人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试课时练习

专题强化练8　函数极值的求解及其应用

一、选择题

1.(2019广东肇庆高三月考,)已知x=1是f(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]ex的极小值点,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.(-1,+∞)

C.(-∞,-1) D.(-∞,1)

2.()若函数f(x)=x2-aln x(a∈R)不存在极值点,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,0]

3.(2020福建三明高三上期末质量检测,)函数f(x)=ln x2-x的图象大致为(深度解析)

4.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=ax-x2-ln x存在极值,若这些极值的和大于5+ln 2,则实数a的取值范围为(深度解析)

A.(-∞,4) B.(4,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞)

5.()若函数f(x)=x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,且此极值不小于1,则实数a的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.(-1,0)∪

6.(多选)(2020山东济宁高二上期末,)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f'(x),如图是函数y=xf'(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)的单调增区间是(-2,0),(2,+∞)

B.函数f(x)的单调增区间是(-∞,-2),(2,+∞)

C.x=-2是函数f(x)的极小值点

D.x=2是函数f(x)的极小值点

7.(多选)()已知函数y=f(x)在R上可导,且f(0)=1,其导函数f'(x)满足>0,对于函数g(x)=,下列说法正确的是　(　　)

A.函数g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数

B.x=1是函数g(x)的极小值点

C.函数g(x)至多有两个零点

D.当x≤0时,不等式f(x)≤ex恒成立

二、填空题

8.()若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a=　　　　. 

9.()已知函数f(x)=x3-3x2-9x-1的图象与函数g(x)=a的图象有三个交点,则实数a的取值范围是　　　　. 

三、解答题

10.(2020河南新乡高二上期末,)已知函数f(x)=mx+n的图象在x=处的切线方程为y=-.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若关于x的方程f(x)=aln x在x∈(1,+∞)上有解,求a的取值范围.

深度解析

11.(2020河北衡水中学高三上期末,)已知函数f(x)=ln x+mx2+1,m∈R.

(1)当m=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)讨论函数f(x)的零点个数.

答案全解全析

一、选择题

1.D　依题意得, f'(x)=(x-a)(x-1)ex,它的两个零点为x1=1,x2=a,要使x=1是函数f(x)的极小值点,则必须有a<1,此时函数在(a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,在x=1处取得极小值.故选D.

2.D　由题意得, f(x)的定义域是(0,+∞),

f'(x)=2x-=,

若f(x)在(0,+∞)上不存在极值点,则a≤2x2在(0,+∞)上恒成立,故a≤0.

3.B　函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.

当x>0时, f(x)=2ln x-x,

∴f'(x)=-1=.

当x>2时, f'(x)<0,当0<x<2时, f'(x)>0,

∴f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且f(x)在(0,+∞)上的极大值为f(2)=2ln 2-2<0,∴C、D错误.

当x<0时, f(x)=2ln(-x)-x, f'(x)=<0,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴A错误,B正确.故选B.

解题模板　由函数解析式确定函数图象时,往往由解析式确定性质,由性质逐一判断图象.解题时,通过求导得到极值点,从而得到函数的图象.

4.B　∵f(x)=ax-x2-ln x(x>0),

∴f'(x)=-.

∵f(x)存在极值,

∴f'(x)=0在(0,+∞)上有实根,

即2x2-ax+1=0在(0,+∞)上有实根,

即a=2x+在(0,+∞)上有实根.

由2x+≥2=2,得a>2①

(a=2时无极值).

此时, f'(x)=0有两不相等的正实根,设为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=,

∴f(x1), f(x2)是f(x)的两个极值,依题意得f(x1)+f(x2)=a(x1+x2)-(+)-(ln x1+ln x2)=--ln=+1+ln 2>5+ln 2.

化简得a2>16,又a>2,∴a>4.

∴a的取值范围是(4,+∞),故选B.

解题模板　与函数的极值有关的问题,在解题时常用“整体代入”的方法,如本题中用根与系数关系整体代入,有时还将f'(x0)=0整体代入f(x0),解决相关极值问题.

5.B　∵f(x)=x2+(a-1)x-aln x,x>0,

∴f'(x)=x+(a-1)-==.令f'(x)=0,得x=1或x=-a,

∵函数y=f(x)存在唯一的极值,

∴x=1为f(x)的极值点,此时a≥0,

∴当x∈(0,1)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增,

∴f(x)极小值=f(1)=+a-1=a-,

又f(x)极小值≥1,

∴a-≥1,解得a≥.故选B.

