高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算说课课件ppt

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我们知道,两个实数的乘法对加法来说满足分配律,即a,b,c∈R时,有(a+b)c=ac+bc,而且,实数的正整数次幂满足am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an·bn,其中m,n均为正整数,那么,复数的乘法应该如何规定,才能使得类似的运算法则仍成立呢?
知识点一、复数的乘法及其运算律1.复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有
名师点析 (1)复数的乘法与多项式的乘法类似,注意有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.(2)两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
微思考 in(n∈N*)有什么规律?提示:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*),即是以4为周期循环出现的.微练习(1)(4-i)(3+2i)=　　　　. (2)(-3+2i)2=　　　　. 解析:(1)(4-i)(3+2i)=12+8i-3i+2=14+5i.(2)(-3+2i)2=9-4-12i=5-12i.答案:(1)14+5i　(2)5-12i
知识点二、复数的除法在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成 的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di,化简可得(a+bi)÷(c+di)= (a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
知识点三、复数范围内一元二次方程的解法1.在复数范围内,任何实系数一元二次方程都是有根的,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ<0时,其求根公式为2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解.
微思考 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0),如何求它的实根?提示:①求出判别式Δ=b2-4ac的值,判断根的情况,若Δ>0,方程有两个不相等的实根;若Δ=0,方程有两个相等的实根;若Δ<0,方程无实根.
复数的乘法与除法运算例1计算下列各题:分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
反思感悟 1.复数乘法运算的技巧(1)复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.(2)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致.(3)在复数乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.例如(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.(4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式 =zmn(m,n∈Z)进行转化求解.
2.复数除法运算的技巧(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.
变式训练1计算下列各题:
i幂值的周期性及其应用例2计算下列各式的值:(1)i2 016;　　　　　　　　(2)(1+i)12+(1-i)12;(3)1+i+i2+…+i2 016.分析根据i幂值的周期性以及复数高次乘方的运算法则进行计算求解.解:(1)i2 016=i4×504=i4=1.(2)(1+i)12+(1-i)12=[(1+i)2]6+[(1-i)2]6=(2i)6+(-2i)6=(-4)3+(-4)3=-128.(3)1+i+i2+…+i2 016 =(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+…+(i2 012+i2 013+i2 014+i2 015)+i2 016=0×504+i2 016=1.
反思感悟 利用i幂值的周期性解题的技巧(1)熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i.(2)对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
变式训练2若 ,则集合A的子集的个数为(　　)A.3B.4C.8D.16解析:当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,当n=3时,x=i6+i-6=-2,当n=4时,x=i8+i-8=2,因此A= ,故A有4个子集.答案:B
与复数有关的方程问题例3设关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0有实数根,则锐角θ以及实数根分别为(　　)分析可将实数根设出,代入,利用复数相等的充要条件求解.解析:设方程的实根为a,则a2-a(tan θ+i)-(2+i)=0,即a2-atan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,答案:C
反思感悟 与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,根与系数的关系仍适用,但判别式“Δ”不再适用.
变式训练3已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b,求实数a,b的值.解:∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,解得a=b=3.
方法点睛(1)由比较复杂的复数运算给出的复数,求其共轭复数,可先按复数的四则运算法则进行运算,将复数写成代数形式,再写出其共轭复数.(2)注意共轭复数的简单性质的运用.
2.m∈R,i为虚数单位,若(m+i)(2-3i)=5-i,则m的值为(　　)A.1B.-1C.2D.-2解析:由(m+i)(2-3i)=(2m+3)+(2-3m)i=5-i,答案:A