高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课时训练

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

基础过关练

题组一　一元二次不等式的解法

1.(2019山东菏泽高二期末)不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　　)

A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3}

C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6}

2.(2019广东汕头高一期末)已知集合M={0,1,2,3,4},N={x|(x-2)(x-5)<0},则M∩N=(　　)

A.{3,4} B.{2,3,4,5}

C.{2,3,4} D.{3,4,5}

3.(2019广东实验中学高一期末)不等式≥0的解集为(　　)

A.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x≤2}

C.{x|x<0或x≥2} D.{x|x<0或x>2}

4.(2019北京西城高二期末)不等式>1的解集为　　　　. 

5.(2020天津高一期末)设集合A={x|x2-x-6>0},B={x|-4<3x-7<8}.

(1)求A∪B,A∩B;

(2)已知集合C={x|a<x<2a+1},若C⊆B,求实数a的取值范围.

题组二　含有参数的一元二次不等式的解法

6.(2019河南商丘九校联考高二期末)已知关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1},则关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集是(　　)

A.{x|1<x<2} B.{x|-1<x<2}

C.{x|x<-1或x>2} D.{x|x>2}

7.若0<t<1,则关于x的不等式(t-x)>0的解集是(　　)

A. B.

C. D.

8.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(　　)

A.{x|x<5a或x>-a} B.{x|x>5a或x<-a}

C.{x|-a<x<5a} D.{x|5a<x<-a}

9.(2020四川新津中学高一期末)已知不等式x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0的解集为集合A,集合B={x|-2<x<2}.

(1)若a=2,求A∪B;

(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.

题组三　三个“二次”之间的关系

10.(2020河南洛阳高二期末)已知不等式x2+ax+b≤0的解集为{x|2≤x≤3},则a+b=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.-1 B.1 C.-2 D.2

11.若y=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是(　　)

A.m<-2或m>2 B.-2<m<2

C.m≠±2 D.1<m<3

12.不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x<-2或x>3},则m,n的值分别是(　　)

A.2,12 B.2,-2

C.2,-12 D.-2,-12

13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则y>0的解集为(　　)

A.{x|-2<x<1} B.{x|-1<x<2}

C.{x|1<x≤2} D.{x|x<0或x>3}

14.(2020北京朝阳高一期末)若集合A={x|x2-ax+2<0}=⌀,则实数a的取值范围是　　　　. 

15.(2020湖南雅礼中学10月检测)若二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的图象与x轴的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),且x1,x2都大于1.

(1)求实数k的取值范围;

(2)若=,求k的值.

题组四　一元二次不等式的实际应用

16.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是(　　)

A.90<a<100 B.90<a<110

C.100<a<110 D.80<a<100

17.某商家一月份至五月份的累计销售额达3 860万元,预测六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增长x%,八月份的销售额比七月份增长x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等.若一月份至十月份的销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是　　　　. 

18.现要规划一块长方形绿地,且长方形绿地的长与宽的差为30米.若使长方形绿地的面积不小于4 000平方米,则这块绿地的长与宽至少应为多少米?

19.一个小型服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.

(1)该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1 300元?

(2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?

能力提升练

题组一　三个“二次”的综合应用

1.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,)已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C.    D.{a|a≠2}

2.(多选)(2020山东菏泽高二期末,)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则能使不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax成立的x可以为(　　)

A.{x|0<x<3} B.{x|x<0}

C.{x|x>3}    D.{x|x<-2或x>1}

3.(2020山东济南外国语学校高一期中,)已知函数y=x2-x+m.

(1)当m=-2时,求不等式y>0的解集;

(2)若m>0,y<0的解集为{x|a<x<b},求+的最小值.

4.(2020山东济南历城二中10月月考,)已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M.

(1)当M为空集时,求m的取值范围;

(2)在(1)的条件下,求的最小值;

(3)当M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围.