6.BD　由题图可知,当0<x<2时, f'(x)<0;当x>2, f'(x)>0;当-2<x<0时, f'(x)<0;当x<-2时, f'(x)>0.

所以函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,

所以函数f(x)在x=2处取得极小值,在x=-2处取得极大值.故选BD.

7.ABC　因为g(x)=,

所以g'(x)=,

当x>1时, f'(x)-f(x)>0,故y=g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故A正确.

当x<1时, f'(x)-f(x)<0,故y=g(x)在区间(-∞,1)上单调递减,故x=1是函数y=g(x)的极小值点,故B正确.

若g(1)<0,则y=g(x)至多有2个零点,若g(1)=0,则函数y=g(x)有1个零点,若g(1)>0,则函数y=g(x)没有零点,故C正确.

由y=g(x)在区间(-∞,1)上单调递减,

且g(0)==1,得当x≤0时,g(x)≥g(0),即≥1,故f(x)≥ex,故D错误.

故选ABC.

二、填空题

8.答案　3

解析　由题意得, f'(x)='==.

∵函数f(x)在x=1处取得极值,

∴f'(1)=0,

∴1+2×1-a=0,∴a=3.经验证知a=3符合题意.

9.答案　(-28,4)

解析　f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).

令f'(x)>0,得x<-1或x>3;

令f'(x)<0,得-1<x<3.

所以f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增;在(-1,3)上单调递减.

所以当x=-1时, f(x)取得极大值,为f(-1)=4,当x=3时, f(x)取得极小值,为f(3)=-28.

因为函数f(x)=x3-3x2-9x-1的图象与函数g(x)=a的图象有三个交点,

所以-28<a<4,即实数a的取值范围为(-28,4).

三、解答题

10.解析　(1)由题意得, f=m+n=-,①

因为f'(x)=m+,

所以f'=m+n=0,②

由①②得m=1,n=-1,所以f(x)=x-.

(2)令F(x)=f(x)-aln x,

则F'(x)=1--=.

令g(x)=2x-,则g(x)在(1,+∞)上单调递增,故g(x)>g(1)=1.

当2a≤1,即a≤时,F'(x)>0,

所以F(x)单调递增,

又F(1)=0,所以F(x)>0.

当2a>1,即a>时,存在x0∈(1,+∞),使得F'(x0)=0,

所以函数F(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,

又F(1)=0,所以F(x0)<0.

当x→+∞时,F(x)→+∞,所以F(x)=0在(1,+∞)上有解.

综上,a的取值范围为.

解题模板　解决含参函数的相关问题时,要注意寻找特殊值,利用特殊值解决问题,如本题中的特殊值为F(1)=0,结合单调性可顺利解决本题.

11.解析　由题得,函数f(x)的定义域为(0,+∞).

(1)当m=-2时, f(x)=ln x-2x2+1,

所以f'(x)=-4x=,

当x∈时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增;

当x∈时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减,

所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.

所以当x=时, f(x)有极大值,

且极大值为f=ln-2×+1=-ln 2,无极小值.

(2)由f(x)=ln x+mx2+1,

得f'(x)=+2mx=(x>0).

当m≥0时, f'(x)>0恒成立,函数f(x)单调递增,

当0<x<e-m-1时, f(x)<f(e-m-1)=-m-1++1≤0,

又f(1)=m+1>0,所以函数f(x)有且只有一个零点.

当m<0时,令f'(x)=0,得x=.

当x∈时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增;

当x∈时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减,

所以f(x)的极大值为

f=ln+m×+1=ln+,

①当ln+<0,

即ln<-1=ln时,

解得m<-,此时函数f(x)没有零点.

②当ln+=0,

即m=-时,函数f(x)有1个零点.

③当ln+>0,即-<m<0时,

f(e-2)=-2+me-4+1=-1+me-4<0.

当x>1时,令g(x)=ln x-x,

则g'(x)=-1<0在(1,+∞)上恒成立,

所以g(x)<g(1)=-1,即ln x<x-1,

所以f(x)=ln x+mx2+1<x+mx2

=mx,

故当x>1且x>-时, f(x)<0.

当-<m<0时,有e-2<<-,

所以函数f(x)有2个零点.

综上所述,当m<-时,函数f(x)没有零点;当m≥0或m=-时.函数f(x)有1个零点;当-<m<0时,函数f(x)有2个零点.