.

故选CD.

答案CD

2.(2020辽宁高一期末)从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　)

A. B. C. D.

解析设事件A:“从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格”,则其对立事件B:“从中任挑一儿童,这两项都不合格”,由题可知,儿童体型不合格的概率为,身体关节构造不合格的概率为,所以P(B)=,故P(A)=1-P(B)=1-.故选B.

答案B

3.(2019北京高二期末)甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛,首先甲、乙一组,丙、丁一组进行比赛,两组的胜者进入决赛,决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如下表所示,表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.

那么甲得冠军且丙得亚军的概率是(　　)

A.0.15 B.0.105 C.0.045 D.0.21

解析甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3,

丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5,

甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3,

根据独立事件的概率等于概率之积,

所以甲得冠军且丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3=0.045.故选C.

答案C

4.(2020天津高三期末)某中学组织高三学生进行一项能力测试,测试内容包括A,B,C三个类型问题,这三个类型所含题目的个数分别占总数的.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答,则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为(　　)

A. B. C. D.

解析3名同学选择的题目所属类型互不相同,则A,B,C三个类型的问题都要入选,则3名同学的选法共有=6种情况,每个类型入选的可能为,所以全部入选的概率为,则3名同学所选不同类型的概率为6×.故选C.

答案C

5.(2019甘肃武威第五中学高二月考)已知5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取1个,不放回地取两次,求:

(1)第一次取到新球的概率;

(2)第二次取到新球的概率;

(3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率.

解设第i次取到新球为Ai事件,第j次取到旧球为Bj事件.(i,j=1,2)

(1)P(A1)=.

(2)第二次取到新球为C事件,P(C)=P(A1A2)+P(B1A2)=.

(3)P(A2|A1)=.

6.在一个选拔节目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

解设事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.

(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”,

则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=×1-=.

(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,

则P(C)=P(+A1+A1A2)=P()+P(A1)+P(A1A2)=1-×1-+×1-=.

素养培优练

1.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=　　　　　,P(B)=　　　　　. 

解析由题意得

解得P(A)=,P(B)=.

所以P(B)=P()P(B)=.

答案

2.(2020浙江高三专题练习)眉山市位于四川西南,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡,也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周,为了丰富游客的文化生活,每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响.

(1)分别求甲队总得分为0分,2分的概率;

(2)求甲队得2分乙队得1分的概率.

解(1)记“甲队总得分为0分”为事件A,“甲队总得分为2分”为事件B,甲队总得分为0分,即甲队三人都回答错误,其概率P(A)=1-3=.

甲队总得分为2分,即甲队三人中有1人答错,其余两人答对,其概率P(B)=3×2×1-=.

(2)记“乙队得1分”为事件C,“甲队得2分乙队得1分”为事件D.

事件C即乙队三人中有2人答错,其余1人答对,

则P(C)=1-××1-+×1-×1-+1-×1-×,

甲队得2分乙队得1分即事件B,C同时发生,

则P(D)=P(B)P(C)=.

3.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.

(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;

(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少?

解设A表示“取到的是一只次品”,Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.

易知,B1,B2,B3是样本空间S的一个划分,且有P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.

(1)由全概率公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.012 5.

(2)由贝叶斯公式P(B1|A)==0.24.

同理P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12.

以上结果表明,这只次品来自第2家工厂的可能性最大.