题组二　一元二次不等式的恒(能)成立问题

5.(2020河南郑州高二期末,)已知不等式-2x2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<3},若对于任意x∈{x|-1≤x≤0},不等式-2x2+bx+c+t≤4恒成立,则t的取值范围是(　　)

A.{t|t≤2} B.{t|t≤-2}

C.{t|t≤-4} D.{t|t≤4}

6.()若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解,则实数a的取值范围是(　　)

A.{a|a≤-2} B.{a|a≥-2}

C.{a|a≥-6} D.{a|a≤-6}

7.()若kx2-6kx+(k+8)≥0(k为常数)对一切x∈R恒成立,则k的取值范围是(　　)

A.0≤k≤1 B.0<k<1

C.0<k≤1 D.k<0或k>1

8.()若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为　　　　. 

9.(2020北京师大附中高二期中,)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1<x<4}.

(1)求m和n的值;

(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求a的取值范围.

10.()已知关于x的不等式2kx2+kx-<0.

(1)若不等式的解集为,求实数k的值;

(2)若不等式2kx2+kx-<0恒成立,求实数k的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.A　不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,

∴不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.故选A.

2.A　N={x|(x-2)(x-5)<0}={x|2<x<5},∴M∩N={3,4}.

3.B　由原式得x(x-2)≤0且x≠0,解得0<x≤2,故选B.

4.答案　{x|1<x<2}

解析　∵>1,∴>0,∴(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2.

∴不等式>1的解集为{x|1<x<2}.

5.解析　A={x|x2-x-6>0}={x|x<-2或x>3},B={x|-4<3x-7<8}={x|1<x<5}.

(1)A∪B={x|x<-2或x>3}∪{x|1<x<5}={x|x<-2或x>1},

A∩B={x|x<-2或x>3}∩{x|1<x<5}

={x|3<x<5}.

(2)①当C=⌀时,a≥2a+1,解得a≤-1,满足C⊆B;

②当C≠⌀时,若满足C⊆B,则解得1≤a≤2.由①②可知,满足C⊆B的实数a的取值范围是{a|a≤-1或1≤a≤2}.

6.A　∵关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1},

∴∴b=a<0,

∴关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0可化为(x-2)<0,

即(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,

∴不等式的解集是{x|1<x<2}.故选A.

7.D　∵(t-x)>0,

∴(x-t)<0.

∵0<t<1,∴t<,∴原不等式的解集为.

8.A　方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a,5a. 因为2a+1<0,所以a<-,所以-a>5a.结合二次函数y=x2-4ax-5a2的图象,得原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a},故选A.

9.解析　(1)当a=2时,原不等式可化为x2-5x+6≤0,得(x-3)(x-2)≤0,解得2≤x≤3,所以A={x|2≤x≤3}.又因为B={x|-2<x<2},所以A∪B={x|-2<x≤3}.

(2)由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x-a)·(x-a-1)≤0,则A={x|a≤x≤a+1},

因为A∩B=⌀,所以a+1≤-2或a≥2,即a≤-3或a≥2.

10.B　易得x2+ax+b=0的两个根为2,3,故-a=2+3=5,b=2×3=6,故a=-5,a+b=1.故选B.

11.A　∵y=-x2+mx-1的函数值有正值,

 ∴Δ=m2-4>0,∴m>2或m<-2.故选A.

12.D　由题意知-2,3是关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根,∴-2+3=-,-2×3=,∴m=-2,n=-12.故选D.

13.B　由题图知y>0的解集为{x|-1<x<2}.故选B.

14.答案　-2≤a≤2

解析　集合A={x|x2-ax+2<0}=⌀,则不等式x2-ax+2<0无解,所以Δ=(-a)2-4×1×2≤0,解得-2≤a≤2.

15.解析　(1)由题意可知,x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根,

∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1.

又x1>1,x2>1,

∴

可得k>,且k≠1.

∴实数k的取值范围是kk>且k≠1.

(2)由得

∴x1x2=·=k2+1,

即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去).

∴k的值为7.

16.A　设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则a=x+90,y=(10+x)·(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商家利润有所增加,则必须使y>0,即x2-10x<0,得0<x<10,∴90<x+90<100,∴a的取值范围为90<a<100.

17.答案　20

解析　由题意得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.

18.解析　设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.由题意可得a-b=30①,ab≥4 000②,

由①②可得b2+30b-4 000≥0,即(b+15)2≥4 225,

解得b+15≥65或b+15≤-65(舍去),所以b≥50,

所以b至少为50,则a至少为80,

所以这块绿地的长至少为80米,宽至少为50米.

19.解析　(1)设该厂的月获利为y元,依题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500.

由y≥1 300知,-2x2+130x-500≥1 300,

∴x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.

∴当月产量在20件至45件(包括20件和45件)之间时,月获利不少于1 300元.

(2)由(1)知y=-2x2+130x-500

=-2+1 612.5.

∵x为正整数,∴当x=32或x=33时,y取得最大值1 612元,

∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润1 612元.

能力提升练

1.C　若a2-4=0,则a=±2.当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意;

当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-4x-1≥0,即x≤-,其解集不为空集,因此a=-2不满足题意,应舍去.

若a2-4≠0,则a≠±2.

∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,

∴

解得-<a<2.

综上,a的取值范围是.

故选C.

2.BC　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},

所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,

所以-=-1+2=1,=-1×2=-2.

则b=-a,c=-2a.

由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax,得ax2-3ax<0.

因为a<0,所以x2-3x>0,解得x<0或x>3,

所以不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}.故选BC.

3.解析　(1)当m=-2时,y=x2-x+m=x2-x-2,

当y>0时,x2-x-2>0.

由x2-x-2=0得x1=-1,x2=2,

∴不等式y>0的解集为{x|x<-1或x>2}.

(2)∵y<0的解集为{x|a<x<b},

∴a,b为方程x2-x+m=0的两个实数根,

∴a+b=1,ab=m.

∵m>0,

∴a>0,b>0,

∴+=(a+b)

=++5

≥5+2=9.

当且仅当a=,b=时,等号成立.

故+的最小值为9.

4.解析　(1)∵M为空集,

∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,

解得-1<m<2,

∴实数m的取值范围为{m|-1<m<2}.

(2)由(1)知-1<m<2,则0<m+1<3,

∴==(m+1)+≥2=4,

当且仅当m+1=,即m=1时等号成立.

∴的最小值为4.

(3)设函数y=x2-2mx+m+2,结合其图象可知,

当M不为空集时,由M⊆{x|1≤x≤4},得

解得2≤m≤.

综上,实数m的取值范围为.

5.B　由题意知-1和3是关于x的方程-2x2+bx+c=0的两个实数根,则

解得则-2x2+bx+c=-2x2+4x+6.

由-2x2+bx+c+t≤4得t≤2x2-4x-2.当-1≤x≤0时,-2≤2x2-4x-2≤4,则t≤-2.

6.A　不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解等价于1≤x≤4时,a≤.

当1≤x≤4时,-6≤x2-4x-2≤-2,所以a≤-2.故选A.

7.A　由已知得,当k=0时,原不等式为8≥0,显然恒成立;

当k≠0时,

需满足

解得0<k≤1,

所以k的取值范围是0≤k≤1,故选A.

8.答案　{λ|-8≤λ≤4}

解析　因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,将其看作关于a的一元二次不等式,可得Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4.

9.解析　(1)由题意知x1=1,x2=4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个根,

所以-m=x1+x2=5,n=x1·x2=4,

故m=-5,n=4.

(2)由(1)得y=x2-5x+4,

则x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,

即a≤x+-5对任意x>0恒成立.

又因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立),

所以x+-5≥-1,所以a≤-1.

10.解析　(1)因为关于x的不等式2kx2+kx-<0的解集为,

所以k≠0,且-和1是关于x的方程2kx2+kx-=0的两个实数根,则-×1=,解得k=.

(2)因为关于x的不等式2kx2+kx-<0恒成立,所以k=0或

即k=0或-3<k<0,

故实数k的取值范围为{k|-3<k≤0}.